數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用靈寶實(shí)驗(yàn)高中 王少輝一、什么是“數(shù)形結(jié)合思想”？數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思考方法；是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中的重要思想；也是解決數(shù)學(xué)問題的有效方法?！耙孕沃鷶?shù)”可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化；能夠把抽象的數(shù)學(xué)語言變?yōu)橹庇^的圖形語言、把抽象的數(shù)學(xué)思維變?yōu)橹庇^的形象思維；“以數(shù)助形”有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。二、什么類型的題可以用“數(shù)形結(jié)合思想”解決？“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象。數(shù)，通俗地說一般是指文字語言、數(shù)學(xué)符號(hào)語言、代數(shù)式等；形，通俗地說一般指圖形語言、函數(shù)圖象、代數(shù)式的幾何意義等。既能用“數(shù)”表示，又能用“形”表示的知識(shí)就可以用數(shù)形結(jié)合思想解決。數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決以下問題：集合問題函數(shù)問題方程與不等式問題三角函數(shù)問題向量問題數(shù)列問題線性規(guī)劃問題解析幾何問題立體幾何問題絕對(duì)值問題三、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用舉例（一）在集合中的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)】集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集文字表示ABAB若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為UA符號(hào)語言x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA圖形語言在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中集合的三種運(yùn)算除了抽象的符號(hào)語言描述之外，還有直觀的圖形語言。所以在解決某些集合的運(yùn)算問題時(shí)，我們可以用數(shù)形結(jié)合思想?！纠?】(1)已知(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x0時(shí)，方程|x|ax只有一個(gè)解.答案(0，)【跟蹤訓(xùn)練3】已知函數(shù)(aR)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.(，1) B.(，0) C.(1，0) D.1，0)解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x1有一個(gè)零點(diǎn)x.因此當(dāng)x0時(shí)，f(x)exa0只有一個(gè)實(shí)根，aex(x0)，則1a0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是_.解析在同一坐標(biāo)系中，作yf(x)與yb的圖象.當(dāng)xm時(shí)，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個(gè)不同的根，則有4mm20.又m0，解得m3.答案(3，)四、作函數(shù)圖象的常用方法數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象，那么如何作函數(shù)圖象就是最關(guān)鍵的步驟，同學(xué)們一定要掌握。下面介紹兩種高中數(shù)學(xué)中最常用的方法。1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換 yf(x+a)（a0）的圖象把yf(x)的圖象向左平移a個(gè)單位即可 ； yf(x -a)（a0）的圖象把yf(x)的圖象向右平移a個(gè)單位即可 ； yf(x)+b（b0）的圖象把yf(x)的圖象向上平移b個(gè)單位即可； yf(x) -b（b0）的圖象把yf(x)的圖象向下平移b個(gè)單位即可；即我們通常所說的左加右減，上加下減?！揪毩?xí)1】作出下列函數(shù)的圖象（1） （2） （3）(2)對(duì)稱變換 yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關(guān)于 x軸對(duì)稱即可 ； yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱即可 ； yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可 ；【練習(xí)2】作出下列函數(shù)的圖象（1） （2） （3）(3)伸縮變換 yf(ax)（a0）的圖象 把yf(x)的圖象縱坐標(biāo)不變，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋都纯?； 相當(dāng)于以y軸為中心，把圖象往左右伸長(zhǎng)或壓縮；a1時(shí)壓縮. yAf(x)（A0）的圖象 把yf(x)的圖象橫坐標(biāo)不變，各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍即可 ； 相當(dāng)于以x軸為中心，把圖象上下伸長(zhǎng)或壓縮；A1時(shí)伸長(zhǎng)，A1時(shí)壓縮.(4)翻轉(zhuǎn)變換y|f(x)|的圖象，把yf(x)的圖象位于x軸下方的部分翻到x軸上方即可；函數(shù)值為負(fù)數(shù)的變?yōu)槠湎喾磾?shù)，函數(shù)值為正數(shù)的不變，圖象全部在x軸上方。yf(|x|)的圖象，把yf(x)的圖象位于y軸左邊的部分去掉，然后把右邊的對(duì)稱到左邊即可.自變量為負(fù)數(shù)時(shí)，與