北京化工大學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含 任何其他個(gè)人或集體己經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重 要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲 明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 學(xué)位論文作者完全了解北京化工大學(xué)有關(guān)保留和使用學(xué)位論文的 規(guī)定，即：研究生在校攻讀學(xué)位期間論文工作的知識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬北京 化工大學(xué)。學(xué)校有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件 和磁盤，允許學(xué)位論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨紝W(xué)位論文的全部 或部分內(nèi)容，可以允許采用影印、縮印或其它復(fù)制手段保存、匯編學(xué) 位論文。 保密論文注釋：本學(xué)位論文屬于保密范圍，在必解密后適用本授 權(quán)書。非保密論文注釋：本學(xué)位論文不屬于保密范圍，適用本授權(quán)書。 作者簽名：墨延塑 日期： 2 亞止互，2 l 導(dǎo)師簽名： 日期：勉啦姜乒一 學(xué)位論文數(shù)據(jù)集 中圖分類號(hào) 0 1 5 7 學(xué)科分類號(hào) 1 1 0 3 1 1 5 論文編號(hào) 1 0 0 1 0 2 0 1 10 9 5 1密級(jí) 非保密 學(xué)位授予單位代碼 l o o l o 學(xué)位授予單位名稱 北京化工大學(xué) 作者姓名張娟學(xué)號(hào) 2 0 0 8 0 0 0 9 5 1 獲學(xué)位專業(yè)名稱基礎(chǔ)數(shù)學(xué)獲學(xué)位專業(yè)代碼 0 7 0 1 0 4 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng) 課題來源研究方向超平面構(gòu)形 目 論文題目關(guān)于平面直線構(gòu)形的巾3 不變量 關(guān)鍵詞直線構(gòu)形；o s 代數(shù)；巾3 不變量 論文答辯日期 2 0 11 5 2 9 論文類型基礎(chǔ)研究 學(xué)位論文評(píng)閱及答辯委員會(huì)情況 姓名職稱 工作單位學(xué)科專長(zhǎng) 指導(dǎo)教師姜廣峰教授北京化工大學(xué)幾何學(xué) 評(píng)閱人l孫華飛教授 北京理工大學(xué) 幾何學(xué) 評(píng)閱人2牛興文副教授北京化工大學(xué)幾何學(xué) 評(píng)閱人3 評(píng)闋人4 評(píng)閱人5 徽員蝴孫華飛教授北京理工大學(xué) 答辯委員1楊永愉教授北京化工大學(xué) 答辯委員2 楊豐梅教授北京化工大學(xué) 答辯委員3崔麗鴻教授北京化工大學(xué) 答辯委員4趙麗娜副教授北京化工大學(xué) 答辯委員5 注：一論文類型：1 基礎(chǔ)研究2 應(yīng)用研究3 開發(fā)研究4 其它 二中圖分類號(hào)在中國(guó)圖書資料分類法查詢。 三學(xué)科分類號(hào)在中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)( g b t1 3 7 4 5 9 ) 學(xué)科分類與代碼中 查詢。 四論文編號(hào)由單位代碼和年份及學(xué)號(hào)的后四位組成 摘要 關(guān)于直線構(gòu)形的織不變量 摘要 本文研究了直線構(gòu)形的么不變量，主要包括兩部分內(nèi)容：仿射平面上 直線構(gòu)形的識(shí)不變量的計(jì)算及直線分類和一類特殊平面直線構(gòu)形的特征 多項(xiàng)式的計(jì)算。 首先，文章研究了仿射平面上不多于6 條直線的構(gòu)形的么不變量。結(jié) 合具體的理論知識(shí)，運(yùn)用元素編號(hào)法和矩陣求秩法，得到了么不變量的通 用算法。另外，通過算法分析、理論證明以及編程計(jì)算，將這些直線構(gòu)形 根據(jù)織不變量的值進(jìn)行了分類。3 條直線的平面構(gòu)形分為3 類；4 條直線的 平面構(gòu)形分為5 類；5 條直線的平面構(gòu)形分為8 類；6 條直線的平面構(gòu)形分為 1 3 類。接著對(duì)于特殊的直線構(gòu)形，包括平面完全圖構(gòu)形的么不變量進(jìn)行證 一明推導(dǎo)，得到通用的計(jì)算公式。 其次，利用已有的w h i t n e y 定理，文章研究了三維空間平面構(gòu)形的特征 多項(xiàng)式。針對(duì)特殊的平面完全圖構(gòu)形的特征多項(xiàng)式，經(jīng)過證明推導(dǎo)給出了 其特征多項(xiàng)式的計(jì)算公式。 關(guān)鍵字：直線構(gòu)形，特征多項(xiàng)式，o s 代數(shù)，誨不變量，完全圖構(gòu)形 。 