曲阜師范大學碩士學位論文 一類非線性粘彈性波動方程解的存在性與漸近展開 摘要 隨著科學技術的不斷發(fā)展，各種各樣的菲線性問題已經(jīng)日益引起人們的廣泛 關注，非線性偏微分方程初邊值問題源于應用數(shù)學，物理學，控制論等各種應用 學科中，是目前非線性科學領域中最為活躍的研究課題之一，而非線性粘彈性偏 微分方程初邊值問題是近年來討論的熱點，是目前偏微分方程中的一個十分重要 的研究領域 本文研究以下非線性粘彈性波動方程的解的存在性與漸近展開， r iu “( t ) 一u z z ( ) + 七( t s ) t l 。( s ) d s - t - f ( t ，u t ) = i ( x ，t ) ，0 $ 1 ，0 t ， j 加 1 ( o ，t ) 一喲u ( o ，t ) = h o ( ) ，( 1 ，t ) + n l u ( 1 ，) = h i ( t ) ， lu ( 。，0 ) = 碭( 。) ，u t ( x ，0 ) = 五1 ( z ) ， 其中f ( 讓，玨t ) = a ( 2 ) ，一2 牡4 - 6 ( z ) l 口一2 毗；p 2 ，g 2 ；7 7 d o ，叩l 0 為常數(shù)，而 k ，口( z ) ，6 ( z ) ，h o ，h l ，西，西l 是給定的函數(shù) 本文共分三章 第一章為本文的引言。介紹了非線性粘彈性波動方程的重要性以及前人對此 類問題的研究成果 第二章運用了f a e d o - g a l e r k i n 方法證明了解的存在性與唯性其中包括f a e d o - g a l e r k i n 逼近，先驗估計，極限過程以及解的唯一性四個部分， 第三章證明了一類非線性粘彈性波動方程初邊值問題的解關于參數(shù)( 加，叩1 ) 的漸近展開， 關鍵詞：非線性波動方程；f a e d o - g a l e r k i n 方法；解的存在性；解的唯 一性；解的漸近展開 曲阜師范大學碩士學位論文 a b s t r a c t w i t ht h ec o n t i n u o u sd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a l lk i n d so f n o n l i n e a rp r o b l e mh a v ea r o u s e dp e o p l e sw i d ea t t e n t i o n n o n l i n e a rp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o ma p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c o n t r o lt h e o r ya n d o t h e rd i s c i p l i n e si naw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s ，i ti sp r e s e n t l yo n eo ft h em o s t a c t i v et o p i c si nt h ef i e l do fn o n l i n e a rs c i e n c e ：t h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sah o tt o p i ct h e s ey e a r s ， a n di t i saq u i t ei m p o r t a n tf i e l do ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a lr e s e a r c h i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h e f o l l o w i n gn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n ， w h e r ef ( 1 5 ，t t ) = a ( z ) l u l p 一2 u + 6 ( z ) f 饑i 口一2 u t ；p 2 ，q 2 ；r o 0 ，7 7 1 0a r e c o n s t a n t s ，a n dk ，口( z ) ，6 ( z ) ，廠，h o ，h t ， o ，石la r eg i v e nf u n c