摘要 絕大多數(shù)復(fù)反射群的不同余表出類都已給出( 見(jiàn)【l 】，【2 】，【6 】，【7 】) 對(duì)于給定的 一個(gè)復(fù)反射群g ，它的每一個(gè)表出( s ，j p ) 都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的辮子群g 限n 和一個(gè)分 圓h e c k e 代數(shù)問(wèn)題是這些不同余的表出所對(duì)應(yīng)的辮子群之間是否是同構(gòu)的，對(duì) 分圓h e c k e 代數(shù)也考慮同樣的問(wèn)題這篇文章的豐要結(jié)果是對(duì)于復(fù)反射群g 7 ，g l l g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 中的每一個(gè)群的一些表出對(duì)所對(duì)應(yīng)的辮子群是同構(gòu) 的對(duì)于復(fù)反射群g 1 2 g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 巾的每一個(gè)群的些表出對(duì)所對(duì)應(yīng)的分 圓h e c k e 代數(shù)也證明同構(gòu)其中的證明利用了同態(tài)基本定理，少數(shù)證明中利用數(shù)學(xué)軟 件g a p 所需要的命令將在附錄巾列出 關(guān)鍵詞：復(fù)反射群辮子群分圓h e c k e 代數(shù)同構(gòu) a b s t r a c t t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ep r e s e n t a t i o n si n t oc o n g m e n c eo n e sh a sb e e nc o m p l e t e df o rt h e m o s tc o m p l e xr e a e c t i o ng r o u p s ( s e e 【1 】，【2 】，【6 】，【7 】) e a c hp r e s e n t a t i o n ( s ，p ) o fa c o m p l e x g r o u pgg i v e sd s e t oab r a i dg r o u pg ( s p ) a n da c y c l o t o m i ch e c k ea l g e b r a aq u e s t i o ni st oa s k w h e t i l e rt h eb m i dg r o u p sc o r r e s p o n d i n gt ov 撕o u sp r e s e n t a t i o n s0 fga r ei s o m o 叩h i co rn o t t h es 鋤eq u e s t i o nc a nb ea s k e df o rt h ec o 盯e s p o n d i n gc y c l o t o i l l i ch e c k ea l g e b r a f o re a c h c o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p s ( b ，g l i ，g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6g 2 7 ，g 3 2 ，w eh a v ep m v e db r a i d g r o u p sc o h s p o n d i n gt 0i t ss o m ep r e s e n t a t i o n sa r ci s o m o 叩h i c f u n h e m o r e ，f o rp r e s e n 協(xié) t i o n so fc o m p i e x r e f l e c t i o n 伊o u p sg 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，p 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 ，w eh a v ep r o 畢dc y c l o t o r n j c h e c k ea l g e b r ac o r r e s p o n d i n gt oe a c ho ft l l e ma r ei s o m o 叩h i c w 色u s eh o m o m o 叩h i s mb a u s i c t h e o r e mi nt l l ep r o o f s ，a n di naf e wo fp m o f sw eu s em a t h e m a t i c a ls o f t w a r eg a p t h en e c e s s a d rc o m m a n d si ng a p2 l r el i s t e di nt h ea p p e n d i x k e yw o r d s ： c o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p b r a i dg r o u p c y c l o t o m i ch e c k ea l g e b r a i s o m o r p h i c 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人所呈交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。 