致謝 本文是在導(dǎo)師蔡天新教授的悉心指導(dǎo)下順利完成的。在兩年半 的研究生學(xué)習(xí)期間，蔡天新教授的諄諄教導(dǎo)和無微不至的關(guān)懷使我 深受其益，在此致以衷心的感謝! 同時(shí)也要感謝師母林俐老師給我 的關(guān)心和愛護(hù)。 在學(xué)習(xí)和寫作本文期間，系資料室的老師們，給予了我的大力 支持和幫助，在此向她們表示深深的感謝! 最后還要向在學(xué)習(xí)和生活上關(guān)一1 5 、支持和幫助過我的同學(xué)和朋 友們，特別是康旭升同學(xué)表示深深的感謝! 中文摘要 l u c a s 數(shù)列“+ 2 = l 。+ l + k ，l o = 2 ，l 1 = 1 它的特征方程是x 2 一z l = 0 本文 研究了可以表示成特征方程左邊的形式的l u c a s 數(shù)證明了以下主要結(jié)果： ( 一) 只存在有限個(gè)l u c a s 數(shù)可以表示成m 2 一m 一1 的形式； ( 二) 若l u c a s 數(shù)k 可以表示成m 2 一m 一1 的形式，則n = 5 、7 或n ；士1 ( m o d1 6 ) 關(guān)鍵詞 l u c a s 數(shù)；f i b o n a c c i 數(shù)；二次非剩余 2 a b s t r a c t t h es o - c a l l e dl u c a ss e q u e n c ed e f t n e da sl r + 2 = l + l + l n ，l 0 = 2 ，l l = 1 i ti sw e l l k n o w nt h a tt h el u c a sc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o ni sz 2 一z l = 0 i nt h i sp a p e r w es t u d y w h i c hl u c a sn u m b e r sc a nb ew r i t t e na st h ef o r mo ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nw ea b t a i n t h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：t h e r ea r ef i n i t el u c a sn u m b e r sw h i c ha r eo ft h ef o r mm 2 m 一1 ：a n d i f l n = m 2 一m 一1t h e nn = 5 ，7o rn i 士1 ( m o d1 6 ) k e yw o r d s l u c a sn u m b e m ；f i b o n a c c in u r n b e m ；q u a d r a t i cn o n r e s i d u e 3 形如咒2 一n 一1 的l u c a s 數(shù) 第一節(jié)引言 1 2 0 2 年，古羅馬數(shù)學(xué)家f i b o n a c c i 在他的重要著作算盤書中由“兔子問題” 引出了下面的整數(shù)序列： 一b = 0 ，t 1 = 1 ，一k + 2 = 士h + l + 士k ，n 0 ， 如今，人們把這個(gè)序列稱為f i b o u a c c i 數(shù)列，其中的數(shù)稱為f i b o n a c c i 數(shù)1 9 世紀(jì)，法 國(guó)數(shù)學(xué)家l u c a s 研究了整數(shù)序列： 上o = 2 ，l 1 = 1 ，工n + 2 = l n + 1 + l n ，n 0 ， 人們把這個(gè)序列稱為l u c a s 數(shù)列，其中的數(shù)稱為l