論文摘要 小波變換是近十來年發(fā)展起來的一種新的信號分析與處理的域變換技術(shù)。它 把信號在不同尺度上進行小波展開，因而更適合于處理突變和非平穩(wěn)信號。目前 國際上已經(jīng)形成了基于該技術(shù)的靜態(tài)圖像壓縮標準j p e g 2 0 0 0 。本文首先簡 單介紹了這一標準的內(nèi)容，然后詳細介紹了小波變換數(shù)學(xué)理論，主要內(nèi)容有正交 小波的多尺度分析，小波變換的快速m a l l a t 算法，基于快速提升算法的第二代 小波等，接著又介紹了基于小波變換的二維圖像編解碼技術(shù)一一集分割算法 ( s p i h t ) ，它是來源于零樹編碼的一種更為有效的標志位編碼方法。之后論文 介紹了整個算法的仿真驗證方法，小波變換部分主要用m a t l a b 仿真，s p i h t 編解碼部分主要用v c + + 仿真，并對編解碼過程中獲得的原始數(shù)據(jù)進行了分析， 提出了改進的方法。最后介紹了編解碼系統(tǒng)的d s p 實現(xiàn)。 關(guān)鍵詞：小波變換j p e g 2 0 0 0s p i h td s p a bs t r a c t i nr e c e n td e c a d e s ，t h e r eh a sb e e nd e v e l o p e dan e wk i n do fd o m a i nt r a n s f o r i t t t e c h n o l o g yi ns i g n a la n a l y s i sa n dp r o c e s s i n g - - w a v e l e tt r a n s f o r m i tu s e sw a v e l e t st o s p r e a dt h es i g n a li nv a r i o u ss c a l e s ，s oi ti sf i tf o rs i n g u l a r i t ya n du n s m o o t h e ds i g n a l p r o c e s s i n g a tt h ep r e s e n tt i m e ，b a s e do nt h i st e c h n o l o g y , t h ew o r l dh a sd e v e l o p e da s t a t i ci m a g e - e n c o d i n gs t a n d a r d j p e g 2 0 0 0 t h i sp a g ef i r s ti n t r o d u c e st h es t a n d a r di n b r i e f , a n dt h e ni n t r o d u e e st h ew a v e l e tt r a n s f o r mt h e o r yi nd e t a i l t h em a i nc o n t e n th a s o r t h o g o n a l w a v e l e t sm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，w a v e l e tt r a n s f o i t n sf a s tm a l l a t a l g o r i t h m ，t h es e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e tt r a n s f o r mb a s e do nt h el i f t i n gs t e p sa n ds o o n a n dt h e nb a s e do nt h i st r a n s f o r m ，t h ep a p e ri n t r o d u e e st h et w o d i m e n s i o ni m a g e e n c o d i n ga n dd e c o d i n gt e c h n o l o g y - - s p i t t t ( s e tp a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ) ， w h i c hi sd e r i v e df r o mt h ee z w ( e m b e d d e dz e r o t r e e so fw a v e l e tt o e f f i c i e n t s ) t e c h n o l o g yw h i l ei t i se v e nm o r ee f f e c t i v es y m b o lb i te n c o d i n gt e c h n o l o g y f o l l o w i n g t h i si ti n t r o d u c e st h es i m u l a t i o no ft h ew h o l ea l g o r i t h m w j v e l e tt r a n s f o r mi sm a i n l y s i m u l a t e db vm a t l a b a n ds p i h ti ss i m u l a t e db yt h ev c + + t h ep a d e ra n a l y z e s t h ei n i t i a id a t aa n db r i n g sf o r w a r ds o m ei m p r o v e dm e t h o d s l a s t i ti n t r o d u c e st h e s y s t e mr e a l i z a t i o n - i nd s p k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r mj p e g 2 0 0 0s p i h td s p 1 1引言 第一章緒論 視覺是人類感知外部世界最重要的手段，據(jù)統(tǒng)計，在人類獲取的信息中，視 覺信息占6 0 ，圖像正是人類獲取信息的主要途徑，因此和視覺緊密相關(guān)的圖 像處理技術(shù)的潛在應(yīng)用范圍自然十分廣闊。而伴隨著個人電腦和i n t e m e t 的廣泛 普及，數(shù)字圖像處理技術(shù)迅速發(fā)展了起來，隨著人們對圖像質(zhì)量的要求越來越高， 圖像的信息量越來越大，而網(wǎng)絡(luò)帶寬和計算機處理速度是有限的，因此對數(shù)字圖 像處理技術(shù)的要求也就越來越高了，不但要求算法簡潔，快速而且要求對圖像的 壓縮率要高。 1 2 課題的提出和意義 近2 0 年來，隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了各種各樣的靜止圖像壓縮技術(shù)， 如：j p e g 、t i f f 、p n g 、h d f 和p c x 等，其中最成功的當(dāng)推j p e g 標準。j p e g 標準是由i s o i e c 聯(lián)合技術(shù)委員會下屬工作組：聯(lián)合圖像專家組( j p e g ，j o i n t p h o t o g r a p h i ce x p e l sg r o u p ) s 1 定的。由于j p e g 優(yōu)良的品質(zhì)，目前網(wǎng)站上8 0 的 圖像都是采用j p e g 標準。然而，隨著多媒體應(yīng)用領(lǐng)域的快速增長，傳統(tǒng)j p e g 壓縮技術(shù)已無法滿足人們對數(shù)字化多媒體圖像資料的要求，如：網(wǎng)上j p e 6 圖像 只能一行一行地下載，直到全部下載完畢，才可以看到整個圖像，如果只對圖像 的局部感興趣也只能將整個圖片下載下來再處理；j p e g 格式的圖像文件體積仍 然嫌大：j p e g 格式屬于有損壓縮，當(dāng)被壓縮的圖像上有大片近似顏色時，會出 現(xiàn)馬賽克現(xiàn)象；同樣由于有損壓縮的原因，許多對圖像質(zhì)量要求較高的應(yīng)用傳統(tǒng) j p e g 無法勝任。為了彌補傳統(tǒng)標準的不足，適應(yīng)2 1 世紀圖像壓縮的需要，早在 1 9 9 7 年，i s 0 i r u t 組織下的i e c j t c l s c 2 9 w g l 小組便開始著手制定新的靜止 圖像壓縮標準j p e g 2 0 0 0 。與傳統(tǒng)j p e g 基于離散余弦不同，j p e g 2 0 0 0 基于離 散小波變換，它不僅在壓縮性能方面明顯優(yōu)于j p e g ，還具有很多j p e g 無法提供 或無法有效提供的新功能，比如，同時支持有損和無損壓縮、大幅圖像的壓縮、 漸進傳輸、感興趣區(qū)編碼、良好的魯棒性、碼流隨機訪問等。j p e g 2 0 0 0 的所有 這些特點，使得它的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，尤其在i n t e r n e t 傳輸、無線通信、醫(yī) 療圖像等領(lǐng)域?qū)⒕哂姓T人的應(yīng)用前景。 本論文對與j p e g 2 0 0 0 相關(guān)的核心技術(shù)小波變換和基于小波變換的編解 碼技術(shù)作了深入研究，然后用m a t l a b 對小波變換進行了仿真，用v c + + 對基于小 波變換的s p i h t 編解碼算法進行了仿真，并對編解碼過程中所獲得的數(shù)據(jù)進行了 分析，提出了一些改進方法，最后介紹了系統(tǒng)的d s p 實現(xiàn)。 第二章j p e g 2 0 0 0 圖像壓縮標準 j p e g 2 0 0 0 靜態(tài)圖像壓縮標準分為下列7 個部分： ( 1 ) j p e g 2 0 0 0 圖像編解碼系統(tǒng)； ( 2 ) 擴充( 給( 1 ) 的核心定義添加更多的特征和完善度) ； ( 3 ) 運動j p e g 2 0 0 0 ： ( 4 ) 一致性； ( 5 ) 參考軟件( 包含j a v a 和c 實現(xiàn)) ； ( 6 ) 復(fù)合圖像文件格式( 用于文件掃描和傳真應(yīng)用程序) ； ( 7 ) 對( 1 ) 的最小支持( 技術(shù)報告) 。 其中( 1 ) 是完全被認可的i s o 標準，定義了核心壓縮技術(shù)和最小文件格式，f 2 ) 一( 6 ) 定義壓縮和文件格式的擴充。下面對第( 1 ) 部分做進一步的說明。 一個典型的j p e g 2 0 0 0p a r t l 的壓縮過程如圖2 1 所示。 