據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫 過(guò)的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文巾作了明確說(shuō) 明并表示謝意。 作者簽名：描燒蘊(yùn)日期：巡：么z 學(xué)位論文授權(quán)使用聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留學(xué) 位論文并向國(guó)家豐管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將學(xué)位論 文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。有權(quán)將學(xué)位論文 的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索。有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的 學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定。 學(xué)位論文作者簽名：物蛆蘊(yùn) 日期： 皿z ：z 導(dǎo)師簽名 第一章引言 s h e p h a r d 和t b d d 對(duì)所有有限復(fù)反射群進(jìn)行了分類，見(jiàn)【l 】，【2 】，【6 】，【7 】c o h e n 又引入 了有限復(fù)反射群的根系( r ，力和根圖的概念，從而對(duì)這些群進(jìn)行了更系統(tǒng)的描述，見(jiàn)【3 】 迸年來(lái)，h o w l e t t 和時(shí)儉益教授定義了單根系( e 的概念若g 是一一一個(gè)復(fù)反射群，我們知 道，其根系在允許相差一個(gè)非零常數(shù)因子的前提下唯一，但單根系并不唯一例g 3 3 ，g 3 4 ， 我們知道c o x e t e r 群由它的牛成元和關(guān)系式來(lái)表出有限復(fù)反射群g 也同樣可以由牛成 元和關(guān)系式來(lái)表出但對(duì)于一般的g 這個(gè)表出并不唯一 一般說(shuō)來(lái)，有限復(fù)反射群?jiǎn)胃档牟晃? 性決定了其表出的不唯一性時(shí)儉益教 授對(duì)表出定義了種等價(jià)關(guān)系：同余，使得這些單根系分成幾個(gè)不同的等價(jià)類在時(shí)儉 益教授及其學(xué)牛王麗，曾鵬和徐善頂?shù)恼撐闹锌梢钥吹竭@些有限復(fù)反射群的不同余的 表出，見(jiàn)【l 】，【2 】，【6 】，【7 】【8 】對(duì)于這些不同余的每一個(gè)表出，其巾所包含的關(guān)系式都可以 有不同的表達(dá)形式，進(jìn)而對(duì)應(yīng)于不同的辮子群對(duì)于這些辮子群，有一個(gè)自然的問(wèn)題： 這些辮子群之問(wèn)是否存在同構(gòu)的關(guān)系呢? 另外，對(duì)應(yīng)于復(fù)反射群的不同余表出，我 們考慮相應(yīng)的分圓h e c k e 代數(shù)之間的同構(gòu)關(guān)系 本文的內(nèi)容安排如下：第一部分為預(yù)備知識(shí)，主要摘錄一些相關(guān)定義第二部分( 第 三章) 主要證明了部分復(fù)反射群g 7 ，g 1 1 g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 的辮子群的同 構(gòu)這里面有些證明過(guò)程是利用計(jì)算機(jī)軟件g a p 來(lái)證明的，主要程序命令會(huì)在附錄 里給出第三部分( 第四章) 會(huì)給出部分復(fù)反射群g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 的相應(yīng)分 圓h e c k e 代數(shù)的同構(gòu)的證明，其巾部分的證明過(guò)程參考辮子群的證明過(guò)程 第二章預(yù)備知識(shí) 弟一早 耿畝劉識(shí) 這一章我們給出，。些有關(guān)復(fù)反射群及其所對(duì)應(yīng)的辮子群和分圓h e c k e 代數(shù)的定義 等相關(guān)內(nèi)容 2 1 有關(guān)復(fù)反射群不同余表出的概念 設(shè)，是，z 維復(fù)向量空間，y 上的一個(gè)反射是y 上的一個(gè)恰好有以一1 個(gè)特征值為l 的有 限階線性轉(zhuǎn)換y 上的反射群g 是一個(gè)由y 上的反射生成的有限群g 的反射子群是g 的 一個(gè)子群并且它又是y 上的一個(gè)反射群g 成為實(shí)反射群或c 0 e n e r 群，如果存在y 的g 一 不變的尺子空問(wèn)，使典范映射c 一y 是雙射如果不存在這樣的一個(gè)尺子空問(wèn)， 則稱g 是復(fù)反射群 令g 是一個(gè)反射群，它的一個(gè)表出是指這樣一個(gè)序?qū)? s ，p ) ，這里： ( 1 ) s 是由生成g 的反射元構(gòu)成的有限集，并且s 是滿足此性質(zhì)的集合巾元素個(gè)數(shù)最少的 ( 2 ) p 是s 中元素的關(guān)系式集，并且s 中元素的其它關(guān)系式均可由這些關(guān)系式推出 兩個(gè)表出( s ，聊，( s o ，p 0 ) 稱為同余的，如果存在一個(gè)雙射，7 ：s s o 滿足對(duì)任意 的s ，f s 有： 蘭 ，即由j ，f 生成的g 的子群同構(gòu)與由，7 ( j ) ，7 7 ( f ) 牛成的g 的 子群如果不存在這樣的雙射碭則稱著兩個(gè)表出是非同余的。 