t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri so u ri n t r o d u c t i o n w ei n t r o d u c et h ei m p o r t a n c eo ft h e n o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n ，a sw e l la ss o m ep r e v i o u sr e s e a r c hr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eu s ef a e d o - g a l e r k i nm e t h o dt op r o v et h ee x s i s t e n c e a n dt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ，w h i c hi n c l u d i n gf o u rp a r t s ，t h a ti sf a e d o - g a l e r k i na p p r o x i m a t i o n ，ap r i o r ie a t i m a t e ，l i m i t i n gp r o c e s sa n du n i q u e n e s so f t h es o l u t i o n w ep r o v et h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h es o l u t i o no ft h en o n f i n e a rv i s c o e l a s - t i cw a v ep r o b l e mw i t hr e s p e c tt ot w op a r a m e t e r s ( 7 0 ，7 1 ) i nt h et h i r dc h a p t e r k e y w o r d s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；f a e d o - g a l e r k i nm e t h o d ；t h ee x i s t e n c e o ft h es o l u t i o n ；t h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ；t h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o n z n ：、 以 i l 堆 卜 = 工 r ，l k 引 s ， 叫 l | r 。 州刪小歸吣 + 仉l 、， 一 e -厶 u ，：、 似艘 z 哺 - “ 一 珊訊 u 一 ： 叫 卜卜 卜 “p m 瓦 以 舢 曲阜師范大學碩士學位論文 曲阜師范大學碩士學位論文原創(chuàng)性說明 本人鄭重聲明：此處所提交的碩士論文一類非線性粘彈性波動方程解的存 在性與漸近展開，是本人在導師指導下，在曲阜師范大學攻讀碩士學位期間獨 立進行研究工作所取得的成果論文中除注明部分外不包含他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫 的研究成果對本文的研究工作做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中已明確 的方式注明本聲明的法律結果將完全由本人承擔 作者簽名： 孝更芬日期：渺鄉(xiāng)。壚 曲阜師范大學碩士學位論文使用授權書 一類非線性粘彈性波動方程解的存在性與漸近展開系本人在曲阜師范大 學攻讀碩士學位期間，在導師指導下完成的碩士學位論文本論文的研究成果歸 曲阜師范大學所有，本論文的研究內容不得以其他單位的名義發(fā)表本人完全了 解曲阜師范大學關于保存、使用學位論文的規(guī)定，同意學校保留并向有關部門送 交論文的復印件和電子版本，允許論文被查閱和借閱本人授權曲阜師范大學。 可以采用影印或其他復制手段保存論文，可以公開發(fā)表論文的全部或部分內容 作者簽名：窯文本 日期：卯哆壚 導師簽磁鋤咻馴彳 2 第一章引言 本文證明如下一維非線性粘彈性波動方程初邊值問題弱解的存在唯性與漸 近展開 ( ) 一t l 砧( z ) + 。七( 一s ) 讓z 。( s ) 幽+ f ( u ，魄) = ，( z ，。 z 1 ，。 