函數(shù)模型及其應(yīng)用1了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中的普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用 知識梳理1冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長的差異在區(qū)間(0，)，盡管yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一“檔次”上，隨著x的增長，yax(a1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1)的增長速度則會越來越慢，因而總存在一個x0，當(dāng)xx0時，就會有 logaxxn1).2應(yīng)用問題的解法解應(yīng)用題就是在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識去解決，其一般步驟為：(1)審題：閱讀題目、理解題意，分析題目中的條件和結(jié)論，理順有關(guān)數(shù)量關(guān)系；(2)建模：設(shè)置變量、將文字語言、圖表語言等轉(zhuǎn)換成符號語言，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；(3)解模：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)問題的結(jié)論；(4)作答：將所得數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的意義，進行簡要的回答 熱身練習(xí)1當(dāng)x0時，比較ylog5x，y5x，yx5三個函數(shù)，下列說法正確的是(B)Ay5x的圖象始終在最上方B當(dāng)x增長到足夠大時，y5x的圖象始終在最上方Cyx5的圖象與y5x的圖象會不斷穿插交匯，有無數(shù)個交點Dylog5x的圖象與yx5的圖象有一個交點 畫出三個函數(shù)的圖象，并結(jié)合它們的增長情況分析應(yīng)選B.2方程x22x解的個數(shù)為(C)A1 B2C3 D4 畫出yx2和y2x的圖象，結(jié)合它們的增長情況，觀察它們有3個交點，所以有3個解3某市生產(chǎn)總值兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)的年平均增長率為(D)A. B.C. D.1 設(shè)年平均增長率為x，則(1x)2(1p)(1q)，所以x1.4一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量原來是a件，在今后m年內(nèi)，計劃使年產(chǎn)量平均每年比上一年增加p%，則年產(chǎn)量y隨經(jīng)過年數(shù)x變化的函數(shù)關(guān)系式為ya(1p%)x(xN*，且xm).5用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大設(shè)隔墻的長度為x，矩形的面積為S.(1)S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為S2x212x(0x1010，得()x108，兩邊取以10為底的對數(shù)，得xlg8，所以x，因為45.43，所以x45.43.即至少經(jīng)過46小時，細胞總數(shù)超過1010個 (1)y100()x，xN*；(2)46 (1)在求解應(yīng)用題時，要在認真審清題意，理順關(guān)系上下功夫，設(shè)計合理的解題方案(2)在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示通?？梢员硎緸閥N(1p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式2(經(jīng)典真題改編)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2018年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(B)(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2021年 B2022年C2023年 D2024年 設(shè)2018年后的第n年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由130(112%)n200，得1.12n，兩邊取對數(shù)，得n，所以n4，所以從2022年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元 分段函數(shù)模型某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤f(x)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？(總收益總成本利潤) (1)由已知總收益總成本利潤，知道利潤總收益總成本由于R(x)是分段函數(shù)，所以利潤f(x)也是分段函數(shù)；(2)分別求出f(x)各段中的最大值，通過比較就可以求出f(x)的最大值 (1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20000100x，從而：f(x)(2)當(dāng)0x400時，f(x)(x300)225000，當(dāng)x300時，有最大值25000；當(dāng)x400時，f(x)60000100x是減函數(shù)，則f(x)600001004002000025000.所以當(dāng)x300時，f(x)有最大值25000.所以當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元 (1)分段函數(shù)的特征是每一段自變量所遵循的規(guī)律不同，因此，要根據(jù)每一段上函數(shù)表達式的特點選擇相應(yīng)的求解方法(2)分段函數(shù)模型的最值問題，應(yīng)該先求出每一段上的最值，然后進行比較3某市2018年計劃投入600萬元加強民族文化基礎(chǔ)設(shè)施改造據(jù)調(diào)查，改造后預(yù)計該市在一個月內(nèi)(以30天計)，民族文化旅游人數(shù)f(x)(萬人)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似地滿足f(x)4(1)，人均消費g(x)(元)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似地滿足g(x)104|x23|.(1)求該市旅游收益p(x)(萬元)與時間x(1x30，xN*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若以最低日收益的15%為純收入，該市對純收入按1.5%的稅率收回投資，按此預(yù)計兩年內(nèi)能否收回全部投資 (1)由題意知p(x)f(x)g(x)4(1)(104|x23|)(1x30，xN*)(2)由p(x)當(dāng)1x23時，p(x)4(1)(81x)4(82x)4(822)400.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x9時，p(x)取得取小值400.當(dāng)23x30時，p(x)4(1)(127x)4(126x)設(shè)h(x)x，則有h(x)1400.所以當(dāng)x9時，p(x)取得最小值400萬元則兩年內(nèi)的稅收為40015%301221.5%648600.所以600萬元的投資可以在兩年內(nèi)收回1解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學(xué)地抽象、概括，將實際問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題二是要合理