2 2 辮子群及分圓h e c k e 代數(shù)的定義 令g 是一個(gè)復(fù)反射群，設(shè)一個(gè)序?qū)? s ，p ) 是g 的一個(gè)表出例如復(fù)反射群g 1 2 的一個(gè) 表出為：s l = j l ，娩，s 3 l ， p l = 如1 ) ，( 口2 ) 這里s l ，5 2 ，j 3 為生成元 其中關(guān)系式0 1 ) ，( 口2 ) 為：( 口1 ) 礙= = 霹= l 2 ) j l j 2 s 3 5 l = s 2 s 3 j l 觀= j 3 s l j 2 s 3 2 第二章預(yù)備知識(shí) 3 那么對(duì)應(yīng)于這個(gè)表出有相應(yīng)的辮子群，記為g ( s 。p ) ，它是由s l ，晚，的生成的，且滿足關(guān) 系式2 ) 一般地，對(duì)于一個(gè)給定的復(fù)反射群g ，它的一個(gè)表出不妨記為( s ，p ) ，則這個(gè)表 出所對(duì)應(yīng)的辮子群是由它的牛成元及生成元滿足關(guān)系式集，所表示的，這里尸，為p 中 的除去牛成元階數(shù)的關(guān)系式后的其它所有關(guān)系式組成的集合易見(jiàn)辮子群是一個(gè)無(wú)限 階群 在復(fù)反射群g 1 2 中可以看到有關(guān)系式s ；= l ，即s 3 = 5 i 1 ，在關(guān)系式( 口2 ) 中用s i l 代替 s 3 ，可以是s 1s 2 s i l s l2s 2 s 3 s l s 22s 3 s l s 2 s 3 ，也可以是s ls 2 s 3 s 1 = 靶一s 1 & 。s 3 s l s 2 s 3 ，這 樣( 口2 ) 就不止一種表達(dá)形式，但是本質(zhì)上它們都是同一個(gè)關(guān)系式所以，復(fù)反射群g 1 2 的表出也可以為 j ，只) ，這里s ：= s l ，只= ( 口1 ) ，( 口3 ) l ，這里( 口3 ) 為s l 兜s ；1 s 1 = 眈j 3 j l 觀= 如j i & 勻那么對(duì)應(yīng)于表出( s ：，z ) 的辮子群記為g ( s ，只) 是由s i ，晚，旬生成的，并且生成元 滿足關(guān)系式3 ) 容易看出( s ，p ) 與( s ：，) 是同一個(gè)表出，但辮子群g ( s ，即與g ( s ：一) 是完 全不同的兩個(gè)群一般地，對(duì)應(yīng)于同個(gè)復(fù)反射群的辮子群并不是唯一的；但是對(duì)于每 一個(gè)固定形式的表出，所對(duì)應(yīng)的辮子群是唯。的在本文巾把對(duì)應(yīng)于群g 1 2 的所有辮子 群稱為g 1 2 型辮子群類似的，對(duì)于其它的復(fù)反射群g ，所對(duì)應(yīng)的辮子群稱為g ，型辮子 群，這里工 7 ，l l ，1 2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，3 2 1 在這篇文章中，我們只對(duì)每個(gè)固定形式的表出 所對(duì)應(yīng)的辮子群討論 復(fù)反射群g 1 2 對(duì)于其表出( s ，力，生成元為j l ，勛，島，是互為共軛的定義一個(gè)舅上的 結(jié)合代數(shù)研如下，其中貿(mào)= z m ；1 ，時(shí)1 】，z 為整數(shù)環(huán)，p o ，p l 為不定元：以丁1 ，疋，乃為生成 元的貝上的結(jié)合代數(shù)并滿足下列關(guān)系式： ( 瓦一p o ) ( 瓦一p 1 ) = 0 ( f - l ，2 ，3 ) ，r l 疋死r l = 疋乃丁1 死，丁l 死乃r l = 乃丁l 疋乃 我們把糾稱之為相應(yīng)于復(fù)反射群g 1 2 表出( s ，p ) 的分圓h e c k e 代數(shù)對(duì)于另外的表 出也有相應(yīng)的分圓h e c k e 代數(shù)，在這里統(tǒng)稱為g 1 2 型分圓h e c k e 代數(shù)反射群g 上，所對(duì)應(yīng) 的分圓h e c k e 代數(shù)稱為g ，型分圓h e c k e 代數(shù) 對(duì)于有二階和三階生成元生成的有限復(fù)反射群，由于生成元是不共軛的，它的一 個(gè)表出對(duì)應(yīng)的分圓h e c k e 代數(shù)定義則是有所不同的，例如g 1 5 的一個(gè)表出為岱，p ) ：其 中s = s l ，s l l 娩i ，p = 徊1 ) ，( 口2 ) ，如3 ) ，s l 眈，曲為生成元，s “為共軛的 關(guān)系式似1 ) ，0 2 ) ，( 口3 ) 如下： 似1 ) = 豸l = 芝l = l ( n 2 ) s l s l l 晚l2s l l 晚l s l ( 口3 ) 5 2 1 s i l s l l l s l i = j 了1 j l l j 2 1 s l l 眈l 相應(yīng)的分圓h e c k e 代數(shù)糾則定義如下：以r l 丁乃l 為生成元的貿(mào)上的結(jié)合代數(shù)，其 中貝= z ；1 ，p ；1 ，帶1 ，矸1 ，笸1 】，其中z 為整數(shù)環(huán)，p o ，l ，如，t l ，a 2 為不定元，并滿足下列 第二章頑備知識(shí) 關(guān)系式： 4 ( 乃一p 1 ) ( 乃一p 2 ) = 0 ( f = l ，l1 ) ， ( 死l 一如) ( 疋l 一1 1 ) ( 乃l a 2 ) = 0 ， 死死l 疋l = 死l 疋1 r l ， 死l 耳1 丁j 1 死1 丁l i = 丁f 1 蜀l 死l 死1 死i 在這篇文章中，我們只對(duì)復(fù)反射群g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 對(duì)應(yīng)的分圓h e c k e 代數(shù)討 