0 ，方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一的弱解t 滿足：t l ( o ，丁；h 2 ) ，砘 l ”( 0 ，丁；h 1 ) ，i t 托三o o ( o ，?。籰 2 ) ，并且當p ，q2n + 1 ，n 2 時，對任意牙= ( 伽，7 7 1 ) r 辜，其弱解t 都有關于參數(shù)( 喲，7 7 1 ) 的直到第+ 1 階的漸近展開 一u ；矛怯+ 她一，u 7 斧怯昧r 1 ， h l _ l vh l n 其中0 r o 惦，0 r l 啦，而嚆，7 7 ：是給定正常數(shù)，| | 膏l(xiāng) l l l 薩i i ，斧= ( 噶，嘯) ，d 是依賴于k 的正常數(shù)，函數(shù)，( 1 ，y i n ，7 z 辜) 是問題( b ) 的弱 解，而問題( b ) 如下 ，pt lu “一t 二每。4 - 克( 一s ) t 二鴛2 ( s ) ( f s = 曩，0 z 1 ，1 t 0 w 丌i ，p = w 仇，p ( q ) ， 3 = w o , p ( q ) ，m = 緲m ，2 ( q ) ，1 p 。，仇= 0 ，1 ，三2 中的范數(shù)記為1 1 | l ， l 2 中的內積記為 ，b a n a c h 空間x 中的范數(shù)記為| | 恢x 的對偶空 間記為x 7 擴( o ，??；x ) ，l p 為( 0 ，t ) 到x 上的實可測函數(shù)u 組成的 b a n a c h 空間，其中t 滿足 i i u i l l n ( o , t ；x ) - - - - ( o 也i i 妥d t ) 1 加 州縱。， 且 l it 上i i l p ( o r ；x ) = e s s s u p o 0 ( 2 ) h 6 l d e r 不等式；假設1 p ，g 0 0 ，；1 十百1 = 1 如果牡汐( q ) ，移弘( q ) 則有 u vj d x i t i i l ，c ) l l v l l l - ( 1 2 ) ( 3 ) g r o n w a l l 不等式： ( i ) ( ) 是【0 ，t 】上非負可積函數(shù)且對幾乎處處的t 滿足以下積分不等式 ( ) g f ( s ) d s + c 2 ，c 1 ，q 0 ， 則對幾乎處處的0 t t 有 f ( ) c 2 ( 1 + c 1 t e g i ) ( i i ) 特別地，如果對幾乎處處的0 t t 有 則f ( ) = 0o e f ( 芒)o o 荊如 4 曲阜師范大學碩士學位論文 引理2 1 2 h 1 ( o ，1 ) q 護( o ，1 ) ，p 1 引理2 1 3 ( 1 ) 對壇，y f - r ，捌，5 0 有 i i z r z f 3 1 6 y l ( 6 + 1 ) i 。一y 1 ( 2 ) 對v6 0 ，存在g 0 使得 ( 1 2 1 6 z i y l 6 秒) ( z 一掣) c l z 一可1 6 + 2 為方便起見；本文以t ( ) ，u 心) ，( z ) ，u z ( ) ，u z = ( t ) 分別表示u ( z ，z ) ，警( 。，) ， 密( z ，) ，愛( z ，) ，愛( z ，) 對任意r o ，, 1 0 ，定義 卜) = 1 0 扛弦“司則( 0 弦( o ) + 7 7 l 以1 ) “1 ) 一印1 ， ( 2 1 1 ) 訓叼= 俐l 加m = ( o ( t ，t ，) ) m 引理2 1 4 若伽，7 l 0 ，則由( 2 1 1 ) 定義的對稱雙線性形式a ( ，) 滿足 j n ( u ，可) l i f 讓l i 町| l 口l | ，v u ，秒h 1 證明：根據(jù)c a u c h y 不等式( 取e = 1 ) 及h s l d e r 不等式( 取p = q = 2 ) ，我 們得到 ( 口( 玨，掣) ) 2 = ( z 1u 工可善d z + 珈玨( 。) ( 。) + 刁，玨( 1 ) 移( 1 ) ) 2 = ( o 垢u 2 ( 。) z ，2 ( 。) + 7 7 ；讓2 ( 1 ) u 2 ( 1 ) + 2 伽也( 。) u ( 。) z 0 1u x u x 如+ 2 r i u ( 1 ) t ，( 1 ) z 也善出 + 2 7 7 0 叩l t 正( 0 ) ( o ) u ( 1 ) t ，( 1 ) s z 1u ：如z 1 如+ 稿u 2 ( 。) u 2 ( 。) + 7 7 u 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) + 伽t ，2 ( o ) u ：如+ r