1     高中奧林匹克物理競賽解題方法  陳海鴻    一、整體法   方法簡介  整體是以物體系統(tǒng)為研究對象，從整體或全過程去把握物理現(xiàn)象的本質和規(guī)律，是一種把具有相互聯(lián)系、相互依賴、相互制約、相互作用的多個物體，多個狀態(tài)，或者多個物理變化過程組合作為一個融洽加以研究的思維形式。整體思維是一種綜合思維，也可以說是一種綜合思維，也是多種思維的高度綜合，層次深、理論性強、運用價值高。因此在物理研究與學習中善于運用整體研究分析、處理和解決問題，一方面表現(xiàn)為知識的綜合貫通，另一方面表現(xiàn)為思維的有機組合。靈活運用整體思維可以產生 不同凡響的效果，顯現(xiàn)“變”的魅力，把物理問題變繁為簡、變難為易。  賽題精講  例 1：如圖 1 1 所示，人和車的質量分別為 m 和 M，  人用水平力 F 拉繩子，圖中兩端繩子均處于水平方向，  不計滑輪質量及摩擦，若人和車保持相對靜止，且  水平地面是光滑的，則車的加速度為           . 解析 ：要求車的加速度，似乎需將車隔離出來才  能求解，事實上，人和車保持相對靜止，即人和車有相同的加速度，所以可將人和車看做一個整體，對整體用牛頓第二定律求解即可 . 將人和車整體作為研究對象，整體受到重力、水平面的支持力和兩條繩的拉力 .在豎直方向重力與支持力平衡，水平方向繩的拉力為 2F，所以有：  2F=(M+m)a，解得：  mMFa 2  例 2  用輕質細線把兩個質量未知的小球懸掛起來，如圖  1 2 所示，今對小球 a 持續(xù)施加一個向左偏下 30的恒力，并  對小球 b 持續(xù)施加一個向右偏上 30的同樣大  小的恒力，最后達到平衡，表示平衡狀態(tài)的圖可能是   （     ）         清北學堂 2     解析    表示平衡狀態(tài)的圖是哪一個，關鍵是要求出兩條輕質細繩對小球 a 和小球 b 的拉力的方向，只要拉力方向求出后，。圖就確定了。  先以 小球 a、 b 及連線組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)共受五個力的作用，即兩個重力(ma+mb)g，作用在兩個小球上的恒力 Fa、 Fb 和上端細線對系統(tǒng)的拉力 T1.因為系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，所受合力必為零，由于 Fa、 Fb 大小相等，方向相反，可以抵消，而 (ma+mb)g 的方向豎直向下，所以懸線對系統(tǒng)的拉力 T1 的方向必然豎直向上 .再以 b 球為研究對象， b 球在重力mbg、恒力 Fb 和連線拉力 T2 三個力的作用下處于平衡狀態(tài)，已知恒力向右偏上 30，重力豎直向下，所以平衡時連線拉力 T2 的方向必與恒力 Fb 和重力 mbg 的合力方向相反，如圖所示， 故應選 A.         例 3  有一個直角架 AOB， OA 水平放置，表面粗糙， OB 豎直向下，表面光滑， OA 上套有小環(huán) P， OB 上套有小環(huán) Q，兩個環(huán)的質量均為 m，兩環(huán)間由一根質量可忽略、不何伸長的細繩相連，并在某一位置平衡，如圖 1 4 所示 .現(xiàn)將 P 環(huán)向左移動一段距離，兩環(huán)再次達到平衡，那么將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)相比， OA 桿對 P 環(huán)的支持力 N 和細繩上的拉力 T 的變化情況是    （     ）  A N 不變， T 變大   B N 不變， T 變小  C N 變大， T 變小   D N 變大， T 變大  解析     先把 P、 Q 看成一個 整體，受力如圖 1 4 甲所示，  則繩對兩環(huán)的拉力為內力，不必考慮，又因 OB 桿光滑，則桿在  豎直方向上對 Q 無力的作用，所以整體在豎直方向上只受重力和  OA 桿對它的支持力，所以 N 不變，始終等于 P、 Q 的重力之和。  再以 Q 為研究對象，因 OB 桿光滑，所以細繩拉力的豎直分量等  于 Q 環(huán)的重力，當 P 環(huán)向左移動一段距離后，發(fā)現(xiàn)細繩和豎直方向  夾角 a 變小，所以在細繩拉力的豎直分量不變的情況下，拉力 T 應變小 .