論 第三章辮子群的同構(gòu) 這一章我們討論復(fù)反射群g 7 ，g 1 1 ，g 】2 ，g 1 5 ，g 2 4 g 2 5 ，g 2 6 g 2 7 ，g 3 2 所對(duì)應(yīng)的部分 辮子群的同構(gòu)關(guān)系 3 1g 7 型辮子群的同構(gòu) 由【7 】可知： 命題3 1 1 復(fù)反射群6 7 的兩個(gè)不同余的表出記為( s l ，尸1 ) ，( s 2 ，b ) 這里? s l = i j i ，眈，s 8 l ，p l = 似1 ) ，0 2 ) s 1 ，j 2 ，s 8 為牛成兀 s 2 = s 2 ，5 1 4 ，s l l ， p 2 = ( 易1 ) ，( 6 2 ) ，( 6 3 ) ，s 1 4 ，s l 為生成元 其巾關(guān)系式似1 ) ，2 ) ，( 易1 ) ，( 易2 ) ，( 6 3 ) 如下? 0 1 ) 霹= s ；= 司= l ( 口2 ) s 2 s 8 s l = j 8 j l j 2 = j l s 2 s 8( 易1 ) 霹= 元= 司= l ( 6 2 ) j ls 1 4 s 2 = s 2 s 1 4 s l ( 6 3 ) 既j 1 4 s 2 j ls 2 j l = 5 ls 2 j is 2 j 1 4 5 2 相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式：s 1 4 = 眈s l 內(nèi)磚眈，髓= 砰龜j 1 4 & j l 由于在復(fù)反射群g 7 中有霹= i = 1 ，即= s j l ，磚= 町1 ，所以可以在表出( s 2 ，p 2 ) 以 及轉(zhuǎn)換關(guān)系式作如下改變，改變后的表出記為( s ；，只) ，其中： s 2 = s ；，罡= ( 易1 ) ，( 6 2 ) ，( m ) l ，這里( m ) 為s 2 j 1 4 娩s l s i l 5 l = s l 寫1 s l s 2 s 1 4 j 2 ，易見(jiàn)p 2 與哎是 同一組關(guān)系式；改變轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：s 1 4 = s ；1 s l 兩5 ；s ；1 ，= s 了1 眈s 1 4 眈5 7 2 ，容易看出改變 后的轉(zhuǎn)換關(guān)系式與原來(lái)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式是致的 為了方便，把( s ；，p ；) 中的元素符號(hào)作如下形式上的改變：s 鄉(xiāng)= m ，如，f 1 4 ，鹺中的關(guān) 系式為：( c 1 ) 哇= 牙4 = 礙= 1 ( c 2 ) n “4 f 2 = f 2 f 1 4 f l ( c 3 ) f 2 f 1 4 砭f i e l f l = f l 丐1 f 1 乞f 1 4 f 2 也就是用代替咒，其中f = l ，2 ，1 4 ，( s ；，最) 與( s ! ，鹺) 是本質(zhì)上同一個(gè)表出，且( s l ，p 1 ) 與 岱7 ，彤) 是兩個(gè)不同余的表出，相應(yīng)的辮子群分別記為g ( s ， ) ，g ( s ，一) 定理3 1 2 g 7 型辮子群g ( s 。p 1 ) 與g ( s 7 一) 是同構(gòu)的 5 第二章辮子群的同構(gòu) 6 證明：首先定義由，生成的自由群f ，則由萬(wàn)l ( ) = 研，( f = 1 ，2 ，8 ) 可以唯一。確 定f 叫g(shù) 岱。，尸) 的滿同態(tài)映射丌卜 在f 的生成元集合m 上定義映射妒l ：m g ( s 羔，巧) 其中肘= ，l ，妒( ) = ，( f = l ，2 ，8 ) ，f b 皇f 丁1 f 2 f 1 4 如f i 2 ；進(jìn)而唯一擴(kuò)展到群同態(tài)映射妒i ：，叫g(shù) ( s 7 ，_ ) 由映 射丌l 的定義可知：映射丌l 的核婦r 丌l 是由元素吒- 1 - 1 吒一，s ：j ；s j s ；- 1 砭- 1 s ，_ l 生成 的f 的正規(guī)子群下面我們證明：婦所l 婦卻l 即證： ( 1 ) 妒l ( 吐s ：畦_ 1 j ：_ 1 _ 1 ) = l 即妒i ( 吒s i ) = 妒l ( j ：) ( 2 ) 妒l ( 吒一藝_ - 1 ) = l 即妒l ( 吒) = 妒l ( ) 證明過(guò)程如下：由g ( s 7 片) 中的關(guān)系式可知， 妒l ( s ；s ；) = 妒l ( ) t 亭f l 龜f f l 如f 1 4 f 2 f 了1 f i 1 = f 2 f 1 乏如4 f 2 f f l f - 1 幻 ( 3 。1 1 ) 又因?yàn)? c 3 ) r l 巧1 f l 如f 1 4 f 2 = f 2 f 1 4 f 2 f l e l f l 成立，所以( 3 1 1 ) 等價(jià)于：“如f 1 4 f 2 百1 = f 2 f i l 紅f 1 4 f 2 “丐1 ， 又由于( c 2 ) “f 1 4 匕= 垃f 1 4 f 1 成立，所以( 1 ) 成立對(duì)于( 2 ) 式，妒l ( s ：5 j ) = 妒l ( 哎s ；) 等價(jià)于 f 2 f 了1 f 2 f 1 4 f 2 一f _ l f l = 礦1 蟛1 4 免，l - 1 f l 一1 f l f 2 ( 3 1 2 ) ，再由前面的證明可知( 3 1 2 ) 等價(jià)于： f l 一1 f 2 ，l 一1 1 4 f 2 = f l 一1 龜f 1 4 恕曠f 2 營(yíng)f l 一1 f 2 f 1 42 “4 如曠1 營(yíng)f 2 f 1 4 “= f l f l 4 垃營(yíng)( c 2 ) ，所以( 2 ) 成 立 由群同態(tài)基本定理知存在唯一的同態(tài)映射妒l ：g ( s 。