北京化t 人學(xué)頒i j 學(xué)位論文 一 i i 摘要 織i n v a r i a n to f l i n e a ra r r a n g e m e n t s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rt h ei n v a r i a n t 九o fl i n e a ra r r a n g e m e n t s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s ：t h ec o m p u t a t i o nf o ri n v a r i a n t 織o ft h e a f f i n ep l a n el i n e a ra r r a n g e m e n t sa n dt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l so fac l a s s o ft h el i n e a ra r r a n g e m e n t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ei n v a r i a n t 九o ft h el i n e a ra r r a n g e m e n t sw i t hu pt o6 l i n e si na f f i n e p l a n eh a v e b e e ns t u d i e d t h r o u g ht h ea l g o r i t h ma n a l y s i s ， t h e o r e t i c a l p r o o fa n dp r o g r a m m i n gc a l c u l a t i o n ，w e o b t a i n e dt h e g e n e r i c a l g o r i t h m s f o rt h ei n v a r i a n t 紅a n dac l a s s i f i c a t i o no ft h e s ea r r a n g e m e n t s a c c o r d i n gt o t h ev a l u eo f 琺t h r e el i n e sp l a n a rc o n f i g u r a t i o ni sd i v i d e d i n t ot h r e ec a t e g o r i e s ，f o u rl i n e s p l a n a rc o n f i g u r a t i o ni s d i v i d e di n t o 5c a t e g o r i e s f i v e i n e sp l a n a rc o n f iu r a t i o n t i v i d e d 。n t o8c a t e ；p r i e sand5 c a t e g o r l e sl i v el i n e sp l a n a rc o n n g u r a t a o nl so l v l a e ai n t o c a t e g o r i e s , a n a， l i n e sp l a n a rc o n f i g u r a t i o n d i v i d e d i n t o13c a r ep r i e s t h e nweslx l i n e s p l a n a rc o n t l g u r a t l o ni s 1 c a t e g o r i e s 1n e n r e s e a r c h e ds o m en i c ee x a m p l e sw i t hs p e c i a lp r o p e r t i e s ，a n dp r o v i d e dap r o o f o ft h ec o m m o nf o r m u l af o rt h ei n v a r i a n t 琺 i nt h es e c o n dp a r t ，b a s e do nt h ew h i t n e yt h e o r e m ，t h ep a p e rs t u d i e dt h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s f o rt h et h r e e d i m e n s i o n a l a r r a n g e m e n t s f u r t h e r m o r e ，w ec o n s i d e r e dt h ec o m p u t a t i o no f c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l sf o r as p e c i a lp l a n a rc o m p l e t eg r a p ha r r a n g e m e n ta n do b t a i nt h ec o m p u t i n g i i i 北京化t 人學(xué)碩i ：學(xué)位論文 f o r m u l a k e y w o r d s ：l i n e a ra r r a n g e m e n t ，c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l ，o r l i k s o l o m o n a l g e b r a ，i n v a r i a n t 矽3 ，c o m p l e t eg r a p ha r r a n g e m e n t i v 目錄 目錄 第一章概述1 1 1 研究的背景1 1 2 本文主要內(nèi)容4 第二章直線構(gòu)形織不變量的計(jì)算5 2 1 