2014年高考試題 數(shù)學(xué) （理 科 ） 福建卷 一 .選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 1.復(fù)數(shù) (3 2 )z i i 的共軛復(fù)數(shù) z 等于（ ） . 2 3Ai . 2 3Bi .2 3Ci .2 3Di 2.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（ ） .A 圓柱 .B 圓錐 .C 四面體 .D 三棱柱 3.等差數(shù)列 na的前 n 項和nS，若132, 12aS，則6a( ) .8A .10B .12C .14D 4.若函數(shù) l o g ( 0 , 1 )ay x a a 且的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是（ ） 5.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的 S 得值等于（ ） .18A .20B .21C .40D 6.直線 :1l y kx與圓 22:1O x y相交 于 ,AB兩點，則 1k 是“ ABC 的面積為 12”的（ ） .A 充分而不必要條件 .B 必要而不充分條件 .C 充分必要條件 .D 既不充分又不必要條件 7.已知函數(shù) 0,c os0,12xxxxxf 則下列結(jié)論正確的是（ ） A. xf 是偶函數(shù) B. xf 是增函數(shù) C. xf 是周期函數(shù) D. xf 的值域為 ,1 8.在下列向量組中，可以把向量 2,3a 表示出來的是（ ） A. )2,1(),0,0( 21 ee B . )2,5(),2,1( 21 ee C. )10,6(),5,3( 21 ee D. )3,2(),3,2( 21 ee 9.設(shè) QP, 分別為 26 22 yx 和橢圓 110 22 yx 上的點，則 QP, 兩點間的最大距離是（ ） A. 25 B. 246 C. 27 D. 26 10.用 a 代表紅球， b 代表藍球， c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，從 1 個紅球和 1 個籃球中取出若干個球的所有取法可由 ba 11 的展開式 abba 1 表示出來，如：“ 1”表示一個球都不取、“ a ”表示取出一個紅球，面“ ab ”用表示把紅球和籃球都取出來 .以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從 5 個無區(qū)別的紅球、 5 個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是 A. 555432 111 cbaaaaa B. 554325 111 cbbbbba C. 554325 111 cbbbbba D. 543255 111 cccccba 二、 填空題 11、 若變量 yx, 滿足約束條件008201xyxyx則 yxz 3 的最小值為 _ 12、在 ABC 中， 3,2,60 BCACA ,則 ABC 等于 _ 13、要制作一個容器為 4 3m ，高為 m1 的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價 是每平方米 20 元，側(cè)面造價是每平方米 10 元，則該容器的最低總造價是 _（單位：元） 14.如圖，在邊長為 e （ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部 分的概率為 _. 15.若集合 ,4,3,2,1, dcba 且下列四個關(guān)系： 1a ； 1b ； 2c ； 4d 有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組),( dcba 的個數(shù)是 _. 三 解答題：本大題共 6 小題，共 80 分 . 16.（本小題滿 分 13 分） 已知函數(shù) 1( ) c o s ( s i n c o s )2f x x x x . （ 1） 若 02，且 2sin2 ，求 ()f 的值； （ 2） 求函數(shù) ()fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間 . 17.（本小題 滿分 12 分） 在平行四邊形 ABCD 中， 1A B B D C D ， ,A B B C D C D B D.將 ABD 沿BD 折起，使得平面 ABD 平面 BCD ，如圖 . （ 1） 求證： CD CD ； （ 2） 若 M 為 AD 中點，求直線 AD 與平面 MBC 所成角的正弦值 . 18.（本小題滿分 13 分） 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1000 位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從 一個裝有 4 個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出 2 個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧 客所獲的獎勵額 . （ 1）若袋 中所裝的 4 個球中有 1 個所標(biāo)的面值為 50 元，其余 3 個均為 10 元，求 顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望 ； （ 2）商場對獎勵總額的預(yù)算是 60000 元，并規(guī)定袋中的 4 個球只能由標(biāo)有面值 10 元和 50 元的兩種球組成，或標(biāo)有面值 20 元和 40 元的兩種球組成 .為了使顧客得到的獎勵 總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的 4 個球 的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由 . 19.（本小題滿 分 13 分） 已知雙曲線 )0,0(1:2222 babyaxE的兩條漸近線分別為 xylxyl 2:,2: 21 . （ 1）求雙曲線 E 的離心率； （ 2）如圖， O 為坐標(biāo)原點，動直線 l 分別交直線 21,ll 于 BA, 兩點（ BA, 分別在第一， 四象限），且 OAB 的面積恒為 8，試探究：是否存在總與直線 l 有且只有一個公 共點的雙曲線 E ？若存在，求出雙曲線 E 的方程；若不存在，說明理由。 20. （本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) axexf x （ a 為常數(shù) ）的圖像與 y 軸交于點 A ，曲線 xfy 在點 A 處 的切線斜率為 -1. （ I）求 a 的值及函數(shù) xf 的極值； （ II）證明：當(dāng) 0x 時， xex 2 ； （ III）證明：對任意給定的正數(shù) c ，總存在0x，使得當(dāng) ，0xx，恒有 xcex 2 . 21. 本題設(shè)有（ 1），（ 2），（ 3）三個選考題，每題 7 分，請考生任選 2 題作答，滿分 14 分 . 如果多做，則按所做的前兩題計分 .作答時，先用 2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題 號右邊的 方框涂黑，并將所選題號填入括號中 . （ 1）（本小題滿分 7 分）選修 4 2：矩陣與變換 已知矩陣 A 的逆矩陣 21 121A. （ I）求矩陣 A ； （ II）求矩陣 1A 的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量 . （ 2）（本小題滿分 7 分）選修 4 4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程 已知直線 l 的參數(shù)方程為tytax42 ，（ t 為參數(shù)），圓 C 的參數(shù)方程為 sin4cos4yx ，（ 為常數(shù)） . （ I）求直線 l 和圓 C 的普通方程；