p i ) 一g ( s 7 ，片) 使得妒l = 驢1 7 r l 且 知：妒i ( j ：) = l 萬(wàn)i ( ) = l ( s 1 ) = “妒i ( 吐) = 1 7 r i ( 呸) = l ( j 2 ) = f 2 妒1 ( s ；) = l 丌l ( ) = 妒l ( s 8 ) = f 8 同理定義由，呸，4 生成的自由群尸，則由丌2 ( ) = 島，( f = l ，2 ，1 4 ) 可以唯一確 定p g ( s ，一) 的滿同態(tài)映射丌2 在f 7 生成元集合m 上定義映射忱：m g s ，1 ) 其中m = i 巧，呸，4 ，忱( ) = 毋，( f = l ，2 ，1 4 ) ，j 1 4 蘭j i l s l s 8 砰s i l ；進(jìn)而唯一擴(kuò)展到群同態(tài)映射妒2 ：f 7 _ g ( 5 。尸i ) 由映 射丌2 的定義可知：婦啦是由元素4 呸吒1 4 - 1 呸，吒4 吐呸- 1 吒砭- 1 4 1 呸- 1 吒- 1 砭吒- 1 生成 的，的正規(guī)子群下證婦r 砣婦砷2 ，即證： ( 1 ) 忱( 吒吒4 呸巧一1 巧4 1 藝- 1 ) = l 即忱( 吒4 吒) = 妒2 ( 呸4 ) ( 2 ) 勿( 囈。呸呸一1 乏- 1 。- 1 1 - 1 - 1 ) = l 即9 2 ( 呸4 砭一) = 忱( f ：砭一1 囈4 呸) 證明過(guò)程如下：由g ( s 中的關(guān)系式可知， 妒2 ( 4 呸) = 妒2 ( 呸4 吒) 成立當(dāng)且儀當(dāng)妒2 ( - 1 巧4 ) = 妒2 ( 4 f 2 1 ) 成立，當(dāng)且儀當(dāng) 妒2 ( 一1 呸一1 f ；4 囈) = 妒z ( 一1 呸巧。呸一1 呸) 成立，蘭j 且僅當(dāng)妒2 ( 呸一1 呸巧4 囈巧一1 ) = 妒2 ( 呸一1 呸4 砭) 成立，當(dāng)且僅當(dāng)忱( 呸吒- 1 呸吒4 藝吒- 1 ) = 妒2 ( - 1 吃1 呸4 呸) ( 3 1 3 ) 成立 墼重鱉至壁絲旦笪 7 則( 3 1 3 ) 式成立等價(jià)于妒2 ( 呸巧一1 呸4 呸- 1 ) = 仡( 1 呸1 呸- 1 呸) 成立當(dāng)且僅當(dāng) 妒2 ( 砭一1 呸4 呸一1 巧一1 巧) = 妒2 ( - 1 乞4 砭巧_ 1 巧- 1 呸) 成立，當(dāng)且儀當(dāng)s 2 j 8 s l = s 8 j l j 2 成立 即2 ) 成立可以證明( 3 ) 是成立的又有 妒2 ( 呸4 呸f ；呸一1 ) = 妒2 ( 呸一1 呸4 吒) 成立，當(dāng)且僅當(dāng)忱( 巧吒4 呸一1 ) = 忱( 呸巧一1 吒f ；。呸f j 呸一1 ) 成立，當(dāng)且儀當(dāng)妒2 ( 吒巧巧- 1 f ；4 ) = 妒2 ( 藝_ 1 呸4 呸吃- 1 ) 成立 再由證明( 3 ) 的過(guò)程中可知( 4 ) 是成立的所以七已r 丌2 婦卻2 則由群同態(tài)基本定理知存在唯一的同態(tài)映射2 ：g ( s z ，墨) 一g ( s 。，i ) 使得妒2 = 妒2 丌2 且知：妒2 ( f f ) = 妒2 丌2 ( ) = 晚 ) = 研( f = i ，2 ，1 4 ) 下面說(shuō)明驢1 與2 互為逆映射，只須在生成元上證明：妒2 妒l ( s j ) = s j ，f - l ，2 ，8 鋤1 ( 翻) = 九( f 1 ) = j l ，妒2 l ( 昆) = 九( ，2 ) = 寵 妒2 l ( s 8 ) ：妒2 ( h ) = 九( f l 一1 紅f 1 4 f 2 玎2 ) = s 了1 眈s 1 4 娩s 了2 = s i l j 2 j i l j i s 8 霹1 s 2 s i 2 = s 8 妒2 妒l = 以這樣就證明了兩個(gè)辮子群是同構(gòu)的 3 2 g l l 型辮子群的同構(gòu) 由【8 】中可知： 命題3 2 1 復(fù)反射群g 1 l 兩個(gè)不同余的表出記為( s l ，p 1 ) ，( s 2 ，p 2 ) 這里? s l = l s l ，j 2 ，j 3 l ，p l = i ( 口1 ) ，( 口2 ) s l ，s 2 ，s 3 為爿e 萬(wàn)宛7 c s 2 = 5 i ，j 2 ， ， p 2 = ( 6 1 ) ，( 6 2 ) ，( 6 3 ) s l ，靶，乳為生成兀 其巾關(guān)系式0 1 ) ，0 2 ) ，( 6 1 ) ，( 6 2 ) ，( 易3 ) 如下： ( 口1 ) 砰= 霹= 霹= l ( 口2 ) s l 眈j 3 = 娩的j l = 勛s l s 2( 掃1 ) 砰= s ；= j ：= l ( 易2 ) s l 鼬2 酗j 2 s l ( 易3 ) s ls 2 s 2 = s 2 鼬眈j l 相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式? & = 5 ；s ；j 3 = j 2 霹毫 由于在復(fù)反射群g l l 中有= l ，= l ，即霹= s ；1 ，= 晤1 ，所以轉(zhuǎn)換關(guān)系式也 可以是：趵= j ；j ；1 眈，s 3 = s 2 躒1 ，我們把表出( s l ，尸1 ) ，( s 2 ，p 2 ) 作如下改變，改變后記 為( s ；，一) ，( s ；，呸) ，這里：s l = s ：，q = 1 ) ，似3 ) ，( 甜) ，s 2 = s ：，哎= ( 6 1 ) ，( m ) ，( 6 5 ) ，其中( 口3 ) ，( 西) ，( 鶿) ，( 掃5 ) 為： ( 口3 ) s l j 2 j 3 = 眈s 3 s l ( 口4 ) j i l