預(yù)備知識(shí)5 2 2 直線構(gòu)形6 2 3 直線構(gòu)形的不變量7 2 3 1 琺不變量的算法描述8 2 3 2 平面條數(shù)不多于6 的直線構(gòu)形的繡分類1 3 第三章幾類特殊的直線構(gòu)形的織不變量2 5 3 1 簡(jiǎn)單直線構(gòu)形的紅不變量2 5 3 2 計(jì)算k 一完全圖的琺不變量2 7 3 2 1k - 完全圖的定義說明2 7 3 2 2 計(jì)算k 完全圖構(gòu)形霹的維數(shù)2 7 3 2 3u 完全圖舉例說明2 8 第四章射影平面上特殊直線構(gòu)形的特征多項(xiàng)式3 l 4 1 三維空間中特征多項(xiàng)式的算法3 l 4 2 特殊直線構(gòu)形的特征多項(xiàng)式3 1 4 2 1 特殊平面直線構(gòu)形3 1 4 2 2 計(jì)算結(jié)果3 2 參考文獻(xiàn)3 5 v 北京化t 人學(xué)碩i ：學(xué)位論文 附錄4 3 致謝4 3 研究成果及發(fā)表的學(xué)術(shù)論文4 5 v l 日錄 co n t e n t s c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1 1b a c k g r o u n d - 1 1 2r e s e a r c h 4 c h a p t e r2a l g o r i t h m s f o rl n v a r i a n t 織5 2 1p r e r e q u i s i t ek n o w l e d g e 5 2 2l i n e a ra r r a n g e m e n t s 6 2 3 絕f o rl i n e a r a r r a n g e m e n t s 7 2 3 1a l g o r i t h m sf o ri n v a r i a n t 痧3 8 2 3 2c l a s s f i c a t i o no fl i n e a ra r r a n g e m e n t sw i t hu pt o6l i n e s 13 c h a p t e r3l n v a r i a n t 矽3f o rs p e c i f i cl i n e a ra r r a n g e m e n t s 2 5 3 1s i m p l el i n e a r a r r a n g e m e n t s 2 5 3 2i n v a r i a n t 矽3f o rk - c o m p l e t eg r a p h 。2 7 3 2 1k - c o m p l e t eg r a p h 2 7 3 2 2 f o rk - c o m p l e t eg r a p h 2 7 3 2 3e x a m p l eo f k - c o m p l e t eg r a p h 2 8 c h a p t e r 4c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lf o rl i n e a ra r r a n g e m e n t s 3l 4 1a l g o r i t h m si n t h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e 3 l 4 2p a r t i c u l a rl i n e a r a r r a n g e m e n t s 3 1 4 2 1d e f i n i t i o n 3 1 4 2 2c o n c l u s i o n 3 2 v u 北京化t 火學(xué)碩l ：學(xué)位論文 r e f e r e n c e s 3 5 a p p e n d i x ，3 7 t h a n k s 4 3 v i l i 符號(hào)說明 實(shí)數(shù)域 復(fù)數(shù)域 實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域 超平面構(gòu)形 構(gòu)形a 的特征多項(xiàng)式 構(gòu)形么的p o i n c a r e 多項(xiàng)式 直線構(gòu)形的標(biāo)識(shí)，表示該構(gòu)形有吃個(gè)2 重 點(diǎn)，豫個(gè)3 重點(diǎn) 無破圈 構(gòu)形a 的理想 構(gòu)形4 的o r l i k s o l o m o n 代數(shù) 構(gòu)形a 的唬不變量 i x 舀 力 吩 d 、 4 4 k k 們 沁 ，l，l ， i ，一 l r c k 肌帆 陰 敝 哪 九 北京化t 人學(xué)碩1 ：學(xué)位論文 x 第一章概述 1 1 研究的背景 第一章概述 超平面構(gòu)形近的研究，興起于2 0 世紀(jì)7 0 年代，最初起源于一個(gè)有趣的關(guān)于“切 餡餅”的初等數(shù)學(xué)問題。該問題的具體描述如下：一刀把餡餅切為兩塊，兩刀最多切 成四塊，那么切更多刀的話最多能將餡餅分為多少塊? 其后，超平面構(gòu)形慢慢發(fā)展成 為- - i - j 綜合了代數(shù)、拓?fù)?、組合、分析等學(xué)科的交叉學(xué)科。3 0 年來受到國(guó)際上的廣泛 關(guān)注，諸如特殊構(gòu)形及其拓?fù)湫再|(zhì)、特征多項(xiàng)式、龐卡萊多項(xiàng)式、超可解性、o s 代 數(shù)等領(lǐng)域成為眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。