o u 2 ，0 ，t + 2 ( 1 ) 遽如+ r h u 2 如 如 4 - r o r l t 2 ( 0 ) t ，2 ( 1 ) + 7 7 0 7 7 1 玨2 ( 1 ) t ，2 ( o ) = d ( u ，讓) o ( ， ) ， 5 z z 第二章解的存在性與唯性 上式兩邊取絕對值即得i a ( u ，t ，) 1 2 f 口( 讓，u ) l l a ( t ，可) i = l m i 7 1 1 , , 1 1 7 引理2 1 4 得 證 利用這些預備知識，我們將在下一節(jié)中證明本章的重要結果一一解的存在唯 一性定理 6 曲阜師范大學碩士學位論文 2 2 主要結果 本章的主要結果是下面的解的存在唯一性定理 定理2 2 1 若( 吼) 一( 礬) 成立，則對任意t 0 ，方程( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯 一的弱解t 滿足 t | l ( o ，t ；h 2 ) ，t t l ( o ，t ；h 1 ) ，u 。t l ( o ，?。籰 2 ) 證明：證明包含四個步驟 第一步：f a e d o - g a l e r k i n 逼近。 我們可以找到日2 的一組基，將其標準正交化后記為【) o = 1 ，2 ，) ，則 它同時在l 2 中形成一個完備的標準正交系由 嶼】在日2 中的完備性，我們可 以選取系數(shù)如，1 j 使得 ( z ) = 如嶼 j = l 在2 中收斂于c o ( z ) ，且 t m ( z ) = - j 嶼 j = 1 在日1 中收斂于1 ) 假設 m ( ) = ( ) 嶼 ( 2 2 1 ) j = l 是初邊值問題( 1 1 ) - ( 1 3 ) 的近似解，把( 2 1 ) 代入原問題中再與七( 憊= 1 ，m ) 作內積得 一 ( u ：l ) ，u 七) + o ( u m ( t ) ，u 七) 一七( 一s ) 口( m ( s ) ，u 七) d s + ( 口( z ) ( t 仇( t ) ) - ，0 + 6 ( z ) 穆。( u ，m ( t ) ) ，0 , , 7 k ) = ( 1 ) ；( t ) 一u ( o ) 毳；( ) + f ( z ，t ) ，w 1 ) ， ( 2 2 2 ) u m ( o ) = o m ，u ：。( o ) = 1 m ，( 2 2 3 ) 其中 奶z ) = l z r 2 2 ，比( z ) = l z l q - 2 z ， ，t ；( ) = ) 一七( 一5 ) o ( s ) d s ， 7 第二章解的存在性與唯一性 九：( ) = h l ( t ) 一七( 一s ) h l ( s ) d s ， 由于叭是己2 中的標準正交基，將( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 整理可知系數(shù)函數(shù)c ，巧( t ) 滿足 如下方程 島+ 萎。( 畸觸) 鈿( d - 口，) 善z 球_ s ) 啊( s ) d 5 竺 m ，t ，2 i，2 l 。” + ( 口( z ) 如( c 叼( ) ) + 6 ( 。) ( j ( ) ) ，峨) = 魄( 1 ) ：( t ) 一u 七( o ) 慌( f ) + ( f ( z ，) ，七) ，( 2 2 4 ) ( o ) = 嘞，巧( o ) = 廬1 j ( 2 2 5 ) 在u 1 ，已經(jīng)確定的情況下，( 2 2 4 ) 就是c 療巧( j = l ，”1 ) 的二階常 微分方程組故由( - 3 ) 知它有解鈿( ) 滿足g ，巧( ) c 1 【o ，卅，籪，( l ( o ，丁) ， ( 見【1 5 】中引理3 1 ) 第二步：先驗估計i 方程( 2 2 2 ) 第七個方程乘以。七( ) 后對七求和，再對時間變量在( 0 ，t ) 上 積分，整理得 k 0 ) = x m ( o ) + 2 u m ( 1 ，t ) h l ( t ) 一2 u o m ( 1 ) h ；( o ) 一2 t l m ( 1 ，s ) h * 1 ( s ) d 8 + 2 ( o ，o h ；( t ) 一2 u o m ( o ) h ；( o ) 一27t m ( 1 ，s ) 危善( s ) d s + 2 ( f o ) ，u 幺( s ) ) 如+ o ( 讓m ( s ) ，( ) ) 七( 一s ) d s ，0，0 叫。咖u m ( s ) 1 1 2 d s 一弘( ) 0 ( 廿槲洲沖 ( 2 2 6 ) 這里 矗舡) = 陋o ( ) 1 1 2 + i l ( ) 矚+ ；z 1 口( 剖愈) | p d x + z 。