u c a s 數(shù) f i b o n a c c i 數(shù)和l u c a s 數(shù)有許多美妙的數(shù)論性質(zhì)和一些極有意義的應(yīng)用，眾所周 知，f i b o n a c c i 數(shù)和“優(yōu)選法”關(guān)系密切；由f i b o n a c c i 數(shù)的性質(zhì)可以證明：用歐幾里 得輾轉(zhuǎn)相除法求二個(gè)正整數(shù)m 和n ( m n ) 的最大公因數(shù)時(shí)，其除法次數(shù)不超過n 的 位數(shù)的5 倍正因?yàn)槿绱?，這些數(shù)列引起了人們的濃厚興趣研究了f i b o n a c c i 數(shù)和 l u c a s 數(shù)的各種性質(zhì)，f i b o n a c c i 數(shù)和l l l c a s 數(shù)中的平方數(shù)，f i b o n a c c i 數(shù)和l u c & s 數(shù)中 的形數(shù)，f i b o n a c c i 數(shù)和l u c a s 數(shù)對(duì)模q 的余數(shù)的周期性，等等 我們已經(jīng)知道f i b o n a c c i 和l u c a s 特征方程都是2 一z 一1 = 0 p i e r of i l i p p o n i 和 o d o a r d o b r u g i a 在 1 證明了對(duì)于n 1 0 ”，僅有五l 、三5 、三7 可以表示成m 2 一m 一1 的形式，同時(shí)提出了下面的問題：是否還存在別的l u c a s 數(shù)可以表示成r 礦一m 一1 的 形式? 為此他們證明了： 定理當(dāng)n 是偶數(shù)時(shí)，l u c a s 數(shù)厶不能表示成m 2 一m 1 的形式 本文首先根據(jù)某些不定方程的整解的有限性證明下面的定理： 4 定理1 只存在有限個(gè)l l l c & s 數(shù)可以表示成m 2 一”。一1 的形式 其次，運(yùn)用j a c o b i 符號(hào)的運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)列k 對(duì)模q 的余數(shù)的周期性，證明 定理2 若l u c a s 數(shù)三?？梢员硎境蓃 n 2 一m 一1 的形式，則n = 5 、7 或ni ：e l ( m o d1 6 ) 第二節(jié)定理1 的證明 為了證明定理1 ，我們需要下面的引理 引理刪整數(shù)列“。，若滿足 則“。為適合方程 的整數(shù)解z 方程 n + 2 = 亂n + l + mn 1 引理2 1 3 n 3 ，設(shè)，( 。) 是”次無重根的有理整系數(shù)多項(xiàng)式，a 是非零整數(shù)，則 只有有限組整數(shù)解z 、y ( 3 ) 定理l 的證明令u l = 1 ，u 2 = 3 ，則滿足( 1 ) 的整數(shù)列“。就是l u c a s 數(shù)列，根據(jù)引 理1 ，第n 個(gè)l u c a s 數(shù)k 為適合方程 5 2 2 一z 2 = 2 0 ( 一1 ) “( 4 ) 的整數(shù)解z 5 當(dāng)n 是偶數(shù)時(shí)，根據(jù)定理，k 不能表示成m 2 一r n 一1 的形式 當(dāng)n 是奇數(shù)時(shí)，若令l 。= m 2 一r n 一1 ，則4 l 。+ 5 是乎方數(shù)設(shè)y 。 l 。= 學(xué)，由( 4 ) 式得 1 6 x 2 = s ( y 2 5 】2 + 3 2 0 令f ( y ) = s ( u 2 5 ) 2 + 3 2 0 ，則，b ) = 2 0 u ( y 2 5 ) ，顯然f ( y ) 和，b ) 沒有重根， 理2 ，方程( 5 ) 只有有限組整數(shù)解。