2 1 數(shù)據(jù)預(yù)處理 圖2 1j p e g 2 0 0 0 壓縮過程 p a r t l 的預(yù)處理一般包括三種操作：區(qū)域劃分，降低量級，分量變換。 2 1 1 區(qū)域劃分 區(qū)域劃分是指將圖像劃分為大小相等的若干區(qū)域，對每一區(qū)域獨立進行壓縮 處理。區(qū)域劃分的目的在于要降低壓縮過程所需的內(nèi)存資源，如果內(nèi)存足夠，這 一步可以忽略。p a r t i 要求劃分的區(qū)域是互不重疊的，因為這種劃分是最簡單 的，但由此而產(chǎn)生的一個缺點就是邊緣象素環(huán)境信息的缺乏，這個問題可以采用 邊界鏡像擴展技術(shù)來解決。 2 1 2 降低量級 降低量級是將采樣精度為尸的無符號整數(shù)減麥2 ”，使原來范圍為 0 ，2 ”一1 的樣本移位到 一2 “1 ，2 “1 一i 】這個關(guān)于0 對稱的范圍內(nèi)。這一步在簡化對數(shù)值溢 出等問題處理的同時，不會影響編碼的效率。 2 1 3 分量變換 m 卜2 9 9 m 5 8 7 n l l 4 ” gi = | _ o 1 6 8 7 5 一o 3 3 1 2 6 o 5 0 0 g lc r jl 0 5 0 0 0 4 1 8 6 9 0 0 8 1 3 1 兒b j y ：l - r + 2 g + bl ，【，：r g ，y ：b - g 2 2 離散小波變換( d w t ) d w t 是j p e g 2 0 0 0 的核心之一，關(guān)于這部分理論會在第三章作詳細論述這里只作概 要說明。 預(yù)處理后的數(shù)據(jù)將進行離散小波變換，以進一步降低數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。與 j p e g 采用的離散余弦變換f o c r ) 相比，d w t 具有很好的局部性，能夠針對不同 類型特點的圖像中的不同區(qū)域采用不同的空一頻分辨率，從而有可能取得更好的 壓縮比，而且它還可以提供實現(xiàn)無損壓縮的機制。簡單來講，一維d w t 即是對 源信號進行了一系列的高通和低通濾波，并在每次濾波后將數(shù)據(jù)采樣頻率降為原 來的一半，以保證每次小波變換后得到的系數(shù)與源信號數(shù)目相同。每次的低通濾 波輸出保存了源信息的低頻信息，它是一個以更低分辨率對源信號的再現(xiàn)，集中 了源信號中的大部分能量：而高通濾波輸出保存的則是源信號的高頻信息，如邊 界、材質(zhì)等，其中所含能量很少。一次低通濾波后的信號往往還存在著大量的相 關(guān)性，為提高壓縮性能，仍需要對它再次濾波，直至信號之間相關(guān)性達到可以忽 略的程度為止。高通濾波后的信號由于能量很小，再對它進行濾波往往是不劃算 的，因而一般不再對它濾波。這種濾波方式被稱為d y a d i c 分解，它是 j p e g 2 0 0 0 p a r t l 唯一支持的分解方式。二維d w t 是對一維d w t 的簡單擴充， 通過將行信號和列信號與高通濾波器g ( n ) 和低通濾波器h ( n ) 進行不同的組合 源圖像被劃分為4 個子帶。其中唯一的一個低頻子帶仍可以繼續(xù)分解。 2 3 量化 i p e g 2 0 0 0 的量化與j p e g 量化基本相同：總體上都是采用均勻量化：不同子 帶的量化步長一般不同。量化器步長是因子帶而異的，目前有兩種考慮因素：一 種是人類視覺對子帶信號的敏感性( h v s 的屬性) ；另一種是依據(jù)不同子帶的均方 誤差對重建后圖像的總均方誤差的貢獻大小來決定量化步長。量化器步長的傳輸 也有兩種方式：一種是類似于j p e g 中的q - t a b l e ，顯式地傳給解碼器：另一種僅 傳輸某子帶的量化器步長ab ，其它子帶步長由ab 計算出。 2 4 白適應(yīng)算術(shù)編碼( 第一層編碼) 和碼流組織( 第二層編碼) 優(yōu)化截取的嵌入式塊編碼( e b c o t ) 算法，它是基于小波變換的嵌入式編碼的 方法之一，是j p e g 2 0 0 0 的另一個核心技術(shù)。其主要思想是基于s h a p i r o 提出的 e z w ( 嵌入式零樹編碼) ，本文將在第三章著重論述e z w 的改進算法s p i h t 算 法。 所謂“基于小波變換的嵌入式編碼”是指編碼器將等待編碼的、經(jīng)過小波變 換后的比特流按重要性不同進行排序，提供多個滿足不同目標碼率或失真度的截 斷點，使得解碼器方能根據(jù)目標碼率或失真度的要求在某一截斷點結(jié)束解碼，提 供相應(yīng)質(zhì)量的圖像。在進行塊編碼時，j p e g 2 0 0 0 強調(diào)多截斷點的支持，越多的 截斷點，表明圖像可提供更多的質(zhì)量選擇。對碼流的組織，e b c o t 也有專門的 論述。碼流的組織( 第二層編碼) 就是將上述截斷的數(shù)據(jù)進行打包，并附加相關(guān)的 標志信息，從而實現(xiàn)j p e g 2 0 0 0 對多失真度的支持。 2 5j p e g 2 0 0 0 的主要技術(shù)優(yōu)勢 j p e g 2 0 0 0 相對以往的j p e g 標準有一個很大的飛躍。以前彩色靜態(tài)圖像編碼 采用j p e c ；二值靜態(tài)圖像采用j b i c ：低壓縮率編碼采用j p e c l s 。