其中，rp s t a n l y 、m f a l k 、eo f l i k 、l s o l o m o n 、 h t e r a o 、hs w h i t e 等在這些方面做出了重大貢削】。另外，近年來在國(guó)內(nèi)也有一 些關(guān)于特殊構(gòu)形，包括混雜構(gòu)形、類自由構(gòu)形、直線構(gòu)形、輪換圖構(gòu)形等方面的研究 【9 1 3 a 回顧超平面構(gòu)形的歷史，早在1 9 4 3 年【1 4 】，jl w o o d b r i d g e 就提出“切n 刀后的 餡餅最多有塵叢芝型塊”，這個(gè)結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納猜想的方法證明。對(duì)該結(jié) 論做類似推廣，可以得到這樣的結(jié)果：平面上的n 個(gè)點(diǎn)可以將1 條直線最多分為n + l 部分，n 條直線可以將一平面最多分為l + 刀+ f 刀1 個(gè)部分，n 個(gè)平面可以將一個(gè)空問最 l 2 多分為1 + 肘+ 個(gè)部分。另外，l s 蝴n i 還得到了腓餡餅經(jīng)過n 爪超平面的 分割所得的最多塊數(shù)為l + 刀+ ( 蘭 + ( 蘭 + + ( 三) 。需要說明的是，為了使得分得的塊 數(shù)最多，需要對(duì)這n 個(gè)超平面加以限制。即：這些超平面滿足，任何兩個(gè)平面交與一 條公共直線，且這些直線是互異的；任何三個(gè)平面交與一個(gè)公共點(diǎn)，且這些交點(diǎn)是互 異的f 1 4 1 。由此開始，超平面構(gòu)形受到了研究者們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注。1 9 7 5 年，z a s l a v s k y 通過定義超平面元素構(gòu)形中平面的非空交集l 上的偏序關(guān)系，利用莫比烏斯函數(shù)完成 了l 的特征多項(xiàng)式和龐卡萊多項(xiàng)式的定義。此后，更多的工具被用于超平面構(gòu)形的研 究，并為該領(lǐng)域的研究工作奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。 首先給出超平面構(gòu)形的定義【l 】【1 4 1 。設(shè)域k 為實(shí)數(shù)域酞或復(fù)數(shù)域c ，y 為k 上的，l 北京化t 人學(xué)碩l ：學(xué)位論文 維向量，取定一組基q ，吃，巳后，則k ”中任一向量v 可惟一表示為 歸( 五，恐9 - 9 ) k ”。我們將集合肚 ( 五，x 2 ，) l a , x , + a 2 x 2 + ，卜毛而) 稱為礦中 的一個(gè)超平面，并且將礦中有限個(gè)超平面的集合稱為超平面構(gòu)形，可以記為 a = q ，風(fēng) 。另外，如果構(gòu)形4 中的所有超平面的交非空，則稱此構(gòu)形是中心構(gòu) 形，否則稱為非中心構(gòu)形。 超平面構(gòu)形由其定義多項(xiàng)式唯一確定，一些特殊的構(gòu)形具有代表性的研究意義。 主要包括以下幾類：布爾構(gòu)形( b o o l ea r r a n g e m e n t ) 、辮構(gòu)形( b r a i da r r a n g e m e n t ) 、 時(shí)儉益構(gòu)形( s h i a r r a n g e m e n t ) 、一般位置構(gòu)形( g e n e r a lp o s i t i o n a r r a n g e m e n t ) 等等， 它們的定義多項(xiàng)式分別為： b o o l e 構(gòu)形：q ( 以) = 五屯吒 b r a i d 構(gòu)形：q ( a ) = 兀( 薯一t ) i i j n s h i 構(gòu)形：q ( 4 ) = f i ( 薯一_ ) ( 一_ 一1 ) l s ， s 打 一般位置構(gòu)形：q ( 4 ) = ( 五一t ) ( - x o ( 吒一。一) ( 吒一五) 對(duì)于這些特殊的構(gòu)形，其幾何、拓?fù)湫再|(zhì)都具有明顯統(tǒng)一的特征【l 】【15 1 。 從具有特殊性質(zhì)的構(gòu)形入手研究，有助于發(fā)現(xiàn)構(gòu)形的普遍性質(zhì)，若加以深入推廣 研究，可以得到很好的結(jié)果。另外，由于超平面構(gòu)形的理論研究極其復(fù)雜，沒有統(tǒng)一 成熟的方法和體系，這種出淺入深、由簡(jiǎn)到繁的方式為學(xué)者們提供了一個(gè)很好的研究 途徑。本文中的部分研究也借助了這樣的方法。 下面介紹關(guān)于超平面構(gòu)形的理論基礎(chǔ)知識(shí)。 我們將構(gòu)形a 中所有元素的非空交的集合記為l = ( a ) ，并且利用反包含定義 上的偏序關(guān)系如下：x y x d _ y ，其中x ，y e l ( a ) 。顯然，此偏序關(guān)系滿足自反性、 對(duì)稱性和傳遞性。對(duì)于任意兩個(gè)構(gòu)形4 、召，若存在保序雙射伊：三( a ) 一三( 召) ，則稱 構(gòu)形4 和構(gòu)形召是l 一等價(jià)的。 定義l ( a ) 上的秩函數(shù)為相應(yīng)元素的余維數(shù)，假設(shè)構(gòu)形4 的維數(shù)為，則可以得到： r ( x ) = e o d i m ( x ) = ，一d i mx ，其中x l ( a ) 。