、y ，也就是只有有限個(gè)y 使得4 l 。+ 5 立定理l 得證 第三節(jié)定理2 的證明 ( 5 ) 根據(jù)引 = y 2 成 我們首先回憶一些熟知的關(guān)于l u c a s 數(shù)和f i b o n a c c i 數(shù)的等式和性質(zhì)以耳；表 示第n 個(gè)f i b o n a c c i 數(shù)： l ：= 5 碟+ 4 ( 一1 ) ”，( 6 ) l 2 。= l ：一2 ( 一1 ) “，( 7 ) 2 l m + 。= l 。l 。+ 5 f m r ，( 8 ) 三。+ 。= l 。l 。一( 一1 ) ”l 。一。= 5 日。r + ( - 1 ) “l(fā) 。一。，( 9 ) + 。= f m l 。一( - 1 ) “矗一。，( 1 0 ) f 2 。= f n l 。，( 1 1 ) 如果令l 一。= ( 一1 ) ”l 。，凡。= ( 一1 ) n - - i 昂，那么上述的等式對(duì)負(fù)整數(shù)也成立；如果 3 h 那么r 和“是偶數(shù)。 由于若k 可以表示成m 2 一m l 的形式，則4 “+ 5 是平方數(shù)，因此為了證明 定理3 ，只要找出適當(dāng)?shù)摹? n ) ，使得當(dāng)n 5 、7 或n 土1 ( r o o d1 6 ) 時(shí)，4 三。+ 5 是 6 模w ( n ) 的二次非剩余即可，也就是證明4 k + 5 不是平方數(shù)為此我們需要下面的引 理： 引理3 ( i ) 若以t ( q ) 表示數(shù)列“對(duì)模( 的余數(shù)的周期，則有 t ( 5 ) = 4 ，t ( 7 ) = 1 6 ，t ( 8 ) = 1 2 ，t ( 9 ) = 2 4 ， t ( 1 1 ) = 1 0 ，t ( 1 3 ) = 2 8 ，t ( 2 3 ) = 4 8 ，t ( 3 1 ) = 3 0 ， t ( 3 9 ) = 5 6 ，t ( 4 1 ) = 4 0 ，t ( 4 3 ) = 8 8 ，t ( 4 5 ) = 2 4 ， t ( 4 7 ) = 3 2 ，t ( 6 1 ) = 6 0 ，t ( 1 0 1 ) = 5 0 ，t ( 1 5 1 ) = 5 0 ， t ( 2 4 1 ) = 2 4 0 ，t ( 4 0 1 ) = 2 0 0 ，t ( 7 6 9 ) = 1 9 2 ，t ( 1 6 0 1 ) = 1 6 0 t ( 2 2 0 7 ) = 6 4 ，t ( a o m ) = 1 0 0 ( i i ) 若以t ( q ) 表示數(shù)列r 的對(duì)模q 的余數(shù)的周期，則有t ( 4 3 ) = 8 8 這里t ( q ) ，t ( q ) 是最小的正整數(shù)，使得當(dāng)n ；m ( m o dt ( q ) ) ，或n ；r n ( r o o dt ( q ) ) 時(shí)，l 。i l 。( m o d q ) ，或e 。b 。( m o d q ) 只需計(jì)算厶和f n 對(duì)模q 的余數(shù)，容易驗(yàn)證 m ； f 2 k 0 = 崠篡篡 l 2 1 k = l 2 ( t 一1 ) k l 2 k 一( - - 1 ) 2 。三2 ( f 一2 ) i l 2 ( 一2 ( r o o dl 2 k ) ， 顯然，l 2 t k ；一l 2 ( i 一2 ) k = l 2 ( t4 ) k ；ii l 2 kj 0 ( i n o dl 2 k ) 目i 理5 若k = 0 ( m o d2 ) ，1 ；1 ( r o o d2 ) ，貝0 證明由( 9 ) 式 工2 f + n ；一l 。