多種方式同 時存在，而j p e g 2 0 0 0 則將上述方式統(tǒng)一起來，成為各種圖像的通用編碼方式。 不僅如此，j p e g 2 0 0 0 還有許多原先的標準所不可比擬的優(yōu)點。 1 ) 高壓縮率 j p e g 2 0 0 0 格式的圖片壓縮比可在現(xiàn)在的j p e g 基礎(chǔ)上再提高1 0 3 0 ，而 且壓縮后的圖像顯得更加細膩平滑。 2 ) 漸進傳輸 j p e g 2 0 0 0 格式的圖像支持漸進傳輸( p r o g r e s s i v et r a n s m i s s i o n ) ，就是先傳輸 圖像輪廓數(shù)據(jù)，然后再逐步傳輸其他數(shù)據(jù)來不斷提高圖像質(zhì)量。這樣你就不需要 像以前那樣等圖像全部下載后才決定是否需要，而是先直接快速瀏覽圖像概貌， 之后再決定是否需要更細致的圖像。 3 ) 感興趣區(qū)域壓縮 j p e g 2 0 0 0 另一個極其重要的優(yōu)點就是r o i ( r e g i o no fi n t e r e s t ，即感興趣區(qū) 域) 。我們可以對一幅圖像中我們感興趣的部分采用低壓縮比以獲取較好的圖像 效果，而對其他部分采用高壓縮比以節(jié)省存儲空間。 4 ) 同時支持有損壓縮和無損壓縮 j p e g 標準無法在司一個壓縮模式中同時提供有損和無損壓縮，而在 j p e g 2 0 0 0 標準中，能在同一個算法中對圖像進行有損和無損壓縮，并且能實現(xiàn) 非常大圖像壓縮。 5 ) 其它技術(shù)優(yōu)勢 考慮了人的視覺特性： 增加了視覺權(quán)重和掩膜，在不損害視覺效果的情況下大大提高了壓縮效率； 碼流的隨機訪問和處理： 這一特征允許用戶在圖像中隨機地定義感興趣區(qū)域，使得這一區(qū)域的圖像質(zhì) 量高于其它圖像區(qū)域；碼流的隨機處理允許用戶進行旋轉(zhuǎn)、移動、濾波和特征提 取等操作。 容錯性： 在碼流中提供容錯性有時是必要的，例如在無線等傳輸誤碼很高的通信信道 中傳輸圖像時，沒有容錯性是讓人不能接受的。 開放的框架結(jié)構(gòu)：有利于在不同的圖像類型和應(yīng)用領(lǐng)域優(yōu)化編碼系統(tǒng)。 基于內(nèi)容的描述：基于內(nèi)容的描述在j p e g 2 0 0 0 中是壓縮系統(tǒng)的特性之 第三章小波變換數(shù)學(xué)理論 3 1 小波變換概論 傳統(tǒng)傅立葉分析只能對信號進行時域或頻域單獨進行分析，時域上有限的信 號在頻域是無窮的，頻域內(nèi)有限的信號在時域里是無窮的，其時頻窗如圖3 1 所 示： f 霪 f 時域有限 頻域無限 圖3 1 傅氏分析 頻域有限 時域無限 為了解決傅氏分析的上述局限性，提出了短時傅立葉分析，其時頻窗如圖3 2 所示，即在時域和頻域內(nèi)同時進行分析，但只能作均勻分析，對信號中的畸變部 分( 時域或頻域內(nèi)的) ，則由于分辨率不夠而無法做出精確分析。 圖3 2 短時傅立葉分析圖3 3 小波分析 小波分析解決了以上的所有問題，它不僅能在時域和頻域內(nèi)同時分析，而且 還能自動調(diào)整分辨率，其時頻窗如圖3 3 所示，采用不同尺度的小波，即頻率或 高或低的小波對信號的不同時刻作相關(guān)，這樣，在時域內(nèi)信號的奇變部分可采用 短時高頻小波進行分析，對應(yīng)時頻圖的上部，而對時域內(nèi)的緩變部分則采用長時 低頻小波進行分析，對應(yīng)時頻圖的下部，可根據(jù)不同信號調(diào)整分辨率，因而小波 分析被譽為數(shù)學(xué)上的“顯微鏡”。 墨 3 2 連續(xù)小波變換 3 2 1 定義 連續(xù)小波變換的數(shù)學(xué)表達式： ( 啪) = r 歹( 竿地口 。 ( 3 1 ) ( f ) ，g t ( t ) 是平方可積的，且_ ；f ，o ) 的傅氏變換甲( ) 滿足條件： q = 0 w ( c o ) 1 2 c o d c o 1 ) ，表示用伸展了的y ( ，) 波形去觀察整個廠( ，) ； 反之，當(dāng)日減小時( o 口 1 ) ，則以壓縮了的( ，) 波形去衡量- 廠( f ) 的局部，見圖 3 4 。所以，隨著尺度因子的從大變到小( o 口 + ) ，廠( f ) 的小波變換可以反映( f ) 從概貌到細節(jié)的全部信息。從這個意義上說，小波變換是一架“變焦鏡頭”，它 既是“望遠鏡”，又是“顯微鏡”，而a 就是“變焦旋鈕”。 圖3 4 尺度因子, 1 2 和移位因子b 的作用 3 2 2 允許小波 與傅氏變換類似，也存在小波反變換。設(shè)f ( t ) r ) ，則 廠( r ) 2 專r 。e 吉哆( 以6 ) “，) 拍出 ( 。棚 為使小波反變換有意義，小波函數(shù)需要滿足o g + 。o ，即 o 大錚頻率。：大- - d ( 3 1 6 ) 因此，時頻相平面上的窗口分布如圖3 所示?！氨馄健睜畹臅r頻窗是符合信號低 頻成份的局部時頻特性的，而“瘦窄”狀的時頻窗是符合信號高頻成份的局部時 頻特性的。 3 3離散小波變換 3 3 1 連續(xù)小波變換的冗余 由式( 3 4 ) 所示的小波變換的反演公式可知，( f ) 可由它的小波變換哆( n ，b ) 精確地重建，它也可看成將廠( f ) 按“基”虬。