也可以等價(jià)解釋為：r ( x ) 表示使得 x = 紅，n e ：n n 玩成立的最少超平面的個(gè)數(shù)。顯然，r ( y ) = 0 ，( 日) = 1 。若元素 2 第一章概述 日的秩為l ，則稱該元素為原子。 接下來定義l ( a ) 上的交為：x 】，= n z ：z 三( 4 ) ，x u y c _ z ) ；如果x n y 囝，則 定義并為：x vy = x ny 。設(shè)l ，對(duì)于啷、y 厶均vy ，x y l ，則稱是格。 為了定義構(gòu)形的特征多項(xiàng)式和龐卡萊多項(xiàng)式，我們先給出( 4 ) 上m 6 b i u s 函數(shù)如 f ： i a ( x ，x ) = 1 ，x ( a ) ( x ，】，) = ( 彳，z ) = 0 x ，y ，z e l ( a ) _ k x 】廠 【x _ g ( x ，】，) = g 其他 定義( x ) = ( 0 ，x ) ，則( 0 ) = l 。 定義構(gòu)形4 的特征多項(xiàng)式為x ( a ，f 戶j u ( x ) t m 嶇朋。例如：對(duì)于特殊的b o o l c x e ( l 構(gòu)形的特征多項(xiàng)式為x ( a ，f 戶( 一1 ) r ( x ) t m 州朋。 x ( = 4 ) 特征多項(xiàng)式為研究超平面的拓?fù)湫再|(zhì)提供了一個(gè)很好的工具，通過它可以得出一 個(gè)構(gòu)形將其所在超平面分割出的區(qū)域數(shù)以及相對(duì)有界區(qū)域數(shù)。具體結(jié)果如下：定義 廠( 4 ) = ( 一1 ) ”z ( 一1 ) ，b ( a ) = ( 一1 ) ”以z 4 ( 1 ) ，則，( 4 ) 表示構(gòu)形4 將其所在 空間分割出的區(qū)域數(shù)，而6 ( 么) 表示其中相對(duì)有界的區(qū)域數(shù)目。 定義構(gòu)形4 的p o i n c a r e 多項(xiàng)式為萬(wàn)( 4 ，t ) = ( x ) ( 一f ) 7 朋。 x 五孤) 關(guān)于平面上直線構(gòu)形的研究情況如下【1 6 1 。 在直線構(gòu)形的研究領(lǐng)域中，一個(gè)備受關(guān)注的重要問題是，在給定仿射平面上及l(fā) 等價(jià)的意義下，究竟有多少種直線構(gòu)形，即如何給出一個(gè)l 等價(jià)的分類。當(dāng)然，前人 已經(jīng)得到了一定的結(jié)果。在文獻(xiàn) 1 6 】中，d g a r b e r , d t e i c h e r ，m v i s h n e 給出了射影平 面上不多于8 條直線的構(gòu)形，由此我們可以作出射影平面上不多于8 條直線的構(gòu)形。在 參考文獻(xiàn) 8 】中，詳細(xì)介紹了仿射與射影的區(qū)別與聯(lián)系。根據(jù)相關(guān)理論，我們可以將射 影平面上的構(gòu)形轉(zhuǎn)化為仿射平面上的構(gòu)形。具體方法為：對(duì)射影平面內(nèi)的某個(gè)n + 1 ( n 7 ) 條直線的構(gòu)形，取定其中一條直線作為無窮遠(yuǎn)直線，去掉該直線，并將其余的直線都 看作有窮遠(yuǎn)直線，這樣就得到了仿射平面中n 條直線的構(gòu)形。 關(guān)于超平面構(gòu)形4 的拓?fù)洳蛔兞楷m的定義如下：根據(jù)有理同倫理論， 縞= r a n k ( g 2 g 3 ) ，其中g(shù) 是構(gòu)形4 的余集的基本群，并且g = g o2g l 是g 的下 中心序列。 北京化t 人學(xué)顧i ：學(xué)位論文 由參考文獻(xiàn) 3 n - i l l ，識(shí)的計(jì)算公式為： 伴) - n w 2 + d i m ( 嘲) 手工計(jì)算平面直線構(gòu)形的工作量大，并且隨著直線數(shù)目的增多，人為計(jì)算幾乎不 可實(shí)現(xiàn)。因此，本文中研究了針對(duì)平面直線構(gòu)形的拓?fù)洳蛔兞楷m的具體算法，并利用 m a t l a b 進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。其他的研究人員只需輸入直線構(gòu)形各條直線的方程系數(shù)，即可方 便得到其么不變量。在這個(gè)基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步研究構(gòu)形的拓?fù)湫再|(zhì)，最簡(jiǎn)單直接的應(yīng) 用之一便是根據(jù)此結(jié)果對(duì)平面直線構(gòu)形進(jìn)行分類。 另外，關(guān)于織不變量的研究，前人也得到了一定結(jié)果。張曦等人曾證明【l o 】：在所+ 1 個(gè)頂點(diǎn)的平面輪式圖構(gòu)形中，計(jì)算織不變量時(shí)有織= 2 m 。 另外，數(shù)學(xué)家w h i t n e y 曾給出了一個(gè)定理來求解構(gòu)形的特征多項(xiàng)式【l 】，具體內(nèi)容 如下：設(shè)4 為n 維向量空間中的構(gòu)形，則 z4 ( f ) = ( 一1 ) 邶t 徹懈 盡為中心構(gòu)形 在三維空間中，該公式可以進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。因此，我們想到從一些特殊的平面直線構(gòu) 形入手，分析其特征多項(xiàng)式并給出推廣證明。 