j i l s 3 s i = s 3 s l 五1 s 三1 ( 易4 ) s 了1 呸1 j i l 鰳= & 貶1 s 三1 j i l ( 弱) 町1 丐1 丐1 s 4 墨1 丐1 = 巧1 s i l 鼬丐1 j i l 町1 ，易見(jiàn)p f ，與p ，( 江l ，2 ) 是同一組關(guān)系式 同上一節(jié)內(nèi)容相似，對(duì)于表出( s ：，只) 中的元素符號(hào)作形式上的改變，即相應(yīng)的符 號(hào)s 改為幺，這樣改變后的表出記為( s 蘭，鹺) ，與( s ；，最) 是本質(zhì)上同一個(gè)表出，而且易 第= 章辮子群的同構(gòu) 8 見(jiàn)( s i ，p ；) 與( s ，彤) 是群g i i 不同余的表出然后把相應(yīng)的辮子群記為g ( s ，q ) ，g ( s z ，墨) 定理3 2 2 g l l 型辮子群g ( s ；，只) 與g ( s ! ，_ ) 是同構(gòu)的 證明：首先定義由j ：，j ：生成的自由群f ：則由丌l ( s ：) = 毋，( f = l ，2 ，3 ) 可以唯一確 定f g i l 口的同態(tài)映射 在f 的牛成元集合膨= ， 上定義映射妒l ：膨叫g(shù) ( s ；，) 其中9 l ( 研) = ，( f - l ，2 ，3 ) ，f 3 會(huì)如石1 繡；進(jìn)而唯一擴(kuò)展到群同態(tài)映射妒l ：f 卜g ( s 7 一) 由映射丌l 的定義可 知：映射，r l 的核婦r 丌i 是由元素5 ；j 一- 1 一，1 - 1 5 ；1 1 生成的f 的正規(guī) 子群下證婦r 丌l 婦砷l ，即證： ( 1 ) 妒l ( _ 1 1 - 1 ) = l 即妒1 ( 墨) = 妒l ( ) ( 2 ) 妒( 1 s j s ：s ；- 1 弓- 1 ) = l 即妒1 ( _ 1 - 1 s ；) = 妒l ( _ 1 一) 證明過(guò)程采用計(jì)算機(jī)輔助證明，相應(yīng)程序可以參照附錄 由群同態(tài)基本定理知存在唯一。的同態(tài)映射妒l ：g ( s ：| p ：) 卜g ( s ；，墨) 使得妒i = 1 7 r i 且 知：妒l ( ) = 妒l 丌l ( ) = 妒l ( 毋) = 如，f = l ，2妒l ( 焉) = 1 7 r l ( s ；) = 驢l ( s 3 ) = f 2 巧1 嗟 同理，定義由，藝，瞄牛成的自由群尸，則由硯( ) = ，( f = l ，2 ，4 ) 可以唯一確 定p g ( s ? 。片) 的滿同態(tài)映射；在尸牛成元集合m = i ，呸，l 上定義映射妒2 ：m g ( s ：，只) 其中妒2 ( 研) = ，( f = l ，2 ，4 ) ，鼬全s 2 2 s ；1 娩；進(jìn)而唯一擴(kuò)展到群同態(tài)映射忱：，7 _ g ( s ：，一) 由映射丌2 可知：婦r 7 r 2 是元素一1 呸1 呸- 1 呸呸，呸- 1 吒- 1 呸- 1 呸1 巧- 1 呸呸- 1 吒吒生 成的尸的正規(guī)子群下證婦阢2 婦仰2 ，即證： ( 1 ) 妒2 ( - 1 呸一呸一1 呸吒。) = l 即忱( 一呸一砭- 1 ) = 妒2 ( 芝。呸一- 1 ) ( 2 ) 妒2 ( 呸- 1 呸一1 呸一1 哇- 1 呸- 1 巧砭吒1 砭呸) = l 即妒2 ( 一囈- 1 囈一1 乞乞- 1 呸一1 ) = 仇( 砭- 1 芝- 1 - 1 呸1 - 1 ) 下面的證明采用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)進(jìn)行證明其同構(gòu)，程序參見(jiàn)附錄得到婦噸 婦聊2 后，則由群同態(tài)基本定理知存在唯一的同態(tài)映射妒2 ：g 岱，彤) 一g ( s 。，p i ) 使 得妒2 = 九丌2 且知： 妒2 ( ) = 2 丌2 ( ) = 2 ( f f ) = 毋，f = l ，2 ，妒2 ( ) = 2 7 r 2 ( ) = s 4 = s i l s 2 = l ( “) 下面說(shuō)明妒i 與妒2 互為逆映射，只須在生成元上證明：妒2 妒l ( 研) = 毋，f _ l ，2 ，3 即可 。妒2 妒l ( s 1 ) = 妒2 ( f 1 ) = s l 驢2 驢1 ( s 2 ) = 妒2 ( 如) = 娩 妒2 妒l ( s 3 ) = 妒2 ( f 3 ) = 妒2 ( f 2 “一1 磅) = 2 ( f 2 ) 矽2 ( 1 ) 2 ( ) = s 2 巧1 = j 3 驢2 l = 塒這樣就證明了兩個(gè)辮子群是同構(gòu)的 注解：由 7 】可知，復(fù)反射群g l l 有四個(gè)不同余的表出，這里我們只給出相應(yīng)與其中兩個(gè)表 第二章辮子群的同構(gòu) 9 出的辮子群的同構(gòu) 3 3 g 1 2 型辮子群的同構(gòu) 由【l 】中可知 命題3 3 1 復(fù)反射群g 1 2 的三個(gè)不同余的表出記為( s l ，p 1 ) ，( s 2 ，b ) ，( s3 ，尸3 ) ? s l = s l ，s 2 ，j 3 ，p l = 1 ) ，向2 ) ls l ，s 2 ，s 3 為牛成元 s 2 = j l ，& ，趵 恐= ( 6 1 ) ，( 易2 ) ，( 易3 ) s l ，s 2 ，s 7 為牛成元 s 3 = h ，觀，曲 ，p 2 = i ( c 1 ) ，( c 2 ) ，( c 3 ) s l ，s 2 ，s 8 為牛成元 其中關(guān)系式0 1 ) ，( 口2 ) ，( 易1 ) ，( 6 2 ) ，( 6 3 ) ，( c 1 ) ，( c 2 ) ，( c 3 ) 如下? 1 ) 砰= = = l ( 口2 ) s i 娩如s i2 眈勖工i 眈5j 3 s l 島 ( 易1 ) 蠟2 霹= 霹= l( 易2 ) j l j 2 j 7 s l2j 2 s 1 5 2 研 ( 掃3 ) s 7 s 2 s l 曲= s 2 s 7 s 2 s l ( c 1 ) s i2s i = j i = l ( c 2 ) s 2 s lj 2 s 8 5 225 is 2 j is 2 殛( c 3 ) s 8 j ls 2 5 8 娩2s is 2 豫j 2 j l 其相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式? 