( m o dl k ) l 2 1 k + n = l ( 2 f 一1 ) k + n l k 一( 一1 ) l ( 2 f 一2 ) + n 三一l ( 2 z2 ) + n ( r o o dl k ) 顯然，l 2 l k + ni l ( 2 t 一2 ) k + n = l ( 2 t 一4 ) k + n ；( 一1 ) 。l n ；一l 。( m o dl a - ) 引理6 若n i0 ( r o o d4 ) ，n 0 ( m o d3 ) ，則l 。j 一1 ( m o d8 ) 證明由引理3 知，若n ；m ( m o d1 2 ) ，則l 。；l 。( r o o d8 ) 當(dāng)n ；0 ( m o d4 ) ，n 0 ( r o o d3 ) 時(shí)，n i4 ，8 ( m o d1 2 ) ，而l 4 = 7 i l( r o o d8 ) l 8 = 4 7 1 1 ( m o d8 ) 因此，此時(shí)l 。i l ( m o d8 ) 引理7 若k = 0 ( m o d l 6 ) ，k 0 ( m o d3 ) ，則 證明 ( 半)一( 鼉竽) ( 警) = ( 亳) ( 鼉) 當(dāng)k = 0 ( m o d1 6 ) 時(shí)，由引理3 得l 2 il 0i2 ( r o o d 5 ) ，因此( 瓦5 ) 1 3 0 毋k 十5 由( 7 ) 式和引理6 ) 一、( 2 6 f k 2 k + 1 - ) = 一( 急) ( 2 6 馬女工 + l ( 皂) = 一( 等) = 一( 魯) = ， 由( 7 ) 式和( 1 1 ) 式，2 6 f , , z k l k + l k = 2 6 鞏l l + l k = 2 6 扎l 2 女+ 5 2 鞏+ l k ，因此 ( 警三 蒿l 2 k 蘭( 一5 2 f k + l k ) = ( 贏) 3i 上j ：( 嘉) ( 籌甕) 由r 圭1 ( r o o d2 ) 和引理6 得( 赤) = 一1 由( 6 ) 式得 f 絲二11 5 2 g + k ：7 522f+k+5龍lk、j=，麗5礤一52鞏仇 三；彰鶼-2709fklk、13 蕓3 0 1 ) = ( 麗瓦) ( 贏毛) 時(shí)圳 工剞( 趔、 2 5 鼎5 2 f k + l k 臻羞 ：( 1 r ) ( 罌竽) 當(dāng)k ! 。( m o d l 6 ) 時(shí)，由引理6 得， 5 2 n + k ；5 2 f 0 + l 。；2 ( m 帆因而 ( 罵皿) ：1 ，于是 類似地，可以證明 ( 1 3 0 f 2 k + 5 、i l 2 k 俾墨壘1 4 3 ( 掣) = 一( 掣 引理8 當(dāng)n i 5 ( m o as ) 時(shí)，4 l ”+ 5 是平方數(shù)，則必有” 5f r o o d 】2 0 0 ) 證明當(dāng)n i5 ( m o d 8 ) 1 寸，等價(jià)于n ；5 或1 3 ( m 。d 1 6 ) ，由于當(dāng)“5 1 3 9 時(shí)，l 。il 1 3 ；3 ( r o o d7 ) ，因此 ( 丁4 l n + 5 ) = ( 聳掣) = ( 等) 從而4 l 。+ 5 是模7 的二次非剩余，即4 l 。十5 不是平方數(shù)，于是，若4 l 。+ 5 是、f 方 數(shù)，則必有n15 ( m o d l 6 ) 當(dāng)n ；5 ( r o o d1 6 ) 時(shí)，等價(jià)于n ；5 、2 1 或3 7 ( r o o d4 8 ) ，由于當(dāng)n ；2 1 或 3 7 ( m 。da 8 ) 時(shí)，“= 三。- 或l 3 7 ；4 或8 ( m 。d 2 3 ) ，因此此時(shí)( 鳴乒) = ( 筆竽) 或 ( 警) = ( 麗2 1 ) 或( 兩3 7 ) = 一1 于是，若4 l 。