中小學生數(shù)學能力的評價,華東師大數(shù)學系 鮑建生 ,一、評價理念的轉(zhuǎn)變,教學的評價,為了教學的評價,教學即評價,二、關(guān)于數(shù)學能力評價的一些基本問題,1. 數(shù)學能力與知識技能之間有什么聯(lián)系？,知識豐富領(lǐng)域的問題解決有什么特點？ 陳述性知識 程序性知識 策略性知識 例：運算能力與乘法公式，運算法則，三角公式之間的關(guān)系,2.數(shù)學思維的基本特征是什么（算與證）,抽象：理性的直觀 精確：規(guī)則的運用 效率：最優(yōu)化 化歸：典型例題+化歸策略 公理化：在假設(shè)的基礎(chǔ)上進行推理 形式化：符號變換,3.高層次數(shù)學技能是不是一種數(shù)學能力,需要復雜的、非算法化的思維（即任務、任務講解、或已完成的例子沒有明顯建議一個可預料的、預演好的方法或路徑借鑒） 探索和理解數(shù)學觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì) 對自己的認知過程自我調(diào)控 啟用相關(guān)知識經(jīng)驗，在任務完成過程中恰當使用 要求學生分析任務并積極檢查對可能的問題解決策略和解法起限制作用的因素 需要相當大的認知努力，也許由于解決策略不可預期的性質(zhì)，學生還會有某種程度的焦慮 QUASAR的目標分類（ Stein & Smith, 1998 ）,4. 數(shù)學能力是一種特殊能力嗎？,數(shù)學能力本身是作為一種特殊形式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數(shù)學能力是一般心理過程和人格品質(zhì)的特殊化呢？也就是說，一般智力是與數(shù)學能力一起發(fā)展的嗎？換句話說，人們能說數(shù)學能力不外是一般智力加上對數(shù)學的興趣和學習數(shù)學的傾向性嗎？ 桑代克：一般的代數(shù)能力與純粹的代數(shù)能力 數(shù)學家的數(shù)學能力與學生的數(shù)學能力有本質(zhì)的區(qū)別，還是僅僅程度上的差異？ 數(shù)學研究的能力與數(shù)學學習的能力的區(qū)別？,5. 數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)或成分？,數(shù)學能力是單一性的（單獨的、不可再分的）還是綜合性的（復雜的）？如果是綜合性的，人們就可追問關(guān)于數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)問題，也就是復雜心理形式的組成成分問題。 如何分析數(shù)學能力的結(jié)構(gòu)/成分/因素/類型？ 能力的三維結(jié)構(gòu)：內(nèi)容+過程+產(chǎn)品； 能力的因素理論； 多元智力，成功智力等 數(shù)學能力的核心是什么？ 運算+算法 抽象+證明 不同學段的能力培養(yǎng)的重心是否也不同？是否有一貫的能力？,6. 數(shù)學能力培養(yǎng)的切入口是什么？,任務導向： 培養(yǎng)不同的能力需要不同的任務； 不同的任務需要相應的教學策略 林崇德先生提出了三個可操作的訓練方法： 概括能力是思維訓練的基礎(chǔ)； 思維品質(zhì)：敏捷性、靈活性、創(chuàng)造性、批判性與深刻性 思維能力發(fā)展的最終目標是發(fā)展邏輯思維能力。 其它的切入口： 高層次思維； 元認知：定向、控制、調(diào)節(jié)； 探究性學習； 長作業(yè),7.學生的數(shù)學能力有哪些差異？,數(shù)學能力是否存在類型差異？ 幾何型、分析型、綜合型； 發(fā)散型、聚合型； 數(shù)學優(yōu)生、中等生、后進生的數(shù)學能力有哪些差異？ 典型例題與化歸策略的掌握； 分析與實施的時間分配； 多向思考 不同年級/學段的學生的數(shù)學能力有哪些差異？ 層次性：從低層次向高層次發(fā)展； 進階性：數(shù)學能力的發(fā)展是基于教學而不是自然而然？ 內(nèi)隱性：低層次屬于內(nèi)隱，到高層次成為外顯； 適配性：教學水平要和學生的能力水平相匹配。 男女生的數(shù)學能力是否有差異？ 東西方學生的數(shù)學能力有什么差異？,8. 小學階段數(shù)學能力培養(yǎng)的關(guān)注點？,核心思想：守恒、類包含、序（皮亞杰） 運算能力：算法、流暢性、數(shù)感、估算 推理能力：定量思維、比例推理 模式與代數(shù)：模型、規(guī)律、抽象、符號 空間能力：直覺、空間感、想象 數(shù)學論證：實驗、猜想、論證、演繹,三、數(shù)學能力的評價框架,概念理解：理解數(shù)學概念、運算及關(guān)系 流暢的運算能力：靈活地、準確地、有效地及適當?shù)貙嵤?shù)學程序 選擇策略的能力：能形成、表征及解決數(shù)學問題 適當?shù)耐评砟芰Γ哼壿嬎季S、反思、解釋及辯證的能力 數(shù)學的鑒賞力：相信數(shù)學是合理的、有用的和有價值的,1. 