墨32j 2 j 7 s 2 = j lj 2 s 8 s 2 軋j 8 = j 3 j lj 3 ，研2 靶s 3 s 2 在復(fù)反射群g 1 2 中有i = 霹= 霹= 霹= l ，即j i l = s l ，1 = j 2 ，巧1 = 札j i l = j 8 ，對(duì) 于等式( 6 2 ) 左右兩邊同時(shí)取逆，再根據(jù)上述內(nèi)容可知有：j l j 7 晚s l = s 7 s 2 s l s 2 ( m ) ； 同理，( c 3 ) 在形式上可變?yōu)椋簊 8 j l s 2 s 8 s i l = s l j 2 盹j i l s l ( 4 ) ；轉(zhuǎn)換關(guān)系式形式上可變 為：島2 丐1 研娩，研= 眈，3 s i l ，鼬2s 3 s i 丐1 ，j 3 = s i 觀甄j i l 町1 記表出( s ：，罡) ，其巾s 2 = s ：，e = i ( 6 1 ) ，( m ) ，( 易3 ) 易見(jiàn)( s ；，罡) 與( s 2 ，p 2 ) 本質(zhì)上是 同一。個(gè)表出記表出( s ；，最) ，其中s 3 = s ；，最= p 1 ) ，( c 2 ) ，( 一) l ，易見(jiàn)岱3 ，巳) 與( s ；，只) 本 質(zhì)上是同一個(gè)表出同上一節(jié)相似，對(duì)于表出( s ；，最) 及( s ：，只) 巾的元素符號(hào)作形式上 的改變，即把符號(hào)研相應(yīng)的分別改為f j ，l l i ，這樣改變后的表出記為( s 蘭，墨) 與( s ；，g ) ( s l ，p 1 ) ，( s ，墨) 與( s ；，) 是三個(gè)不同余的表出，相應(yīng)的辮子群記為g ( s 。， ) ，g ( s 7 墨) ，g ( 5 ；，) 定理3 3 2 g 1 2 型辮子群g 岱。，p 1 ) 與g ( s ；，蹦是同構(gòu)的 證明：同3 1 ，3 2 中內(nèi)容類似，首先建立由，吐，s ；生成的自由群，與g ( s 。， ) 之間的 典范滿同態(tài)映射7 r l 這里丌l ( s ；) = 毋，f = l ，2 ，3 ，再去構(gòu)造同態(tài)映射妒l ：，叫g(shù) ( s ? ，一) ，這 里妒l ( ) = 島，f = l ，2 ，3 其中f 3 全1 f 7 f 2 ，若我們已經(jīng)證明婦所l 婦仰l ，則由群同態(tài)基 本定理知存在唯一的同態(tài)映射l ：g 哂。 p 。) _ g 岱? ，_ ) 使得妒l = 1 丌l ，并且有，妒i ( ) = 妒l 丌l ( ) = l ( 毋) = f i ，f = l ，2妒l ( ) = 驢l 丌l ( ) = 妒l ( j 3 ) = f 3 = 巧1 f 7 f 2 然后建立由 ，f ；生成的自由群p 與g ( s ? ，一) 之間的典范滿同態(tài)映射丌2 幾( 巧) = ，f = l ，2 ，7 ，再去構(gòu)造同態(tài)映射仡：尸_ g ( s 。，p 1 ) 這里仇( 鑫) = 毋，f = l ，2 ，7 其 第= 章辮子群的同構(gòu)1 0 中s 7 蘭s 2 j 3 j ；1 ，若我們已經(jīng)證明婦m 婦嘞，則由群同態(tài)基本定理知存在唯一的同態(tài) 映射2 ：g ( s ，_ ) g ( s i ，p i ) 使得妒2 = 2 丌2 并且有，妒2 ( ) = 妒2 丌2 ( ) = 2 ( ) = 毋，f = l ，2 仇( 弓) = 2 砸( 弓) = 九( 巧) = 研= & & 啄1 證明婦趼lg 婦印i 及婦，恐婦坤2 如下：由映 射丌- 的定義可知：映射丌- 的核婦所- 是由元素- 1 1 _ 1 s ；，1 - 1 - 1 墨- 1 生成的f 的正規(guī)子群由映射丌2 的定義可知：映射丌2 的核婦耽是由元素弓噬巧一1 呸一1 一1 ，；， 弓呸f ；一- 1 巧一f ；- 1 呸 1 生成的f 7 的正規(guī)子群即證： ( 1 ) 妒，( s ：) = 妒，( j ；) ( 3 ) 妒2 ( f ；囈) = 忱( 弓呸呸) 證明過(guò)程如下： ( 2 ) 妒l ( 墨) = 妒i ( j ；) ( 4 ) 妒2 ( f ；呸f ；) = 妒2 ( 呸f ；呸) 忱( f ；呸) = s 1 眈如丐1 娩s l = s l 眈j 3 鰳， 妒2 ( f ；弓砭) = 晚的j i 眈j i 眨= 眈酌s l 娩 妒2 ( f ；砭f ；) = j 2 趵s i ls 2 s 15 2 s 3 j i l2 觀j 3 5 l & s 3 j 三1 = 5 2 s 2 跖s ls 2 s i l = 勛s 2 s 3 s l 妒2 ( 呸弓呸f ；) = 也- 娩& 靶丐1 j l = - 沈j 2 s 3 5 l ，妒l ( ) = 砭1 f 7 如f l f 2 = ，7 如f l f 2 妒l ( j j s i j ；) = f l 如丐1 f 7 f 2 “= f l 幻如f l 妒l ( s ；s j s ：s ；) = 巧1 f 7 如，l 垃巧1 幻f 2 = e 。