十5 是平方數(shù)，則必有n = 5 ( , n o d 4 s ) 當(dāng)n j5 ( r o o d4 8 ) 時(shí)，等價(jià)于n15 、5 3 、1 0 1 、1 4 9 或1 9 7 ( i i l o d2 4 0 ) ，由于 當(dāng)n i5 3 ( r o o d2 4 0 ) 時(shí)，l ”；5 3 4 ( m o d l l ) ，此時(shí) ( 掣) = ( 學(xué)) = ( 訂2 1 ) 一- ； 當(dāng)n 11 0 1 或1 9 7 ( r o o d2 4 0 ) 時(shí)，l 。= 三1 】或l 】7 ；1 3 或6 ( m o d3 1 ) ，此時(shí) ( 可4 l a + 5 ) = ( 學(xué)) 或( 學(xué)) = ( 籌) 或( 詈) 一- 當(dāng)ni1 4 9 ( m o d2 4 0 ) 時(shí)，l 。；l 2 9 ；6 ( r o o d4 1 ) ，此時(shí) r 4 k + 5 、 l 玎一 r 蘭：! 曼、 4 l ( 箬) 一- 于是，若4 k + 5 是平方數(shù)，則必有n ；5 ( m o d2 4 0 ) 當(dāng)7 t ；5 ( r o o d2 4 0 ) 時(shí)，等價(jià)于n ；5 、2 4 5 、4 8 5 、7 2 5 或9 6 5 ( m o d1 2 0 0 ) ，由 于當(dāng)r t i4 8 5 或9 6 5 ( r o o d1 2 0 0 ) 時(shí)，l 。il 3 5 或l 1 5i5 0 或5 1 ( r o o d1 0 1 ) ，此時(shí) ( 可4 l n + 5 ) = ( 筆嚳) 或( 等) = ( 2 川0 5 ，) 或( 圳2 0 9 ) 當(dāng)n i 2 4 5 ( m o d1 2 0 0 ) 時(shí)，l nel 4 5e1 4 0 ( r o o d1 5 1 ) ，此時(shí) ( 一4 l + 5 ) = ( 掣) = ( 需) 當(dāng)i7 2 5 , n o d1 2 0 0 ) 時(shí)，三。；l 2 5 i2 7 0 6m 。d3 0 0 1 ) ，此時(shí) ( 等) ：( 1 4 - 2 7 礦0 6 + 5 ) = ( 嬰3 0 0 1 ) 一i 麗，2 面萬一一1 于是，若4 厶+ 5 是平方數(shù)，則必有；5 ( r o o d l 2 0 0 ) 引理8 得證 引理9 當(dāng)n i7 ( m 。d1 6 ) 時(shí)，若4 厶十5 是平方數(shù)，則必有n 5 7 ( 1 “d2 4 0 f j ) 證明當(dāng)n i7 ( , n o d1 6 ) 時(shí)，等價(jià)于ni7 、2 3 、3 9 或5 5 ( r o o d 6 4 ) ，由于當(dāng) ；2 3 ( m o d6 4 ) 時(shí)，l 。；l 2 3 ；1 8 ( r n o d 4 7 ) ，此時(shí) ( 學(xué)) = ( 學(xué)) = ( 面7 7 ) 一- ； 由于當(dāng)n ；5 5 ( m o d6 4 ) 時(shí)，l 。il 5 5 = 2 1 3 1 ( r o o d 2 2 0 7 ) ，j 比時(shí) ( 紲2 2 0 7 ) = ( 絲2 2 型0 7 ) = ( 嬰2 2 0 7 ) 一 于是，若4 l 。+ 5 是平方數(shù)，則必有n ；7 或3 9 r o o d6 4 ) 當(dāng)ni7 或3 9 ( r o o d6 4 ) 時(shí)，等價(jià)于n ；7 、7 1 、1 3 5 、1 9 9 、2 6 3 、3 9 、1 0 3 、 1 6 7 、2 3 1 或2 9 5 ( m o d3 2 0 ) 由于當(dāng)n 17 1 或2 3 1 ( m 。