由以上分析可知應選B. 例 4 如圖 1 5 所示，質量為 M 的劈塊，  其左右劈面的傾角分別為 1=30、 2=45，  質量 分別為 m1= 3 kg 和 m2=2.0kg 的兩物塊，  同時分別從左右劈面的頂端從靜止開始下滑，  劈塊始終與水平面保持相對靜止，各相互接觸  面之間的動摩擦因數(shù)均為 =0.20，求兩物塊下  清北學堂 3   滑過程中 (m1 和 m2 均未達到底端 )劈塊受到地面的摩擦力。（ g=10m/s2）  解析    選 M、 m1 和 m2 構成的整體為研究對象，把在相同時間內， M 保持靜止、 m1 和m2 分別以不同的加速度下滑三個過程視為一個整體過程來研究。根據(jù)各種性質的力產生的條件，在水平方向，整體除受到地面的靜摩擦力外，不 可能再受到其他力；如果受到靜摩擦力，那么此力便是整體在水平方向受到的合外力。  根據(jù)系統(tǒng)牛頓第二定律，取水平向左的方向為正方向，則有   （     ）  F 合 x=Ma +m1a1x m2a2x 其中 a、 a1x 和 a2x 分別為 M、 m1 和 m2 在水平方向的加速度的大小，而 a =0，  a1x=g(sin30 cos30 ) cos30  a2x= g(sin45 cos45 ) cos45  F 合 =m1g(sin30 cos30 ) cos30 m2g(sin45 cos45 ) cos45   2 2)2 23.02 2(100.22 3)2 32.021(103  = 2.3N 負號表示整體在水平方向受到的合外力的方向與選定的正方向相反 .所以劈塊受到地面的摩擦力的大小為 2.3N，方向水平向右 . 例 5  如圖 1 6 所示，質量為 M 的平板小車放在傾角為 的光滑斜面上（斜面固定），一質量為 m 的人在車上沿平板向下運動時，車恰好靜止，求人的加速度 .         解析     以人、車整體為研究對象，根據(jù)系統(tǒng)牛頓運動定律求解 。 如圖 1 6 甲，由系統(tǒng)牛頓第二定律得：  (M+m)gsin =ma 解得人的加速度為 a= sin)( gm mM  例 6  如圖 1 7 所示，質量 M=10kg 的木塊  ABC 靜置  于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因數(shù)   =0.02，在木塊的傾角 為 30的斜面上，有  一質量 m=1.0kg 的物塊靜止開始沿斜面下滑，  當滑行路程 s=1.4m 時，其速度 v=1.4m/s，在  這個過程中木塊沒有動，求地面對木塊的摩擦  力的大小和方向 .（重力加速度取 g=10/s2）  解析     物塊 m 由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、摩擦力，在這三個恒力清北學堂 4    圖 1 8 乙  的作用下做勻加速直線運動，由運動學公式可以求出下滑的加速度，物塊 m 是 處于不平衡狀態(tài)，說明木塊 M 一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊 m、木塊 M 視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第二定律求解。  由運動學公式得物塊 m 沿斜面下滑的加速度：  ./7.022 22202 smsvsvva tt  以 m 和 M 為研究對象，受力如圖 1 7 甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木塊 M 的摩擦力為 f=macos =0.61N，方向水平向左 .         例 7  有一輕質木板 AB 長為 L， A 端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩 CB 拉住。板上依次放著 A、 B、 C 三 個圓柱體，半徑均為 r，重均為 G，木板與墻的夾角為 ，如圖 1 8 所示，不計一切摩擦，求 BC 繩上的張力。  