( f ) 的分解，系數(shù)就是，( f ) 的小波變 換，但是“基”虬。( f ) 的參數(shù)d ，b 是連續(xù)變化的，所以憶，。o ) 之間不是線性無關(guān) 的，也就是說，它們之中有“富余”的，這就導(dǎo)致孵( ，6 ) 之i f i 有相關(guān)性，數(shù)學(xué) 表述如下： 對于n = a p b = b i ，有 ( q ，6 1 ) 2j 廠( f ) 礦。( o a t 2 摩r 。亡吉( g 摻觶) 踟婦) 瓦“r 矽 2 專r 。l 吉哆( 。，6 ) ( 以) 歹。n q 皿) 如如 = r 。吉( 啪) ( 6 ，b o d b d a ， ( 3 其中 ( 日，口l ，6 ，島) = u 1 【虬，。( ，) 玩 ( o a t ， ( 3 1 8 ) 上式( 3 1 7 ) 說明( n ，島) 處的小波變換略( d ，6 1 ) 可以由半平面o 口 + o 。， 一。 b 0 ，是常數(shù) f ( t ) 得離散小波變換為： 町( ，七) - j f ( t ) j ，t ( t ) d t ( 31 9 ) 離散小波變換是尺度一位移相平面的規(guī)則分布的離散點上的函數(shù)，與連續(xù)小 波變換相比，少了許多點上值，但是有如下兩個結(jié)論： ( 1 ) 離散4 、波變換所( ，i ) 包含了函數(shù)廠( f ) 的全部信息，或者說，由 盯( ，k ) 可重構(gòu)原函數(shù)廠( f ) ； ( 2 ) 任意函數(shù)廠( f ) 都可以以蚧，。( f ) 為“基”表示出來。 當(dāng)取= 2 時，就成為離散- - 進4 波變換： ( 2 , k ( 忙歹1y ( 砉叫艫e z ( 3 2 0 ) 函數(shù)( f ) l 2 ( r ) 對應(yīng)的二進小波變換便可被寫成 吩( ，七) = = 擊e 廠( ，) y - - 可t k ) d t ( 3 2 1 ) 3 4 。正交小波變換 一般來說離散小波變換的信息量仍然是有冗余的。從數(shù)值計算及數(shù)據(jù)壓縮的 角度，我們?nèi)韵Ｍ麥p少它們的冗余度：另外，離散小波框架一般不是r ( r ) 的正 交基。本節(jié)要做的事情就是尋找信息量沒有冗余的小波和r ( 凡) 的正交基，如何 構(gòu)造官們。 3 4 1 正交小波變換的定義 若式( 3 2 0 ) 中y ( ，) r ( r ) 是一個可容許小波，若其二進伸縮平移系v j , t ( ，) ， _ ，k z 構(gòu)成r ( r ) 的標準正交基，則稱( r ) 為正交小波，也稱。( r ) 是正交小波 函數(shù)，稱相應(yīng)的離散小波變換式( 3 2 1 ) 為正交小波變換。 讓我們來看一個正交小波的非常簡單的例子，這就是數(shù)學(xué)家a ，h a a r 在上世 紀初提出的h a a r 系，它取小波母函數(shù)矗( f ) 為 其頻域表達式為 h ( t ) = 它們的圖形見圖3 5 。 l o l 2 j k r ( 2 k + 1 ) 2 ， 一麗1 ，( 2 k + 1 ) 2 7 1 r ( 尼+ 1 ) 2 7 ， ( 3 2 2 ) 0 ，其他 一竺 h ( 甜) ：! 二絲：! i c o ( a ) 時域波形 取它的二進伸縮平移系 易知有 矗( f ) 0 ( 3 2 3 ) 圖3 5h a a r 小波 0 ( b ) 頻域波形 l 朋= 歹1 ( 歹t t ) ，尼z ( 32 4 ) 1 1 j 1 2 2 7 2 0 ， 2 k f ( 2 k + 1 ) 2 。一。 ( 2 k + 1 ) 2 一1 ，( k + 1 ) 2 ，( 32 5 ) 其他 容易驗證 k 。( f ) 。構(gòu)成f ( r ) 的一個標準正交基。 然而h a a r 系的小波函數(shù)是不連續(xù)的，且它在頻域隨的衰減速度僅為三，因此， 珊 它不能滿足對基的光滑性的要求，頻域的局部性也較差，在實際應(yīng)用中很少用它， 但它的結(jié)構(gòu)簡單，很方便用來說明問題，常用于理論研究中。 3 4 2 構(gòu)造正交小波的多尺度分析 3 4 2 1 多尺度分析( m u l i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 簡稱 v e r a ，也稱多分辨率分析，是s m a l l a t 在1 9 8 8 年提出的。 定義：我們稱滿足下述條件的l 2 ( r ) 中的一列子空間 _ 旭及一個函數(shù)p ( f ) 為一個正交多尺度分析，記為( ) 腳，妒( f ) ) ： ( 1 ) _ _ _ l j z ， ( 3 2 6 ) ( 2 ) 廠( f ) 0 曹f ( 2 t ) - 1 ， ( 3 2 7 ) ，( 3 ) i _ = o ，u _ z ( r ) ，( 3 2 8 ) e 2j e 2 ( 4 ) c o ( t ) ，且 c o ( t - k ) 。是v o 的標準正交基，稱c o ( t ) 是此多尺度分析的 尺度函數(shù)或父函數(shù)。 由性質(zhì)( 2 ) 、( 4 ) 可知，對于任何，( f ) ，有，( 寺) 巧，且容易驗證，函 j 數(shù)系 22 c o ( 2 吖，_ 七) 。