d3 2 0 ) 時(shí)，均有l(wèi) ，zil 3 i ；6 ( m o d4 1 ) ，此時(shí) 當(dāng)n 1 3 5 、2 9 5 當(dāng)n ；1 9 9 、3 9 ( 掣) = ( 等) = ( 碧) 一，； f m o d3 2 0 ) 時(shí)，均有；l 1 3 5 ；3 4 4 ( r o o d l 6 0 1 ) ，此時(shí) ( 面4 l n + 5 ) = ( 筆筍) = ( 面1 3 8 1 ) 一；i i i 石r j 。五i i 一j 一兩o l 一“ ( m o d3 2 0 ) 時(shí)，均有鞏e l a 91 1 1 9 1m 。d1 6 0 1 ) ，此時(shí) ( 一4 l n + 5 1 6 0 1 ) ：( 業(yè)1 6 必0 1 ) = ( 竺1 6 0 1 ) 一 ， 當(dāng)n i2 6 3 、1 0 3 ( m o d3 2 0 ) 時(shí)，均有工。l 3 = 4 ( m o d1 1 ) ，此時(shí) ( 掣) = ( 等) = ( 罟) 一t 1 1 于是，若4 厶；+ 5 是平方數(shù)，則必有n i7 或1 6 7 ( r o o d3 2 0 ) 當(dāng)n ；7 或1 6 7 ( m o d3 2 0 ) 時(shí)，等價(jià)于n ；7 、3 2 7 、6 4 7 、1 6 7 、4 8 7 或8 0 7 ( m o d9 6 0 ) 由于當(dāng)n ；3 2 7 、8 0 7 ( r o o d9 6 0 ) 時(shí)，均有l(wèi) 。；l 2 7 i 4 ( r o o d6 1 ) ，此時(shí) ( 4 l n + 5 、 6 1 f ! ：! 塑1 6 l f 一2 1 1 ：一1 6 1 當(dāng)ni6 4 7 、1 6 7 ( r o o d9 6 0 ) 時(shí)，均有l(wèi) 。jl 1 6 7 ；1 9 8 ( m o d2 4 1 ) ，此時(shí) ( 等) = ( 學(xué)) = ( 等) 于是，若4 k + 5 是平方數(shù)，則必有i i i7 或4 8 7 ( r o o d9 6 0 ) 當(dāng)n ；7 或4 8 7 ( r o o d9 6 0 ) 時(shí)，等價(jià)于n ；7 、9 6 7 、1 9 2 7 、2 8 8 7 、4 8 7 、 1 4 4 7 、2 4 0 7 、3 3 6 7 或4 3 2 7 ( m o d4 8 0 0 ) 由于當(dāng)ne9 6 7 、3 3 6 7 ( m o d4 8 0 0 ) 時(shí)，均 有l(wèi) 。i l l 7e3 6 ( m o d l 0 1 ) ，此時(shí) ( 一4 l n + 5 ) = ( 掣) = ( 器) 當(dāng)n ；1 9 2 7 、4 3 2 7 ( m o d4 8 0 0 ) 時(shí)，均有l(wèi) 。；l 2 7 ；5 6 ( m o d1 0 1 ) ，此時(shí) ( 警) = ( 等) = ( 需) 當(dāng)n ；4 8 7 、2 8 8 7 ( m o d4 8 0 0 ) 時(shí)，均有l(wèi) 。；l 3 7 ；8 3 ( r o o d l 5 1 ) ，此時(shí) ( 等) = ( 等) = ( 鬻) 一， 當(dāng)n = 3 8 4 7 、1 4 4 7 ( r o o d4 8 0 0 ) 時(shí)，均有l(wèi) 。il 4 7i1 4 7 ( m o d1 5 1 ) ，此時(shí) ( 等) = ( 學(xué)) = ( 器) 于是，若4 三。+ 5 是平方數(shù)，則必有7 或2 4 0 7 ( r o o d4 8 0 0 ) 即n ；7 ( m o d2 4 0 0 ) 引理9 得證 引理l o 當(dāng)n ；9 ( m o d1 6 ) 時(shí)，4 l 。