解析     以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體 A、 B、 C 為研究對象，求 A、 B、 C 對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若將 A、 B、 C 整體作為研究對象，則會使問題簡單化。  以 A、 B、 C 整體為研究對象，整體受  到重力 3G、木板的支持力 F 和墻對整體的  支持力 FN，其中重力的方向豎直向下，如  圖 1 8 甲所示。合重力經過圓柱 B 的軸  心，墻的支持力 FN 垂直于墻面，并經過圓  柱 C 的軸心，木板給的支持 力 F 垂直于木  板。由于整體處于平衡狀態(tài)，此三力不平  行必共點，即木板給的支持力 F 必然過合  重力墻的支持力 FN 的交點 . 根據(jù)共點力平衡的條件： F=0，可得： F=3G/sin . 由幾何關系可求出 F 的力臂   L=2rsin2 +r/sin +r cot  以木板為研究對象，受力如圖 1 8 乙所示，選 A 點  為轉軸，根據(jù)力矩平衡條件 M=0，有：  F L=T Lcos  即 c o ss in )c o ts in/1s in2(3 2 LTGr  清北學堂 5  圖 1 9 解得繩 CB 的能力： )c o ss in c o s1t a n2(32 LGrT 例 8    質量為 1.0kg 的小球從高 20m 處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為5.0m，小球與軟墊接觸的時間為 1.0s，在接觸時間內小球受合力的沖量大小為（空氣阻力不計，取 g=10m/s2）     （     ）  A 10N s B 20N s C 30N s  D 40N s 解析     小球從靜止釋放后，經下落、接觸軟墊、  反彈上升三個過程后到達最高點。動量沒有變化，初、  末動量均為零，如圖 1 9 所示。這時不要分開過程  求解，而是要把小球運動的三個過程作為一個整體來  求解。  設小球與軟墊接觸時間內小球受到合力的沖量大  小 為 I，下落高度為 H1，下落時間為 t1，接觸反彈上  升的高度為 H2，上升的時間為 t2，則以豎直向上為正方向，根據(jù)動量定理得：  sNgHgHIgHtgHtm g tItmg3022(220)(21221121故而  答案 C 例 9    總質量為 M 的列車以勻速率 v0 在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k 倍，而與車速無關 .某時刻列車后部質量為 m 的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？  解析     此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減 速運動，由此可見，求機車的速度可用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解 . 現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解 . 根據(jù)動量守恒定律，得：  Mv0=(M m)V    V=Mv0/(M m) 即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為 Mv0/(M m). 【 說明 】顯然此題用整體法以列車整體為研究對象，應用動量守恒定律求解比用運動學公式和牛頓第二定律求簡單、快速 . 例 10    總質量為 M 的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質量為 m，中途脫鉤，司機發(fā)覺時，機車已走了距離 L，于是立即關閉油門，撤去牽引力，設運動中阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分  都靜止時，它們的距離是多少？  解析     本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學、牛頓第二定律求解，比較復雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。  