幽z 1 6 ( 刪略( s ) l 。妃 由假設及引理2 1 2 知存在一個正常數(shù)a 使得對所有m 都成立 ( o ) 一2 ( 1 ) 一2 ( o ) ( o ) = l u ：，( o ) 1 1 2 + l l u 仇( o ) | i ；+ ；君o ( z ) l ( o ) l p d x 8 曲阜師范大學碩士學位論文 + 2 j u 0 ，n ( 1 ) i i h i ( o ) l - 4 - - i u o m ( o ) | i 九；【u ) i a 應用c a u c h y 不等式，引理2 1 4 以及 ( 1 ，t ) l 劍u 。( ) 、瓦j 而， ( 2 。2 7 ) 得到如下估計 2 u m ( 1 吲t ) 扣2 + e u 轟( 1 ) 吾i i h t ( 圳1 2 鄧+ e 2 ( o 吲) i i h ；( 圳l z 叩+ e r t， 2 0 ( 鄺) ，t | ) d s 劍州i 。( q t ) + j 0 虬- ( s ) 如 ， z 。嬸叫n ( “s ) 釷勰) ) 如乏蹦卅如悒：( 0 t ) z 0 t x m ( s ) 瓠 一2z ( 1 ，s ) 愚文s ) 如e o ( s ) 出+ 扣 ，( s ) 悒。c 。 一2 0 tu m ( 1 ，s ) ；，( s ) d e o 。( s ) 幽+ 卻九；，( s ) 慨 ) 一z 。辦z r 七俅一s ) 口( u m ( s ) ，也m ( 圳d s 丁忙，i | l * ( 。o t x m ( s ) 出 選取e = ，將以上各條件估計式代入( 2 2 6 ) 整理得 硝+ 畔z 。x m ( s ) 瓠 ( 2 2 8 ) 其中 fa 拳= 2 a 十1 0 l l 危；( t ) l i 主。( 0 ，t ) + 1 0 l l h ；( t ) l l 至。( o t ) + 2 1 1 f l l ：( o ，t ) + 1 0 l l h ：，l l i ：o ，丁+ 1 0 1 t h ；，| | 知( o 即， 【釁= i 1 4 + 5 | 眺2 ( 0 + 2 i k ( o ) l + 2 t i i k 7 i i 州姍 根據(jù)g r o n w a l l 不等式，我們由( 2 2 8 ) 得到：對任意f 0 ，7 1 ， x m ( t ) a 毋( 1 + 2 v t e 醇。) 鎊 ( 2 2 9 ) 其中( 為縣只與t 有關的常數(shù) 9 第二章解的存在性與唯一性 先驗估計方程( 2 2 2 ) 對t 求導得 ，f ( u 篙( ) ，) + 8 ( 牡_ ( t ) ，咄) 一( 亡一5 ) o ( u m ( s ) ，u k ) d s ，0 + ( p 一1 ) ( o ( z ) i i p 一2 t 幺。咄) + ( q 1 ) ( 6 ( z ) l u 幺l 叮一2 u ：，蚺) = 饑( 1 ) ：7 ( t ) 一“，k 7 l “u 、) ”0 7 ( t ) + ( ，7 ( z ，) ，u 七) ， l k m ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 0 ) 第k 個方程乘以七( t ) ，對七求和后再對時間變量在( 0 ，t ) 上積分，整理 得 ( ) = y , 。( o ) - 2 h l ( o ) u l m ( 1 ) 一2 k ( o ) a ( u o m ，也1 m ) + 后7 ( o ) l i u 咖| l ： 一2 h o ( t ) u l m ( o ) + 2 h i 7 ( ) 玨幺( 1 ，t ) 一2 矗；( s ) n ( 1 ，s ) d s ，o + 2 忌( o ) o ( ( ) ，“麓( ) ) 一k ( o ) l l u m ( t ) l l ；一2 k ( o ) | i 仳：n ( s ) l l ；d s + 2 七心一s ) o ( ( s ) ，釷：。( t ) ) 幽 一2 z 。