r 7 f 2 f l 巧f 2 = e r 2 幻f 2 f l f 2 = 幻f 2 “f 2 分別由g ( s p 。) ，g ( s 7 _ ) 中的關(guān)系式可知( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 是成立的下面說(shuō)明l 與2 互為逆 映射，只須在生成元上證明：2 l ( 研) = 研，f _ l ，2 ，3 即可 矽2 妒l ( j 1 ) = 驢2 ( “) = j l 驢2 廬i ( s 2 ) = 赴( 如) = s 2 2 妒l ( s 3 ) = 妒2 ( 幻) = 九( e 1 f 7 垃) = 妒2 ( e 1 ) 2 ( 幻) 驢2 ( f 2 ) = s 三1 s 7 = 1 s 2 s 3 s i l j 2 = j 3 也l = 趔這樣就證明了- 兩個(gè)辮子群是同構(gòu)的 定理3 3 3 g 1 2 型辮子群g ( s 。 ) 與- g ( s f _ ) 是司構(gòu)的 證明：同3 1 ，3 2 中內(nèi)容類似，首先建立由，生成的自由群f 與g 岱l p 。) 之間的典 范滿同態(tài)映射丌l ，這里丌l ( ) = s ，f = l ，2 ，3 ，再去構(gòu)造同態(tài)映射妒l ：，一g ( s 7 _ ) ，這 里妒l ( ) = 螄，f = l ，2 ，3 其巾h 3 全砧1 比2 “8 “i 1 m i l ，若我們已經(jīng)證明婦所l 婦憎l ，則存在 唯一的同態(tài)映射廬l ：g ( s i ，p 1 ) hg ( s ? ，_ ) 使得妒i = 1 7 r l 且知，妒l ( j ；) = 妒l 丌l ( ) = l ( s f ) = “f ，f = 1 ，2 妒l ( ) = 妒l 丌i ( ) = 廬l ( j 3 ) = 3 = “i “2 “8 h i l “i 1 然后建立由“；，“；，“；生成的自由群，7 與g ( s ；，墨) 之間的典范滿同態(tài)映射7 r 2 ，這 里萬(wàn)l ( 比：) = l l i ，f _ l ，2 ，8 再去構(gòu)造同態(tài)映射忱：f 7 一g ( s 。，n ) 這里妒2 ( “：) = & ，f = l ，2 ，8 其 中s 8 全s 3 s l 丐1 ，若我們已經(jīng)證明婦所2g 婦吶，則由群同態(tài)基本定理知存在唯一的同態(tài) 映射妒2 ：g ( s ；片) g ( s 。p 1 ) 使得忱= 妒2 丌2 且知，妒2 ( 比；) = 妒1 7 r l ( h ：) = l ( 研) = ，f = l ，2 ， 妒2 ( 掰；) = l 丌i ( “；) = l ( s 8 ) = 鼯= j 3 j l s ；1 第= 章辮子群的同構(gòu) l l 下面證明婦所l 婦叩l 及七p ，丌2 缸訛：首先由映射丌l 的定義可知：映射丌l 的 核婦所是元素5 ；s “s 一- 1 - 1 j ：，s j j ；5 弼s ，s ：一1 s ：_ 1 - 1 生成的f 的正規(guī)子群由 映射恐的定義可知：映射丌2 的核七p 力r 2 是元素麒；雎；“； ；比；比：1 秘；- 1 “，- l “，- 1 和元素 “；“j “：“：“：- 1 “：- 1 “：7 “m ：- 1 “i 1 生成的f 的正規(guī)子群即證： ( 1 ) 妒l ( s ；s ；) = 妒l ( s ；s ；j ：) ( 2 ) 妒i ( s ：) = 妒l ( j ；j ；) ( 3 ) 妒2 ( “；“；“；h ；h ；) = 妒l ( 比：“；“j “：“；)( 4 ) 妒2 ( “；“；h ：m ；z l ；一1 ) = 妒2 ( “：“；“；“；一1 m ；) 過(guò)程如下：由g ( s ? ，一) 中關(guān)系式可知： 妒l ( j ：s ；j ；s ；) = “l(fā) “2 “l(fā) “2 “8 h i l “了1 “1 = “l(fā) “2 h l “2 h 8 “i ?！? 比l “2 “8 妒l ( s ；) = “2 “；“2 “8 “i 1 “i 1 h l 地= “2 h l “2 “8 = 妒l ( 墨) 妒i ( 巧s j s ；) = 雒l “2 裾8 掰三1 比i - 1 王f i 掰2 據(jù)i “2 “8 秘i 1 醒了1 = 囂i 掰2 掰8 甜l 攔2 醒s 啄1 “i 1 = 拓i “2 工f 8 甜；一1 “l(fā) “2 甜8 囂i 1 = 比l “2 h l “s 2 比8 比；1 = 比2 “l(fā) 雎2 “8 = 比i “2 h 3 “l(fā) = 妒l ( 呸巧) 所以( 1 ) ，( 2 ) 式是成立的再由g ( s ，| p 。) 巾關(guān)系式可知： 5 晚( “：h ：“：“；比；) = s 2 s l j 2 j 3 s l j i l 圪2s 2 s 3 s l s 2 s 3 s i l j 22 現(xiàn)s 3 s l s 2 s 22j l j 2 s 3 j l s 2 仇( h j “；h ；“；h ；) = s i 靶j i j 2 s 3 s l s ；1 = s l s 2 5 3 s 1 5 2 s 3 j ；1 = j l j 2 s 3 j i 靶= 妒2 ( h ；m ；“；“；“；) 妒2 ( h ；“j “：塒；“：一1 ) = j 3 j l s ；1 s l j 了1 s 3 j l = j 3 5 i s l 妒2 ( 聽(tīng)m ：“；“一“i ) = j l s i l s 3 s l s l = s 3 s l s l = 妒2 ( “：h ：h ：“；“：- 1 ) 則( 3 ) ，( 4 ) 式是成立的 下面說(shuō)明l 與妒2 互為逆映射，只須在生成元上證明：歡i ( 毋) = 毋，f = l ，2 ，3 即可 2 l ( s 1 ) = 2 ( “1 ) = s l ，妒2 驢l ( j 2 ) = 2 ( 比2 ) =