假設末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與質量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是機清北學堂 6   車多走了距離 L 才關閉油門，相應的牽引力對機車多做了 FL 的功，這就要求機車相對于末節(jié)車廂多走一段距離 S，依靠摩擦力做功，將因牽引力多做功而增加的動能消耗掉，使機車與末節(jié)車廂最后達到相同的靜止狀態(tài)。所以有：  FL=f S 其中 F= Mg, f= (M m)g 代入上式得兩部分都靜止時，它們之間的距離： S=ML/(M m) 例 11   如圖 1 10 所示，細繩繞過兩個定滑輪 A 和 B，在兩端各掛  個重為 P 的物體，現(xiàn)在 A、 B 的中點 C 處掛一個重為 Q 的小球， Q<2p，求小球可能下降的最大距離 3="9.1N" aa="1m/s2，方向向" ab="3m/s2，方" mac="0" ac="" ha="10cm," hb="20cm" s="111" h="3.0cm，時，活塞" p0="1.0105Pa)" p1v1="p2V2" f="F" p0s="111" t="60K" h1="1.5H0.此后，在維持溫度" h2="1.8H0，求此時氣體的" t2="540K" fs="0" n="(qE" d="0.20m" b="0.2T，導軌" r="0.25" v="5.0m/s，如圖">m.  用兩根質量和電阻均可忽略的不可伸長的  柔軟導線將它們連成閉合回路，并懸掛在  水平、光滑、不導電的圓棒兩側 .兩金屬桿  都處在水平位置，如圖 1 16 所示 .整個裝置處在一與回路平面相垂直的勻強磁場中，磁感應強度為 B。若金屬桿 ab 正好勻速向下運動，求運動的速度 . 解析    本題屬電磁感應的平衡問題，確定繩上的拉力，可選兩桿整體為研究 對，確定感應電流可選整個回路為研究對象，確定安培力可選一根桿為研究對象。設勻強磁場垂直回路平面向外，繩對桿的拉力為 T，以兩桿為研究對象，受力如 1 16 甲所示。因兩桿勻速移動，由整體平衡條件得：  4T=(M+m)g 對整個回路由歐姆定律和法拉第電磁感應  定律得： RBlVI 22      對 ab 桿，由于桿做勻速運動，受力平衡：  02 MgTBIl      聯(lián)立三式解得：222 )( lB gRmMv  針對訓練   1質量為 m 的 小貓，靜止于很長的質量為 M 的吊桿上，如圖 1 17 所示。在吊桿上端懸線清北學堂 10  圖 1 17 圖 1 18   斷開的同時，小貓往上爬，若貓的高度不變，求吊桿的加速度。（設吊桿下端離地面足夠高）               2一粒鋼珠從靜止狀態(tài)開始自由下落，然后陷入泥潭中，若把在空中下落的過程稱為過程 I，進入泥潭直到停止的過程稱為過程 II，則    （     ）   A過程 I 中鋼珠動量的改變量等于它重力的沖量   B過程 II 中阻力的沖量的大小等于全過程中重力沖量的大小   C過程 II 中鋼珠克服阻力所做的功等于過程 I 與過程 II 中鋼珠所減少的重力勢能之和   D過程 II 中損失的機械能等于過程 I 中鋼珠所增加的動能  3質量為 m 的運動員站在質量為 m/2 的均勻長板 AB 的中點，板位于水平面上，可繞通過B 點的水平軸轉動，板的 A 端系有輕繩，輕繩的另一端繞過兩個定滑輪后，握在運動員手中。當運動員用力拉繩時，滑輪兩側的繩子都保持在豎直方向，如圖 1 18 所示。要使板的 A 端離開地面，運動員作用于繩子的最小拉力是         。  4如圖 1 19，一質量為 M 的長木板靜止在光滑水平桌面上。一質   量為 m 的小滑塊以水平速度 0v 從長木板的 一端開始在木板上滑   動，直到離開木板?；瑝K剛離開木板時的速度為 3/0v 。若把該木   板固定在水平桌面上，其他條件相同，求滑決離開木板時的速度為 v 。  5如圖 1 20 所示為一個橫截面為半圓，半徑為 R 的光滑圓柱，一根不可伸長的細繩兩端分別系著小球 A、 B，且 BA mm 2 ，由圖示位置從靜止開始釋放 A 球，當小球 B 達到半圓的頂點時，求線的張力對小球 A 所做的功。       