十5 不是平方數(shù) 證明當(dāng)n ；9 ( m o d1 6 ) 時(shí)，等價(jià)于n 1 9 、2 5 或4 1 ( m o d4 8 ) ，由于當(dāng)n ；9 ( m o d4 8 ) 時(shí)，l 。；l 9i4 ( m o d8 ) ，4 l 。+ 5 ；5 ( i n o d8 ) ，此時(shí)4 l 。+ 5 不是甲方數(shù)； 當(dāng)n 三4 1( m o d4 8 ) 時(shí)，l n 三l 1 7 三7 ( m o d9 ) ，4 l n + 5 三4 - 7 4 - 5 三6 ( r o o d9 ) j 匕時(shí) 4 k + 5 也不是平方數(shù)因此，若4 k + 5 是平方數(shù)，則n i2 5 ( r o o d4 8 ) 當(dāng)ni2 5 ( m o d4 8 ) 時(shí)，等價(jià)于ni2 5 、7 3 、1 2 1 或1 6 9 ( m o d1 9 2 ) ，由于當(dāng) ni 2 5 、1 2 1 m 。d1 9 2 ) 時(shí)，均有k ；l 2 5 ；1 8 ( m 。d4 7 ) 此時(shí) (型)=(坐塑)=r一77、=-1；474 7 4 7 當(dāng)n = 1 6 9 ( m o d1 9 2 ) 時(shí)，l nil 4 li2 1 3 1 ( r o o d2 2 0 7 ) ，此時(shí) ( 一4 l n + 5 ) = ( 筆筍) = ( 器) 一； 當(dāng)n e 7 3 ( r o o d1 9 2 ) 時(shí)，l nil 7 312 5 2 ( m o d ( 譬) = ( 警) 因此，當(dāng)n 2 5 、7 3 、1 2 1 或1 6 9 ( r o o d1 9 2 ) 時(shí)，4 + 5 也不是平方數(shù) 引理1 0 得證 引理1 1 當(dāng)n ；3 ( r o o d8 ) 時(shí)，4 k 證明當(dāng)n 主3 , n o d8 ) 時(shí)，等價(jià)于n 時(shí)，l ，。! l 1 l 3 ( r o o d7 ) ，此時(shí) + 5 不是平方數(shù) ；3 或1 1 ( r o o d1 6 ) ，由于當(dāng) i1 1 ( m o d1 6 ) ( 竿) = ( 半) = ( 導(dǎo)) 一， 因此，當(dāng)n ；兒( m o d1 6 ) 時(shí)，4 “+ 5 不是平方數(shù)， 當(dāng)n ；3 ( m o d1 6 ) 時(shí)，等價(jià)于n ；3 、1 9 或3 5 ( m o d4 8 ) ，由于當(dāng)n ；3 或3 5 ( m o d4 8 ) 時(shí)，l 。；l a 或l 3 5i4 或8 ( m o d2 3 ) ，此時(shí) ( 掣) = ( 學(xué)) 或( 警) 2 1 、廠, 3 。7 ) 因此，當(dāng)n z3 、3 5 ( r o o d4 8 ) 時(shí)，4 “+ 5 不是平方數(shù) 當(dāng)n 三1 9 ( m o d4 8 ) 時(shí)，l n 三l t 9 三3 4 ( m o d4 5 ) ，4 l 。十5 三4 3 4 + 5 三6 ( r o o d4 5 ) ， 若4 三。+ 5 是平方數(shù)，則4 l 。+ 5 = ( 3 b ) 2 ，從而3 b 2 i 2 ( m o d1 5 ) ，這是不可能的因此 當(dāng)n ；1 9 ( m o d4 8 ) 時(shí)，4 + 5 也不是平方數(shù)引理1 1 得證 引理1 2 當(dāng)札i5 ( m o d 8 ) 時(shí)，僅有n = 5 使4 l 。