d r ( m 啪小如 + 2 五( 廠( s ) 隔t t ( s ) ) d s 、 0 、 - 2 ( p 一1 ) ( a ( z ) l t m p 一2 t i 幺，u ：) d s 一2 ；( s ) u ：n ( o ，s ) d s + 2 h ；7 ( z ) 釷幺( o ，) ， ( 2 2 1 1 ) ，0 這里 ( ) = i i u ：( 喇匭( o ，。) + i i u 二( 圳弓+ 萋( g 1 ) z 出z 16 ( z ) f 岳( i 釓幺( s ) f 孚u 二( s ) ) 】2 如 由假設( 日1 ) ，( 仍) ，( - 4 ) 以及引理2 1 2 可知存在常數(shù)島 0 ，使得對任意m 有 ，( o ) 一2 h ：( o ) u l m ( 1 ) 一2 足( o ) 口( 2 o m ，玨l m ) + 奄( o ) l 牡o m l 償一2 h o ( t ) u l m ( o ) 善l l + i i q ( x ) l l l 一| | 饑概i i 留+ i l u l mj j 譬+ l i f ( t ) 1 1 2 + i l u l m l i ；一2 九：( o ) u t m ( 1 ) 一2 k ( o ) a ( u o , 。，u l m ) + 七( o ) l i 札咖l 償一2 h ；( t ) u l m ( o ) 島 1 0 曲阜師范大學碩士學位論文 由c a u c h y 不等式及l(fā) 讓，f l ( 1 ，) i l i u m ( 洲t ，v y m ( 0 ，有 2 1 h i 印) 厶( 1 ，圳2 愀t ) i j - y - 廁 - 三國+ e y m 一2 z 。啪) 呶) 出2z 。i h 文馴佤而國+ z 蹦s ) d s 2 k ( 0 ) a ( u 勰) ，讓：n ( ) ) 2 1 k ( o ) i h 讓o 。) 1 1 可i i “。( 訛三國+ e y m ( t ) ， - k | ( o ) l l u , , ( t ) l l 墨一2 k ( o ) | i l u ；。( s ) l l ：d ssc t + 2 1 k ( o ) 1y m ( s ) d s ，o j o ，t 2 后7 ( t s ) o ( u m ( s ) ，讓幺o ) ) d s 2 l 忌7 一s ) 川弘。( s ) l | 町d s l l u ；, , ( t ) l l 葉 j 0，0 g + e ( ) ， 一2 z 打z 7 州r s ) 0 ( ( s ) u 乞( 嘲幽國+ z 。y m ( r ) d r ， ， 2 ( ，7 ( s ) ，t 篆( s ) ) d s l i f 7 i l l 。( q r ) + 】厶( r ) 打 ，0，0 ，t，t 一2 0 1 ) ( o ( z ) l 讓m ( s ) i p 一2 u 乞( s ) ，碟( s ) d s 的一個子序列 不妨仍記為1 f 惦1 - ，使得當m o o 時 ( 2 2 1 3 ) 鞏砷 瓦 正丁 飛m 郴 壚 f l 醒雅醒 讓 j 。 j 伽 ，螄螄 第二章解的存在性與唯性 由l i o n s 緊致性引理知存在一子列不妨仍記為 u r n ，便得 i ，u m _ u 強l 2 ( q t ) 口一e tu 二_ 讓，強l ：( q 丁) 。息 由( 2 2 1 4 ) i 及奶的連續(xù)性知 ( u m ) + 如( u ) a e ( z ，z ) q 丁 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 9 ) 知對任意m 有。 l l 如( ) j i ( 口t ) ( j i ( t ) p d t t ( v - d t t ) p ， ，r - ，0 其中p j = 南由l i o n s 引理( 見f 1 6 】中引理1 3 ) 及( 2 2 - 1 5 ) ，( 2 2 1 6 ) 知 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) c p ( u 。) 一( 銘) 弱( q 丁) ( 2 2 1 7 ) 同理，由( 2 2 1 2 ：l ( 2 2 1 4 ) 2 知 妒q ( t i 幺) 一哦( “7 ) 弱厶，( q t ) ，其中q 7 = 了蘭 ( 2 2 - 1 8 ) 另一方面，由( 2 2 1 3 ) i 知對任意u l 1 ( o ，r ；( 日1 ) 7 ) 有 z t 出 = z 丁 d s 一。 因此 z 。七( t s ) ( s ) d s 一尼 一s ) u ( s ) d s 弱星l 。( 。