清北學堂 11     6如圖 1 21 所示， AB 和 CD 為兩個斜面，其上部足夠長，下部分別與一光滑圓弧面相切，EH 為整個軌道的對稱軸，圓弧所對圓心角為 120，半徑為 2m，某物體在離弧底 H 高h=4m 處以 V0=6m/s 沿斜面運動，物體與斜面的摩擦系數(shù) 04.0 ，求物體在 AB 與 CD兩斜面上（圓弧除外）運動的總路程。（取 g=10m/s2）  7如圖 1 22 所示，水平轉盤繞豎直軸 OO轉動，兩木塊質量分別為 M 與 m ,到軸線的距離分別是 L1 和 L2，它們與轉盤間的最大靜摩擦力為其重力的 倍，當 兩木塊用水平細繩連接在一起隨圓盤一起轉動并不發(fā)生滑動時，轉盤最大角速度可能是多少？        8如圖 2 23 所示，一質量為 M，長為 l 的長方形木板 B，放在光滑的水平地面上，在其右端放一質量為 m 的小木塊，且 m<M?，F(xiàn)以地面為參考系，給 A 和 B 以大小相等、方向相反的初速度，使 A 開始向左運動， B 開始向右運動，且最后 A 沒有滑離木板 B，求以地面為參考系時小木塊 A 的最大位移是多少？摩擦力做的功是多大？  9如圖 1 24 所示， A、 B 是體積相同的氣缸， B 內有一導熱的、   可在氣缸內無摩擦滑動的、體積不計的活塞 C、 D 為不 導熱的   閥門。起初，閥門關閉， A 內裝有壓強 P1=2.0105Pa，溫度  T1=300K 的氮氣。 B 內裝有壓強 P2=1.0105Pa，溫度 T2=600K 的氧氣。閥門打開后，活塞 C 向右移動，最后達到平衡。以 V1 和 V2 分別表示平衡后氮氣和氧氣的體積，則 V1 : V2=        。（假定氧氣和氮氣均為理想氣體，并與外界無熱交換，連接氣體的管道體積可忽略）  10用銷釘固定的活塞把水平放置的容器分隔成 A、 B 兩部分，其體   積之比 VA : VB=2 : 1，如圖 1 25 所示。起初 A 中有溫度為 127，   壓強為 1.8105Pa 的空氣， B 中有溫度 27，壓強為 1.2105Pa 的   空氣。拔出銷釘，使活塞可以無摩擦地移動（不漏氣）。由于容器   緩慢導熱，最后氣體都變成室溫 27，活塞也停住，求最后 A 中氣體的壓強。  11如圖 1 26 所示， A、 B、 C 三個容器內裝有同種氣體，  已知 VA=VB=2L， VC=1L， TA=TB=TC=300K，閥門 D 關  閉時 pA=3atm， pB=pC=1atm。若將 D 打開， A 中氣體向  B、 C 遷移（遷移過程中溫度不變），當容器 A 中氣體壓  強降為 atmPa 2 時，關閉 D；然后分別給 B、 C 加熱，  使 B 中氣體溫度維持 KTb 400 ， C 中氣體溫度維持 KTc 600 ，求此時 B、 C 兩容器內氣體的壓強（連通三容器的細管容積不計）。   清北學堂 12     12如圖 1 27 所示，兩個截面相同的圓柱形容器，右邊容器高為 H，上端封閉，左邊容器上端是一個可以在容器內無摩擦滑動的活塞。兩容  器由裝有閥門的極細管道相連，容器、活塞和細  管都是絕熱的。開始時，閥門關閉，左邊容器中  裝有熱力學溫度為 T0 的單原子理想氣體，平衡時  活塞到容 器底的距離為 H，右邊容器內為真空?，F(xiàn)  將閥門緩慢打開，活塞便緩慢下降，直至系統(tǒng)達到平衡，求此時左邊容器中活塞的高度和缸內氣體的溫度。 提示：一摩爾單原子理想氣體的內能為（ 3/2） RT，其中 R 為摩爾氣體常量， T 為氣體的熱力學溫度 13如圖 1 28 所示，靜止在光滑水平面上已經充電的平行板電容器  的極板距離為 d，在板上開個小孔，電容器固定在一絕緣底座上，  總質量為 M，有一個質量為 m 的帶正電的小鉛丸對準小孔水平向  左運動（重力不計），鉛丸進入電容器后，距左極板的最小距離為  d/2，求此時電容器已移動的距離。  14一個質量為 m，帶有電量 q 的小物體，  可在水平軌道 OX 上運動，  O 端有一與軌  道垂直的固定墻壁，軌道處于勻強電場中，  場強大小為 E，方向沿 OX 正方向，如圖  1 29 所示，小物體以初速 0v 從 0x   點沿 Ox 運動時，受到大小不變的摩擦力 f 的作用，且 qEf ；設小物體與墻碰撞時