+ 5 足平方數(shù) 證明根據(jù)引理8 ，只需考慮n ；5 ( m o d1 2 0 0 ) ，當(dāng)n 5 時(shí)，記n ：2 3 ” 7 ”5 2 2 3 9 + 5 = 2 1 k + 5 ，其中fi1 ( m o d 2 ) ，k 0 ( r o o d3 ) ，k 0 ( m o d7 1 ， i0 ( m o d8 ) ，u l ，v 0 根據(jù)引理5 和引理6 令 r 4 k + 5 、 l t 4 l 5 + 5 饑 f = 3 “7 0 5 2 ，k = 2 3 9 ，當(dāng)9 ；2 、5 ( m o d7 ) f = 3 “- 7 ”- 5 ，k = 2 35 9 ，當(dāng)9i1 、5 6 ( r t l o d7 ) 1 = 3 “- 7 ”， k = 2 3 5 2 9 ，當(dāng)9 ；3 、5 4 ( r o o d7 ) 以上3 種情況均滿足k 1 6 、4 0 ( m o d5 6 ) ，而當(dāng)ki1 6 ( m o d5 6 ) 時(shí)，l il 1 6 ；2 3 ( r o o d3 9 ) ，當(dāng)女i4 0 ( r o o d5 6 ) 日寸 l k l 4 0 ；2 3 ( r o o d3 9 ) 因此，對(duì)以上3 種情況均 有 ( 警) = ( 面l k ) = ( 西2 3 ) 一 這就證明了當(dāng)n 5 ，且n 15 ( r o o d l 2 0 0 ) 時(shí)，4 + 5 不是平方數(shù) 當(dāng)n = 5 時(shí)，4 l 。+ 5 = 4 l 5 + 5 = 4 9 是平方數(shù)引理1 2 得證 1 4 ， =、， n 一生 p一，i 羔七 = 一工、些蘭“， 引理1 3 當(dāng)= 7 ( m o d l 6 ) 時(shí)，僅有n = 7 使4 五。+ 5 是平方數(shù)。 證明根據(jù)引理9 ，只需考慮n = 7 ( r o o d2 4 0 0 ) 當(dāng)7 時(shí)，記n = 2 3 8 1 1 7 5 2 2 4 9 + 7 = 2 t k4 - 7 ，其中1 1 ( m o d2 ) ，女0 ( r o o d3 ) ，女0 ( r o o d1 1 ) i0 ( r o o d l 6 ) ，s 魄r 0 。 、1 ( i ) s 與r 的奇偶性相同，令 ? = 3 8 1 1 7 5 2 ，= 2 a g ，當(dāng)9 i3 、6 、7 、9 ( m o d l l ) | = 3 5 1 1 5 ，k 一2 45 9 ，蘭擘；4 、5 、8 、1 0f r o o d1 1 ； j = 3 5 1 1 ，k 一2 4 5 2 野當(dāng)9 i 1 、2 ( m o d l l ) 以上3 種情況均滿足f ! l ( m o d4 ) ，k = 8 ， 引理7 ( 警) = ( 等嚳) 2 4 、4 8 、5 6 ( m o d8 8 ) + 根據(jù)日f 理4 和 (2l2tkl7+lof2tkf7+5l2e) = 1 3 0 f 2 k + 5 l 2 k ) = 一( 墜4 墊3 而當(dāng)kz8 、2 4 、4 8 、5 6 ( r o o d8 8 ) 時(shí)，相應(yīng)地5 2 段+ l k = 2 1 、6 、9 、1 6 r o o d4 a ) ， ( 一5 2 f k + l k ) 一( 籌) ，( 去) ，( 砉) ，( 裝) = t ， 因此當(dāng)罕8 、2 4 、4 8 、5 6 ( r o o ds s ) 時(shí)，( 必l 2 k ) 一乩 ( i i ) s 與r 的奇偶性相反，令 l = 3 8 - 1 1 7 - 5 2 ，一2 4 9 ，當(dāng)g ；文6 、7 、9 ( r o o d1 1 j f = 3 8 - 1 1 5 ，k 一2 r5 9 ，當(dāng)g = 4 、5 、8 、1 0 ( m o d l l ) l = 3 8 ，1 1 7 ， 女= 2 4 5 2 9