1 2 本文主要內(nèi)容 本文內(nèi)容主要分為三部分。 在第二章里我們首先介紹了直線構(gòu)形、o r l i k s o l o m o n 代數(shù)和織不變量的基本知 識(shí)，接著通過詳細(xì)的分析，給出了么不變量的算法，通過m a t l a b 編程實(shí)現(xiàn)，主要包括 元素編號(hào)法和矩陣求秩法。并在此基礎(chǔ)上，對(duì)不多于6 條直線的平面構(gòu)形計(jì)算了相應(yīng) 的么不變量，進(jìn)而進(jìn)行了分類。 在第三章里我們分析了幾類特殊的直線構(gòu)形，根據(jù)拓?fù)湫再|(zhì)的特殊性，對(duì)其破不 變量進(jìn)行了歸納計(jì)算。另外，根據(jù)k - 完全圖直線構(gòu)形的獨(dú)特拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)一步計(jì)算了 k - 完全圖的么不變量，并給出了具體的例子說明。 在第四章里我們首先根據(jù)w h i t n e y 定理描述了三維空間中構(gòu)形的特征多項(xiàng)式的算 法，接下來選取了一類特殊的平面直線構(gòu)形，即k 一完全圖直線構(gòu)形，計(jì)算了其特征多 項(xiàng)式并進(jìn)行了推廣證明。 4 第二章直線構(gòu)形唬不變量的計(jì)算 2 1 預(yù)備知識(shí) 第二章直線構(gòu)形紅不變量的計(jì)算 本論文的理論研究基礎(chǔ)，除了在背景知識(shí)中提到的超平面構(gòu)形、偏序集、m 6 b i u s 函數(shù)、特征多項(xiàng)式等基本概念，還包括以下的部分，主要包括：外代數(shù)、o r l i k s o l o m o n 代數(shù)、圈、破圈、n b c 基以及唬不變量掣1 1 6 1 。 首先介紹外代數(shù)的概念，設(shè)a = q ，皿，見) 是數(shù)域k 上的一個(gè)超平面構(gòu)形， 取e ，h z ，一為其中的p 個(gè)超平面，并且| | | c 是一個(gè)交換環(huán)，則定義巨2 恩c e ， e = e ( 月) = ( 巨) 是巨的外代數(shù)。巨的所有基由元素生成，且有2 = o ， = 一，日，k 4 。由于代數(shù)e 是分次的，若1 4 l = 刀，貝i je = 壹。此處昂= 庀， 且巨= 恩i c e 。若簡(jiǎn)記p 一= q ( 1 f 以) ，則可得到結(jié)果互2 。曼。k ，t2 s 2 ；。i c e , e ， ，e = 1 c e d e z 巳，由此可推得e 22 廓= e 0 e , o o e 。 定義o r l i k s o l o m o n 代數(shù)，記線性映射為：0 = 0 ：e p 專e 川，其中0 1 = 0 ，= 1 ， 且對(duì)于p 2 ，a ( 。e h ，) = ( 一1 ) 扣1 e h 。，。給定超平面的p 元組， s = ( h ，h 2 ，h p ) ，i s i = p ，e s = 氣e 。如果廠( n s ) - - i s l = p ，則稱s 是無 關(guān)的。如果a s 矽且r ( n s ) p ，則稱s 是相關(guān)的。如果對(duì)于任意1 k p ，超平面p - 1 元組( q ，反，以) 是無關(guān)的，則稱s 是極小相關(guān)的。令，= ，( e ) 表示e 的理想， 且，由 l n s = 刃u 織l 醍相關(guān)的超平面組) 生成。由于，是由齊次元素生成的，若令 i p = ，n q ，則可得，= 壘( ，n 乓) 。從而我們稱商e 為o d i k - s 。l o m o n 代數(shù)，一般簡(jiǎn) 記為o s ( a ) 或者o s 。 接下來定義線性序關(guān)系“i ”：e q i 。對(duì)于p 元組s = ( 日。，哎，h p ) 如果滿足h 。一 哆 _ h p ，則稱該p 元組是標(biāo)準(zhǔn)型，并且記刪為該線性序下的 最大元。 5 北京化t 大學(xué)碩l j 學(xué)位論文 如果p 元組s = ( h i ，4 ，h n ) 是極小相關(guān)的，則稱s 是一個(gè)圈。如果3 h a 使 得m a x s _ m lq ( 氣氣氣) = 羔島( 氣氣氣) ， i = 1 j = l 從而有蘭q ( 氣氣氣) 一芝乞( 氣氣) ：o i = 1j = m 由b ，c 的生成元馬，g 的定義可知，當(dāng)每條直線上僅包含一個(gè)3 重點(diǎn)時(shí)有忍nc 3 = 矽 因此可得：口，= o ，i = 1 ，聊；也= o ，= 1 ，m ：口= o ，從而證明：b nc = 0 另外，子空間d 的生成元為 d 3 = e , e je j , - e , e je j , + 乞氣氣lj 【甩】，且上0n 月ln 蠔矽) 假定d i m ( b ) = ，l i ，d i m ( d ) = m , 。將b ，d 的基元素分別記為： 氣氣 和 氣氣 若b a d o ) ，則j b a d 。 則由于b ，所以了q ，f = 1 ，c ，不全為o ，使得= 芝q ( g ，氣氣) 又因?yàn)閐 ，所以j 吃，j = l ，m 3 ，d 不全為o ，使得= 辦( 氣氣氣) 藝c j ( 氣氣氣) ：窆嘭( 氣氣氣) ，從而有芝q ( 氣氣氣) 一m 2 嘭( 氣氣) = o j _ l j 2 i j - l ，2 i 由b ，d 的生成元馬，皿的定義可知，當(dāng)每條直線上僅包含一個(gè)3 重點(diǎn)時(shí)有色n b = 矽。 