美國2061計劃：五種核心數(shù)學能力,2. PISA數(shù)學素養(yǎng)評量（2012）,14,情境脈絡 個人：購物、飲食 職業(yè)：試算表使用 社會：選舉、經(jīng)濟 科學：醫(yī)學、天氣,內(nèi)容領(lǐng)域 改變與關(guān)係：函數(shù)、代數(shù)、方程式 空間與形狀：座標系統(tǒng)、幾何測量 數(shù)量：數(shù)與單位、四則計算、百分比 不確定性：抽樣、機率、資料變異性,3. 中小學生數(shù)學能力結(jié)構(gòu),1. 獲得數(shù)學信息。 對于數(shù)學材料形式化感知的能力；對問題形式結(jié)構(gòu)的掌握能力。 2. 數(shù)學信息加工 在數(shù)量和空間關(guān)系，數(shù)字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數(shù)學符號進行思維的能力。 B. 迅速而廣泛地概括數(shù)學對象、關(guān)系和運算的能力。 C. 縮短數(shù)學推理過程和相應的運算系統(tǒng)的能力；以簡短的結(jié)構(gòu)進行思維的能力。 D. 在數(shù)學活動中心理過程的靈活性。 E. 力求解答的清晰、簡明、經(jīng)濟與合理。 F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉(zhuǎn)向另一個相反思路的能力（數(shù)學推理中心理過程的可逆性） 3. 數(shù)學信息保持。數(shù)學的記憶（關(guān)于數(shù)學關(guān)系，類型特征，論據(jù)和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。 4. 一般綜合性組成成分。數(shù)學氣質(zhì)。,4. 青浦實驗的目標分類,16,5. 數(shù)學核心能力的七個成分,從數(shù)學角度提出問題,數(shù)學表征,數(shù)學符號變換,數(shù)學推理與論證,數(shù)學建模,數(shù)學地解決問題,數(shù)學交流,四、數(shù)學能力的測試與評分,測試目標： 學生的思考過程（多樣性、靈活性獨創(chuàng)性；障礙、錯誤、缺陷等）； 專項能力的診斷（運算能力、推理能力、空間想象能力等）； 能力差異（思維方式、記憶類型、化歸策略等）,1. 克魯切茨基的能力測試題系列,系列1：沒有提出問題的題目 系列2：信息不完全的題目 系列3：有多余信息的題目 系列4：具有互相滲透因素的題目 系列5：單一類型的題目體系 系列6：不同類型的題目體系 系列7：從具體到抽象逐漸過渡的題目體系 系列8：按照特定的類型編題 系列9：證明題 系列10：運用題目的各種條件列方程式 系列11：不現(xiàn)實的題目 系列12：形成人工概念,克魯切茨基的能力測試題系列,系列13：有幾種解法的題目 系列14：變化內(nèi)容的題目 系列15：重建一種運算的題目 系列16：暗示“自我限制”的題目 系列17：正向和反向的題目 系列18：啟發(fā)（探索）性課題 系列19：關(guān)于理解和邏輯推理的題目 系列20：系列題目 系列21：數(shù)學詭辯題 系列22：項目難記的題目 系列23：在解答中具有不同程度直觀性的題目 系列24：既有語言又有直觀表達的題目 系列25：有關(guān)空間概念的題目 系列26：揭露非智力活動方面的直觀形象與語言邏輯 成分之間關(guān)系的題目,2. 匈菲爾德的過程模型,結(jié)論,檢驗,嘗試解題,實施,解題方案,探究,計劃,原理與系統(tǒng),相關(guān)問題或新信息,分析,給定問題,小困難,主要困難,匈菲爾德，1985,專項訓練對掌握問題解決策略的必要性,自發(fā)的問題解決訓練是不夠的，即使在良好的環(huán)境中，學生也難以自己去總結(jié)探索的策略。也就是說，明確的訓練是必需的。 在合適的環(huán)境下（問題和控制行為都在小范圍中進行，探索策略被明確加上標簽，并作出應用的示范；練習也是相關(guān)的），學生能夠掌握一定的探索策略并用于解決相關(guān)的但不完全一樣的問題。 用注意分析學生（包括實驗組和控制組）失敗的原因，從某種意義上說，實驗中失敗的情況，比成功的例子更有啟發(fā)性。 匈菲爾德，1985,匈菲爾德的多重計分法,評價目標 學生產(chǎn)生的問題解決途徑的頻率和數(shù)目； 學生采用這些途徑的程度； 運用這些途徑的成功的情況。,匈菲爾德的多重計分法,設(shè)P是測驗中的一個問題，首先，列出所有的至少一個學生采用過的解題方法，然后針對所列的每一種解法，考慮下面的問題，并根據(jù)這些問題打分： 證據(jù)。學生有無注意過這種方法？例如，他說過：“我想尋找歸納模式”；或者畫了一個草圖等。 追溯。學生有無采用這種方法？由于要求學生寫下“任