構(gòu)成了的一組標準正交基。 下面我們先討論如何由 v a 觸構(gòu)造空間r ( 尺) 的正交分解r ( j r ) = o 。 e 2 由于_ _ + 記是_ 在_ 一中的正交補空間，即l 一= 巧+ ，上l ， ，z ，這樣得到空間列 ) 坤，顯然當(dāng)m ，n ez ，m ”時，有j _ 。另外， l 一，= 0 + 2 _ + ，+ + 。+ 2 巧+ 2 + + 2 + + l + = l = _ + ；+ 嘭+ ，+ 形一+ + ：l + 。+ ， 令s 一舊，得到：一。= o ，令，斗，得到： 一j l z ( r ) = o ( 3 2 9 ) 我們也稱為尺度為_ ，的小波空間，巧為尺度為的尺度空間。由于是巧在 巧一中的正交補，因此，也稱_ 在_ 一，的細節(jié)空間。 有上述過程可知，由彤 仲可確定 ) 血。 下面，我們再來看如何由妒( f ) 求出暇的標準正交基。 我們注意到e 中函數(shù)也有對伸縮變換的特點：若非零函數(shù) 廠( f ) 營f ( 2 t ) _ 1 0 正是因為對伸縮變換的上述特點，我們尋找的標準正交基的問題歸結(jié) 為找的標準正交基即可。我們希望的標準正交基是由一個函數(shù)妒( f ) 的平移 系構(gòu)成。在通過p ( f ) 尋找y ( f ) 之前，我們先來研究它們應(yīng)滿足的性質(zhì)，以及它們 之間的關(guān)系。 3 4 2 2 尺度函數(shù)和小波函數(shù)的性質(zhì) 并不是任何函數(shù)的平移系都是標準正交系，下面定理說明這樣的特性函數(shù)的 條件。 使 定理1 ：設(shè)妒( f ) r ( r ) ，令。( f ) = 妒o 一七) ，則 。( f ) ) 。是標準正交系 i o ( c o + 2 k z c ) 2 - = 1 ( 3 3 0 ) e 2 其中 ) 是妒( f ) 的傅立葉變換。 定理2 ：設(shè)職 。和尺度函數(shù)妒( f ) 構(gòu)成r ( 胄) 的一個多尺度分析，則有 吼 。 其中，顯然有 萬1 心) = 薹吲h ) 釓= 萬i p ( 圭) _ ( ，礎(chǔ) ( 3 ，：) 在式( 3 3 1 ) 兩端取傅立葉變換，得到 , 2 ( 1 ) ( 2 c o ) = p ?！爸? ) ， 即 中( 2 ) = 芹1 魄e 一“中( 珊) ， t z k e 2 記 即得 日( ) ：去吃e f 、，z 女2 q b ( 2 c o ) = h ( c o ) q b ( c o ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 式( 3 3 3 ) 是 “) 。得傅立葉變換或頻域形式，也稱為共軛濾波器，稱h k 為 濾波器系數(shù)，而式( 3 3 1 ) 稱為雙尺度方程，式( 3 3 4 ) 是雙尺度方程得頻域形 式。 定理3 ：設(shè) h k ) 是一個以妒( f ) 為尺度函數(shù)得多尺度分析的濾波器系數(shù)，h ( c o ) 是它的頻域形式，則 ( 1 ) i h ( c o ) 1 2 + i - z ( c o + 廳) 1 2 = 1 ， ( 2 ) 若 以) 滿足i 峻i + 0 0 1 1 q b ( c o ) 連續(xù)，( o ) 0 ，則h ( o ) = l 。 i 將h ( 0 ) = 1 代入( 3 3 3 ) 可得 = 壓 佃 ( 3 3 5 ) 定理4 ：設(shè)職 。和尺度函數(shù)妒( f ) 構(gòu)成r ) 的一個多尺度分析， ) 。是由 它所確定的小波空間，若w ( t ) r v 0 ，則有 g 。) 。，使 其中 萬1 鳴) = 薈踟。叫， = 擊y c 扣c h ，田 ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 與式( 3 3 4 ) 類似，式( 3 3 6 ) 的頻域形式為： w ( 2 c o ) = g ( c o ) 中( c 0 1 ( 3 3 8 ) 其中 g ( 咖擊薈即“ 。， 式( 3 3 6 ) 也稱為雙尺度方程。式( 3 3 1 ) 和式( 3 3 6 ) 這兩個雙尺度方程是 多尺度分析賦予尺度函數(shù)妒( f ) 和小波函數(shù)( f ) 的最基本性質(zhì)。 對于給定的多尺度分析( ) 。，妒( f ) ) ，如何找到w o 中的一個函數(shù)( f ) ，有下 定理。 定理5 ：設(shè)給定的多尺度分析的尺度函數(shù)伊( f ) ，則 ( 1 ) y ( f ) w o 的充要條件是 ( 2 ) 日( ) - ( 甜) + ( + 石) 石( 國+ 石) = 0 o ( c o ) 1 2 + i o ( c o + 7 1 ) 1 2 = 1 ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 ) 式( 3 4 0 ) 和( 3 4 1 ) 是函數(shù)系( o 一七) ) 。構(gòu)成睨的標準正交基的充要 條件。 定理5 告訴我們滿足式( 3 4 0 ) 和( 3 4 1 ) 的函數(shù)礦0 ) 可構(gòu)成的標準正交 基，下面的定理說明這樣的g ( t ) 可以構(gòu)成r ( 胄) 的標準正交基。 