因此可得：c f = o ，i = l ，m 。；d = o ，j = 1 ，m 3 = o ，從而證明：b n d = 0 為了證明c n d 不一定是零子空間，我們只需找出一個(gè)元素y 滿足7 c nd 即 可。 設(shè)二維平面匕的直線構(gòu)形如下圖所示： 圖2 - 1 平面直線構(gòu)形 f i g 2 - 1p l a n el i n ea r r a n g e m e n t 圖2 - 2 平面直線構(gòu)形 f i g 2 - 2p l a n el i n ea r r a n g e m e n t 在圖2 - 1 的5 直線非中心構(gòu)形中，則由相關(guān)定義可得，此時(shí)： 島= 矽，c 3 = e l e 2 e 3 ，e l e 2 e 4 ，e l e 3 e 4 ，e ：3 e 4 ) 9 北京化- 丁人學(xué)碩i ：學(xué)位論文 b = 耐q ) ，耐q ) ，耐q e ：e 4 ) ，酬q 色吃) ，酬q ) ，鰣q 蛹) ，q a ( 色鱺) ，耐呸編) 2 址一3 + 瑟，弓1 2 一扔+ 揚(yáng)，弓1 2 一弓1 4 + h ，弓1 2 一島1 4 + f 姒，e 2 n e z l 4 + 芒奴， 弓1 3 一弓1 4 + 妊，q 乃一q 2 4 + q 3 4 ，e m 一芒揚(yáng)+ 缸j q 2 4 + e z 3 4 c a d ，所以可得：c a d 不一定是零子空間 再看圖2 2 的4 直線中心構(gòu)形中，由相關(guān)定義可得，此時(shí)： 馬= 矽，c 3 = e i e 2 e 3 ，e l e z e 4 ，e l e s e 4 ，e z e s e 4 ) d 3 = 氣a ( q 吃巳) ，巳a ( q 乞白) ，乞a ( q 巳匕) ，q a ( 吃巳氣) = 1 2 一e 4 1 3 + e 4 2 3 ，巳1 2 一巳1 4 + 巳2 4 ，吃1 3 一屹1 4 + 4 ，e 1 2 3 - e 1 2 4 + q 3 4 d 的生成元均可由c 的生成元線性表示，故此時(shí)有：c n d = d c u d = c 從而原結(jié)論得以證明。 2 3 1 2 九不變量的程序算法說明 根據(jù)文獻(xiàn) 3 ，以不變量的公式為： 憚- n w 2 + d i m ( o s ；) 其算法說明分為以下幾部分。 ( 1 ) 平行的兩平面的計(jì)算 設(shè)q 4 的定義多項(xiàng)式為o t i = a i l x l + + 吒顫，從而得到一般構(gòu)形么的定義矩陣 為： a = 從彳中取出兩行，如，如行，比較相應(yīng)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，若，之線性相關(guān) 即為平行元素，記下此時(shí)的序號(hào)( ，之) 。遍歷所有二元組，得到構(gòu)形4 的所有平行元 素，存儲(chǔ)在l b 中： 1 0 i l i q 吃 第二章直線構(gòu)形識(shí)不變量的計(jì)算 皿= 蚓 并且記召有陋口l = 行，兩列。 ( ，五，五) ，遍歷所有三元組，得到構(gòu)形a 的所有步長(zhǎng)為3 的極小圈，存儲(chǔ)在三c e p 肚卜氣 并且記三c 有l(wèi) c 3 l = 行，三列。 中的基比較后，即可得到n b c 基。具體步驟如下：勺代表了e 2 中的所有元，其中 l i s j 玎。將每一個(gè)勺都與b c 中所有元比較，若不相同，則說明此元為n b c 基， 且徹c 基的個(gè)數(shù)加一。遍歷完成所得n b c 基個(gè)數(shù)即為囈。 由相關(guān)證明可得：d i m i ；= d i m ( b + c + d ) 。為了計(jì)算各個(gè)子空間的維數(shù)，需要求 解馬uc 3 u d ，作為f 中極大線性無關(guān)組的基數(shù)。這里采用的方法是以e 3 的順序基為 標(biāo)準(zhǔn)基底，分別求出e 的生成元對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)向量，并計(jì)算這些向量所組成的矩陣m 的秩，從而得到d i m 霹= r a n k ( m ) 。 根據(jù)d i m e 3 = q ，定義e 3 的順序標(biāo)準(zhǔn)基底為： q 乞巳，巳乞氣，q 吃巳，q 巳白，q 巳巳，乞巳氣，乞乞巳，吃氣巳，巳一2 e 一l ， 將生成元轉(zhuǎn)換為1 的向量寫入矩陣m ，映射方法為： 北京化t 犬學(xué)碩l ：學(xué)位論義 l o c a ( i j k ) 寸( o o o o o ( 一1 ) 州砌o ooo o ) ( 批) 其中l(wèi) o c a ( i j k ) 和n u m ( i j k ) l 拘計(jì)算方法如下： 由于上述的標(biāo)準(zhǔn)基底的下標(biāo)是從小到大順序排列的，所以需要將( i j k ) 經(jīng)過一定次數(shù)的輪換使得馳一l ：o j o k oo o 矗 25 32 】 26 4 1 】【2 1 34 】 d i m ( i ；) = 2 0 哆= 9 = 1 6 碥 d i m ( 1 3 ) = 2 0 q = 9 = 1 6 1 7 蠔 d i m ( i ；) = 6 哆= 9 = 1 4 北京化t 人學(xué)碩i ：學(xué)位論文 、 、 2 】 d i m ( 1 2 3 ) = 1 4 c 0 2 = 1 1 九= l o 、乏 ， 2 9 4 1 】 塢7 d i m ( i ；) ：1 0 哆= 1 2 九= 8 迭 221 1 # , - - l o f f 2 4 33 】 u 3 0 - 1 d i m ( e ) = 1 8 o j 2 = 1 0 痧3 = 1 2 c 0 2 = 1 2 紅= 6 26 32 】 8 - 2 d i m ( i ；) = 2 0 哆= l o 痧3 = 1 0 29 3 1 】 2 9 - 2 d i m ( e ) = 1 4 e 0 2 = 1 1 矽3 = 1 0 z 3 0 _ 2 d i m ( i ；) = 1 8 ：o e2 1 0 九= 1 2 i i 1 9 l 心8 - 3 d i m ( ) = 1 8 哆= 1 0 唬= 1 2 心 心 心 心 9 3 d i m ( 1 2 3 ) = 1 6 哆= 1 1 # , - - s 第一二章直線構(gòu)形織不變量的計(jì)算 、 x “3 l i d i m ( ) = 1 6 哆= 1 1 識(shí)= 8 誓 i 【2 1 0 3 1 u 3 2 1 d i m ( e ) = 1 2 哆= 1 2 唬= 6 心、 吣 k i i 2 7 32 】 u 3 1 2 塢l _ 3 d i m ( i ；) ：1 6d i m ( i ；) ：1 6 q = 1 1哆= 1 1 琺= 8 琺2 8 、 u 3 2 2 d i m ( 腳= 1 2 哆= 1 2 蓯= 6 【2 3 1 】 - l d i m ( i ；) = 8 哆= 1 3 唬= 4 、 蘆n ? u 3 3 2 d i m ( i ；) = 8 哆= 1 3 識(shí)= 4 礦 v ，。 2 1 i ， i i ， u 3 1 4 d i m ( i ；) = 1 6 哆= 1 1 么= 8 、， 八l | ， 北京化t 人學(xué)碩i ：學(xué)位論義 鴨4 _ l d i m ( 1 2 3 ) = 1 2 c 0 2 = 1 2 織= 6 心。 k 吩7 _ l 【29 32 】 3 4 - 2 d i m ( ) = 1 2 鴟= 1 2 織= 6 | 鴨s - 2 d i m ( 1 2 3 ) = 1 4 c 0 2 = 1 1 # 3 = 1 0 i | k 彳 1 i 鴨6 - 2 d i m ( e ) = 1 6 哆= 1 1 唬= 8 滲 、 一， z 靠2 哆= 1 2 織= 6 4 3 4 - 4 d i m ( 1 2 3 ) = 1 2 c 0 2 21 2 織= 6 2 i l o、j m 】 d 2 j2 42 4 ， = 、j 1 ) 吩e 1 小啄訓(xùn)枷 m 嘎織 善 哆織 6 3 2 l：，化川書 m 廣唬篙縛 第二章直線構(gòu)彤織小變量的計(jì)算 d i m ( i ；) = 8 c 0 2 = 1 3 唬= 4 d i m ( i ；) = 8 c 0 2 = 1 3 死= 4 圖形維數(shù) 1 1 2 3d i m ( e ) = 0 6 2 4 d i m ( 2 3 ) = 4 魄d i m ( e ) = 6 2 3 3 一l 1 3 3 - 2 塢7 一l 蠔7 2d i m ( 1 2 3 ) = 8 7 u 2 7 一ld i m ( ) = 1 0 2 2 2 7 2 3 2 一l 3 2 2u 3 4 一i 3 4 2 塢4 - 3 - 4d i m ( 1 2 3 ) = 1 2 u 9u 1 8u 2 1t 2 9 iu 2 9 2 u 3 5 1 d 3 5 2d i m ( ；) = 1 4 u 1 9u 2 5 2u 2 9 3u 3 1 一i 3 l 一2 3 1 3 1 3 i 一4 “l(fā) 6 2d i m ( ；) = ：1 6 心“l(fā)11 1 3 1 4 2 8 一l 2 2 8 3u 3 0 一iu z o 一2d i m ( e ) = 1 8 吻吩略喲u l ou 1 5 , 2 0 2 5 一lu 2 6 一i 1 2 2 2 8 2d i m ( i ；) ：2 0 圖形 繡不變量 u 2 3 o u 1 6 1 2 4 2 u nu 3 3 一lu 3 3 2 u 3 7 一i u 3 7 - 2 4 u 2 2 1 2 7 2 3 2 一iu 3 2 27 3 4 一iu 3 4 2l d 3 4 - 3 吃4 4 6 1 7 t 2 7 1 “2 9 - 3 吩l iu 3 1 2 鴨t 一3u 3 1 4 吃6 - 1 塢6 _ 2 8 塢u l s 吃1 f 2 8 - 2 “2 9 一l 2 9 2u s 5 1u 3 5 - 2 1 0 u 4 “l(fā)1 3u 1 4 2 8 一i 4 2 8 3u 3 0 一1u s 0 - 2 1 2 蠔 1 4 蠔嗚o 2 5 1 2 6 1 2 6 2 1 6 心5 - 2 1 9 2 0 蠔鴨 1 5 2 2 1 2 2 0 4 0 嵋 7 7 0 北京化t 人學(xué)顧f ：學(xué)位論文 第三章幾類特殊的直線構(gòu)形的疙不變量 第三章幾類特殊的直線構(gòu)形的織不變量 對(duì)于平面上幾類特殊的直線構(gòu)形，我們可以根據(jù)其拓?fù)湫再|(zhì)的特殊性證明縞不變 量的計(jì)算公式。另外，我們考慮了特殊的完全圖構(gòu)形的情形。具體的分析過程如下。 3 1 簡(jiǎn)單直線構(gòu)形的么不變量 ( 1 ) 所有的直線都平行 l 2 l 卜1 n 圖3 - 1 平面直線構(gòu)形 f i g 3 - 1p l a n el i n ea r r a n g e m e n t 在這種情形下，容易得到： 引1c = o ，曰n d = o ，i 馬i = q ，c 3 = 矽，b = 矽，