，丁；日1 ) ( 2 2 1 9 ) 根據(jù)( 2 2 1 3 ) l 3 ( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 7 ) ，( 2 2 i s ) ，( 2 2 1 9 ) 對( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 取極限，知 t 滿足方程 i * t ( t ( t ) ，t ，) + g ( u ( t ) ，t ，) 一k ( t s ) 凸( u ( s ) ，v ) d s 4 - ( n ( z ) 移_ ( u ( ) ) ，u ) ，0 + ( 6 ( z ) ( 讓7 ( ) ) ，t ，) = g l ( z ) 穢( 1 ) + ( ，0 ) ，t ，) ， v 1 3 1 ，( 2 2 2 0 ) 1 2 啦阜師范大學碩士學位論文 f ( u ( t ) ，t ，) + 口( “( t ) ，t ，) 一七( t s ) 。( u ( s ) ，u ) d s + ( 0 ( z ) ( 饑) 叫小2 ) 】 卅似z “) - 沁分】，d ( 2 2 2 2 ) b 羔，囂 e t ，t 盯( ) = 一2 走( o ) j 0 l l 弘( r ) l l ；辦+ 2j 0 走( 一s ) 。( 乜( s ) u ( ) ) d s 一2 z 2 咖z 七7 ( r s ) n ( u ( s ) ，u ( r ) ) d s 1 3 第二章解的存在性與唯一性 其中 ，i 仃( ) = o t l 7 ( t ) 1 1 2 + i l u ( t ) l l ；+ 2 ( 6 ( z ) 【( u i ( s ) ) 一( u ；( s ) ) 】，u 7 ( s ) ) d s ，0 由引理2 1 3 ( 2 ) 知上式可變?yōu)?o r ( t ) t l t ( t ) 1 1 2 + l l 釷( 亡) “；+ 2 c 口6 ) l ( s ) 1 9 d s 0 ， ( 2 2 2 4 ) 故口( ) 是非負可積函數(shù) 由引理2 1 3 ( 1 ) 知對任意p 2 ，( 2 2 。2 3 ) 式右側最后一項可做如下估計 一2 d ( z ) ( u - ( s ) ) 一諱( u 2 ( s ) ) 】，u ，( s ) ) d s ( p 一1 ) 1 t 。( 。) 1 1 l 。( 0 ，- ) r p 一2f o to r ( s ) d sf o to r ( s ) d s ，( 2 2 2 5 ) 其中 冠= m 籮【l i 乜i l | l * ( o ，?。晃福? ，i l t 二：l l 工m ( o ，? ；抒t ) ) ， ( i = 1 ，2 ) 由( 2 2 2 3 ) ，( 2 2 2 4 ) ，( 2 2 2 5 ) 可得 盯( ) 去盯( t ) + 2 i 七( 。) l iz ?？? r ) d 7 + 主j | 七l l z ：( 。，丁，o 盯( s ) 幽+ 吾z 。仃( r ) d p + 扣，l | 至。( o 砷f o t6 r ( s ) 幽十。一1 ) 1 1 n ( z ) 怯( 0 - ) 彤一2f o t o r ( s ) 幽， 即 ) s 刀z 。) d s 其中 力= t + 4 1 k ( o ) f + i t k l l 至。( o ，+ f f i f 芻( o ，力+ 2 l l a ( x ) l l l * ( o ，丁) 0 1 ) r p 由g r o n w a l l 不等式知o r 三0 ，即u l 三t 2 注2 2 1 由定理2 2 1 所確定的解的正則性可知，問題( 1 1 ) 一( 1 3 ) 有一個強 解u 滿足 t 工c o ( o ，丁；h 1 ) nc 1 ( o ，t ；l 2 ) nl ( 0 ，7 ；h 2 ) 1 4 曲阜師范大學碩士學位論文 注2 2 。2 在定理2 2 1 中，若取7 7 0 = 7 7 l = 0 ，則得到第二類邊界條件下方程 的解的存在唯性定理，對第一類邊界條件的情況，同樣可證明其解的存在性與 唯一性 注2 2 3 當o ( z ) ，b ( z ) 恒等于常數(shù)，且7 7 ；0 蘭1 ，h o 三0 時，文【1 2 】已經(jīng)證明 了問題( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解的存在性與唯一性 1 5 第三章解的漸近展開 3 1 預備知識 在這一部分中，我們假設p ，q n + 1 ，n 2 ，( 諞，訪，f ，g ，o ( z ) ，6 ( z ) ) 滿足假 設( 日1 ) 一( 9 4 ) 令，7 1 ) r 辜，由定理2 2 1 知問題( 1 1 ) 一( 1 。