定理6 ：設(shè)y ( f ) r 怛) ，且滿足式( 3 4 0 ) 和( 3 4 1 ) ，則( f ) 的伸縮平移系 ，i ( f ) = 2 - s 2 ( 2 7 卜七) ，工k z ( 3 4 2 ) 構(gòu)成r 似) 的標準正交基。 下述定理說明如何由p ( f ) 構(gòu)g ( t ) 標準正交基。 定理7 ：對于已給的多尺度分析( 吒 。，p ( f ) ) ，取g ( 甜) = p h ( c o + 萬) ，則由 式( 3 3 8 ) 所確定的函數(shù)伊( f ) 的伸縮平移系 2 - j 1 2 l c ，( 2 t - k ) 。：構(gòu)成r ( 胄) 的標 準正交基，其中h ( c o ) 由式( 3 3 3 ) 所確定。 3 4 2 3 由多尺度分析構(gòu)造正交小波基 至此，我們得到一個從多尺度分析( 形 。，c o ( o ) ，求得r ( r ) 的小波函數(shù) g ( t ) ，進而 求得r ) 的小波基 2 - j 1 2 y ( 2 t 一七) ) f 肛：的步驟： ( 1 ) 由妒( f ) 及式0 ( 2 0 0 ) = ( 歸( ) ，確定h ( c o ) ： ( 2 ) 由h ( o ) 及式g ( 出) = e - t o h ( t o + 口) ，確定g ( c o ) ； ( 3 ) 由g ( c o ) ，o ( c o ) 及式t ( 2 c o ) = g ( 如( ) ，確定w ( c o ) ； ( 4 ) 由甲( 甜) 和逆傅立葉變換確定g ( t ) 。 上述步驟基本是在頻域內(nèi)進行的，也可在時域內(nèi)進行： 1 ( 1 ) 姒f ) 及公式仇= 萬1 伊( 扣皿確定一 ( 2 ) 由式g 。= h i - ( 一1 ) 1 ”z ) 確定 g 。 ( 3 ) 由y o ) ， ) 一及式去( 爭= g k i o ( t 一七) 甲( ) 確定妒( f ) 。 v 上 厶 l e 2 3 4 3m a l l a t 算法 ( 3 4 3 ) 3 4 ，3 1函數(shù)的正交小波分解和多尺度逼近 由一個給定的多尺度分析( _ ) 皿，妒( f ) ) 可確定一個小波函數(shù)杪( f ) 和相應(yīng)的小 波空間 嘭) ，且2 ( r ) 2j 是：。因此，對任何廠( f ) 衫俾) ，有 廠( f ) = d j ， 。t ( f ) ( 3 4 4 ) ，i e i 其中哆，。= ，_ ，k ez 由離散小波變換的定義知，弘m 。：就是，( f ) 的離散小波變換。由于此時 y p ) m ) 小。是r ( r ) 的正交基，故 哆，。：是廠( f ) 的 正交小波變換，式( 3 4 4 ) 就是它的重構(gòu)公式，也稱為f ( t ) 的正交小波分解。 若記哆。吩，。( f ) = ( f ) ，則呂( f ) ，而o _ = 巧一_ 的頻率范圍恰是巧一一 的- - 4 a ，且是_ 一，中的低頻表現(xiàn)部分，所以，的頻率表現(xiàn)在_ 與_ 一。之間的部 分，它表現(xiàn)的是一個有限頻帶。所以，通常巧表現(xiàn)了_ 一。的“概貌”，表現(xiàn)了_ 一。 的“細節(jié)”。由于的頻帶是互不重疊的，所以表現(xiàn)的是不同頻帶中的“細 節(jié)”。此時式( 3 4 4 ) 可寫成 弛) = g 。( f ) ( 3 4 5 ) ，e 2 它說明，任何一個函數(shù)廠( f ) r ( 尺) ，可以分解成不同頻帶的細節(jié)之和。隨著j 的 不同，這些頻帶是互不重疊，且充滿整個頻率空間的。這樣，正交離散小波變換 d j 。的時一頻窗是互不重疊、相互鄰接的，它們形成了對時一頻平面的一種剖分。 在實際中，任何函數(shù)f ( t ) e r ( 足) ，它實際上只有有限的細節(jié)，因為物理儀器 記錄下的信號總是只有有限的分辨率，我們可以假設(shè)f ( t ) v o ，將有最精細的細 節(jié)的函數(shù)空間記為圪 由于 = k + 啊= + + 彬 = l l = 巧+ + 一l + l + 形 所以 f ( t ) = 正( f ) + g s ( t ) + g g 一。( f ) + l + 島( f ) ， 其中 ， 勺，。仍+ 。o ) + d s ，。，。( f ) 女e ：i = 1 t e 2 c j = ，k 2 d = ，k z ( 3 4 6 ) f 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) 式( 3 4 6 ) 中的第一項正( f ) ，是廠( f ) 在尺度，下的一種逼近，越大，逼近程度 越差，是廠( f ) 的第j 級“模糊像”，它表示的是，( f ) 的頻率不超過2 。的成份；而 第二項中的g i ( f ) ，是，( r ) 的頻率在2 。到2 ?！爸g的細節(jié)成份。式( 3 4 6 ) 對所 有的j ( j 1 ) 成立，也就是說，我f f n u 得到不同尺度，下的逼近式。我們稱 f j ( t ) = 勺，。n ，。( f ) t e 2 為f ( t ) 的尺度為，的連續(xù)逼近，稱其系數(shù)( 3 4 7 ) 為f ( t ) 的離散逼近，稱 g i ( t ) = 喀。( f ) ( 34 9 ) ( 3 5 0 ) 為，( f ) 在尺度i 下( 或頻率2 。) 的連續(xù)細節(jié)，稱其系數(shù)( 3 4 8 ) 為f ( t ) 的離散細 節(jié)。 3 4 3 2 快速算法 當(dāng)妒( f ) ，p ( f ) 己確定時，要想得到函數(shù)廠( f ) i f ( r ) 的多尺度逼近 ( f ) ，只需 知道b 。) 。，同樣，要想得到廠( f ) 在尺度j 下的細節(jié)，只需知道 d ，。) 。，這也 是我們將它們稱為離散逼近和離散細節(jié)的原因。而b 。 。與 吐，。 。的計算對于 ，有傳遞關(guān)系，見下兩式 i = 巳。砒 ，k z ( 3 5 1 a ) 嘭扎t = o gm ，七z ( 3 5 1 b ) 式( 3 5 1 ) 和( 3 5 2 ) 便是m a l l a t 快速算法。從兩式中可看出，只要知道雙 尺度方程中的傳遞系數(shù) 吃) 一和 島) ( 島= ( 一1 ) 1 h i 一一) ，就可由鯫。) 計算出 h 。) ， d l ，。) ，再由 c 1 ，。) 計算出 c 2 ，。) 一， d 2 。) 一，由 c ：，。) 計算出 e 3 , n ) ， d 3 。) 一，l ，其過程可由圖5 示意。 圖3 6 分解算法示意圖 q d j 以上是快速分解公式，同樣由 o 。) 和 嘭“。 可以重構(gòu)出 c ，) 的快速 算法。 勺，t = o 扎。魄一2 + d j 扎。g i 一2 。， k z( 3 5 2 ) e ：n e ： 這即是由 c 川，。) 和 t “。) 重構(gòu) c 。) 的重構(gòu)公式，它可用圖6 示意： c j q - 1 、她m 圖3 7 重構(gòu)算法示意圖 3 5 m a l l a t 算法濾波器卷積實現(xiàn)的m a t l a b 仿真分析 3 5 1 小波分析、綜合與卷積的關(guān)系 公式( 3 5 1 ) 將較粗略尺度j + 1 上的d w t 系數(shù)與較精確尺度j 上的d w t 系數(shù)聯(lián)系起來。為方便觀察起見，將分析綜合公式改寫為： o + l 【明= c j n h n - 2 k ( 3 5 1 a ) o m ； m a 肼 7 l c d 7 2 五 d 功 d j + l 吲= c j n g n - 2 k ( 3 5 1 b ) 勺= 勺+ ， n h k - 2 n + d 1 + 1 m 舭一u n ( 3 5 2 ) 分解公式類似于傅立葉變換中的卷積運算： x k t h k 】聆】 常規(guī)卷積與分解公式之間的相似性表明，尺度函數(shù)系數(shù)h 。和小波函數(shù)系數(shù)反 可被看成是濾波器的脈沖響應(yīng)。所以d w t 分析是一種形式的濾波。實際上，d w t 分析與簡單的卷積只有兩方面不同：首先，脈沖響應(yīng)的采樣點是倒置的，用h 。 代替了h k 一”1 ；其次，標號k 是乘2 的。分析公式的這個乘2 的標號意味著卷 積后每逢第二個采樣點要被去掉。 公式( 3 5 1 ) 的實現(xiàn)效率很高。對于一個長度為n 的信號，d f t 需要用2 次乘 法和2 次加法，f f t 的加法和乘法次數(shù)均為n l o g ：n ，而d w t 只需n 次乘法 和n 次加法。 公式( 3 5 2 ) 為重構(gòu)公式或稱綜合公式，該公式將較精細尺度上的d w t 系數(shù)和較粗略尺度，+ l 上的d w t 系數(shù)聯(lián)系起來。它實現(xiàn)的是逆d w t ( i d w t ) 功 能。綜合公式中的各項與常規(guī)卷積非常相似，因此也暗含著濾波作用，唯一不同 的是標號n 乘2 ，其效果是脈沖函數(shù)的采樣點隔一個丟棄一個，或者說相當(dāng)于在 c m 。和d 。的采樣點之問插入0 。 如上所述，系數(shù)和甑可以看成是一對濾波器的脈沖響應(yīng)。它表明對于所有 的小波族來說， 。的作用是一個低通濾波器，而既的作用是一個高通濾波器。 通過求它們的離散傅里葉變換的幅度響應(yīng)，通常可以得到濾波器的波形。圖3 8 顯示了d a u b e c h i e s 一4 小波族中兩個互補性很好的濾波器。它們增益曲線的交點是 在它們最大值的3 d b 處。這就意味著這兩個濾波器將頻譜等分成了兩個頻率段。 當(dāng)對一個信號濾波時，低通濾波器的輸出包含了信號的低頻分量，而高通濾波器 的輸出是信號的高頻分量，濾波器特性之所以互補是因為尺度函數(shù)系數(shù)自和小波 函數(shù)系數(shù)g 。有如( 3 4 3 ) 式所示關(guān)系，重寫如下： g 。= k ( 一1 ) ( 月z ) 。 3 0 2 0 0 o 3 1 5 2 7 圖3 8d a u b e c h i e s - 4 族的低通和高通濾波器 對于許多小波函數(shù)族來說，分析和綜合所使用的是相同的小波和尺度函數(shù)濾 波器魄和。然而，對于雙正交小波( b i o r t h o g o n a lw a v e l e t ) 族，綜合濾波器與 分析濾波器是不同的。兩套濾波器的系數(shù)由下面兩個公式建立聯(lián)系的： = ( 一1 ) 。g - l t ( 3 5 4 ) 骺= ( 一1 ) 。h n + ( 35 5 ) 下面從頻域角度理解小波的分解和綜合公式。小波分析的思想是識別信號中 的細節(jié)程度。由上面的分析引入了濾波器的思