3 ) 有唯一一個依 賴子r i o ，7 7 l 的弱解t = u ，7 0 朋本章將要研究當參數(shù)( 伽，刀1 ) 在一個小范圍內變化 時，t 關于參數(shù)( r o ，刀1 ) 的漸近展開 我們考慮如下擾動問題，其中r i o ，刀l 是足夠小的參數(shù)滿足0 伽嗡， 0 墨叼ls7 7 ；，嗡，瞞是固定的正常數(shù) a u 蘭牡t u 囂+ 七 一s ) t 正霉( s ) d s = 一口( z ) ( t 1 ) 一6 ( z ) 妒q ( 地) - ，o + ，( z ，) ，0 z 1 ，0 z 讓z ( 0 ，) = 刁o u ( o ，) + h o ( t ) ，锃2 ( 1 ，) + 7 7 1 t l ( 1 ，t ) = 1 ( t ) ， u ( z ，0 ) = 鋤( z ) ，u t ( z ，o ) = 訌l ( z ) 對復指標7 r 辜，k = ( 7 o ，r h ) r 辜有以下表示 fl ，y l = ，y l + 7 2 ，y ! = 7 l ! 蝕! ， 1 1 玄1 1 = 銅+ 刀 ，交7 = 杼，7 7 1 ， 【q ，p z j ，q p 兮q t 展，vi = 1 ，2 ，3 弓i 理3 1 1 令m ，n n ，u 口r ，a z 至，1 l 口j n 貝 ( ，u 口薩) m ： t ( m f u k 薩， ( 3 1 1 ) 其中丁( ”) 由以下遞推公式給出 1 6 d m 2 ； i 怪 m 汐 ， 一 m 一 一 仇 陋 m 一 一 仃 糾 加 一 ，tj r m 陋 m 州 v i 一 巾 b 卜丁 q 陋 幣 一 一 p 毗 = l l 礦k 吖 乩m(xù) l | m a 曲阜師范大學碩士學位論文 證明：( i ) 當m = 1 時，顯然r ( 1 心口】= u a ，1 i q l n ( i i ) 當m 2 時，用麥克勞林公式將f ( 伽，叼- ) 三f ( 育) = ( 。s | 口i vu 奈) 展開直至m n 階， f ( - k ) = 擊d a f ( o ) 斧， ( 3 1 2 ) 其中d a 尸= 弼儼。1 啪 l - a 。2 f ，從而，由( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 得 丁m 心】a = 擊d 。f ( o ) ， m i a i m n ( 3 1 3 ) 我們將f ( - k ) 寫成如下形式 f ( 玄) = ( 心口京) ( p 。齊) = 日( 玄) 忍( 膏) 、l _ l a l _ n 7 、m - l l a l _ ( m - z ) n 7 e 式兩端求導后取一k ：0 得。 。 d a f ( o ) = d a ( r 尼) ( o ) = 锘d a 一盧f i ( 0 ) d 口尼( o ) ( 3 1 4 ) 厴s a 注意到讓口= 芻d a 只( o ) ，1 i q | 或者 同理 d 口一口r ( o ) = ( q p ) ! t 正口一盧，1 l q p l n ( 3 1 5 ) d 盧f 2 ( o ) = p ! 丁( r n - - i 阻】口，仃 一1 i p i ( 7 7 , 一1 ) n ( 3 1 6 ) 由( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 知 丁r ，【u 】a = t a 一口丁慚一1 m 盧，m l a f 7 n n ，m 2 盧 妒 引理3 1 1 得證 令u o 蘭u o ，0 滿足u o l ( o ，丁；日2 ) ，t i j l 。( 0 ，?。籬 1 ) ，u ：l 。( 0 ，??；l 2 ) 是問題( t o 。0 ) 的弱解，即 fa u o = 一o ( z ) ( u o ) 一6 ( z ) 妒q ( u ；) + ，( z ，) ，0 z 1 ，1 z t ， ( 局，o ) u 0 2 ( 0 ，t ) = h o ( t ) ，u o ( 1 ，t ) = h i ( z ) ， 【u o ( z ，0 ) = 面( z ) ，讓：( z ，0 ) = 哦( z ) 1 7 第三章解的漸近展開 令蜥滿足嘶己( o ，?。籬 2 ) ，嵋l ( o ，??；日1 ) ，吣l o o ( o ，丁；l 2 ) ，7 z 辜，1 l ，y i n ，是如下問題( b ) 的弱解 l 他2 r0 認1 ，1 kl ( b ) u r z ( o ，t ) = q t ，嘶2 ( 1 ，t ) = 墨， liq ( z ，o ) ：o ，缸：( z ，o ) ：o ， 其中 ， q 7 ： o 1 h i ，7 1 2o 【一1 ，優(yōu)( o ，t )