a b s tr a c t ab s t r a c t t h e rea l w o r l d i s n o n l i n e a r . i f h u m a n b e i n g s w a n t t o i n v e s t i g a t e t h e n a t u r e mo re c l e a r l y , i t i s n e c e s s a ry t o s t u d y t h e c o m p l e x n o n l i n e a r s y s t e m . c h a o s , w h i c h i s a d e t e r m i n i s ti c s y s t e m w i t h r a n d o m b e h a v i o r s , e x i s t s i n t h e w o r l d a n d i s o n e o f t h e i m p o r t a n t r e s e a r c h fi e l d s o f n o n l i n e a r s y s t e m s . w i t h t h e c o n t i n u a l e n d e a v o r f o r t h e p a s t f o r ty y e a r s , c h a o s t h e o ry h a s o b t a i n e d l o t s o f s u b s t a n t i a l r e s u l t s a n d a l r e a d y b e e n a p p l i e d i n s o m e fi e l d s s u c h a s c o m m u n i c a t i o n a n d i n f o r m a t i o n p r o c e s s . a t p r e s e n t , it i s n o t d i ff i c u l t t o c o n s t r u c t a g e n e r a l c h a o t i c s y s t e m w i t h t h e a i d o f c o m p u t e r . t h e re a r e n o m a t u r e t h e o r e t i c m e t h o d s t o g e n e r a t e s p e c i a l c h a o t i c s y s t e m s , f o r e x a m p l e o n e s y s t e m w i t h a c o m p l e x a t t r a c t o r b u t h a v 噸 a v e ry s i m p l e a l g e b r a i c f o r m. i t i s a l s o d i ff i c u l t t o c o n s t r u c t n e w h y p e r c h a o s . t h e m e t h o d i s t o c a l c u l a t e t h e l y a p u n o v e x p o n e n t s 妙n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a n d d e c i d e w h e t h e r i t i s h y p e r c h a o t i c o r n o t . t h e p a p e r i n t r o d u c e s t h e d e v e l o p m e n t o f c h a o s a t fi r s t , a n d t h e n s u m m a r i z e s t h e b a s i c k n o w l e d g e o f d y n a m i c a l s y s t e m s a n d d e s c r i b e s s o m e me t h o d s f o r n u me r i c a l a n a l y s i s o f c h a o s i n d e t a i l s . b a s e d o n t h e c u r r e n t re s e a r c h e s , g e n e r a t i n g s p e c i a l c h a o ti c a n d h y p e r c h a o t i c s y s t e ms a r e s t u d i e d i n t h i s p a p e r . a t la s t , w e a p p l y t h e c h a o ti c s y s t e m i n t h e m i s s i l e s m a n e u v e r i n g , a n d t h e n v e r i 斤t h e v a l i d i t y o f t h i s m e t h o d b y s i m u l a t in g . t h e m a i n w o r k s a r e a s f o ll o w s : 1 . a n e w s m o o t h t h re e - d i m e n s i o n a l q u a d r a t i c a u t o n o m o u s s y s t e m i s r e p o r te d . t h e n e w s y s t e m is a b l e t o g e n e r a t e a s i n g l e t h r e e w i n g s o r f o u r w i n g s a t t r a c t o r . f u r t h e r m o re, t h e re a r e t w o d i ff e r e n t a t t r a c t o r s e x i s t i n g i n t h e s y s t e m w i t h d i ff e re n t i n i ti a l v a l u e s . a n d t h e t w o a t t r a c t o r s c a n b o t h b e c h a o ti c , o n e c h a o t i c t h e o t h e r p e r i o d i c , a n d b o t h b e p e r i o d i c . 2 . t w o n e w h y p e r c h a o t i c s y s t e m s a r e p r o p o s e d . o n e s y s t e m h a s o n l y o n e e q u i li b r i u m a n d t h e o t h e r h a s t h r e e o n e s . t h e t w o s y s t e m s a r e b o t h f o u r - d i m e n s i o n a l q u a d r a t i c mo d i f i e d fr o m t h e l o r e n z s y s t e m . t h e y a r e b o t h h y p e r c h a o t i c w h e n p a r a m e t e r v a r i e s i n a l a r g e r a n g e , a n d t h e y h a v e t w o b i g p o s i ti v e l y a p u n o v e x p o n e n t s . t h e n o v e l h y p e r c h a o ti c s y s t e m c a n b e a p p l i e d i n e n g i n e e r in g w i t h g o o d p r o s p e c t i n t h e o ry . 3 . a p p l y t h e c h a o t i c t i m e s e r i e s i n t o t h e m i s s i l e s m a n e u v e r i n g . t h e e x p e c t e d t r a j e c t o ry o f m i s s i l e i s u n p r e d i c t a b l e . c o n s i d e r i n g t h e p r o p e rt i e s o f c h a o s , w e m i x e d t h e c h a o t i c t i m e s e r i e s i n t o t h e r e f e r e n c e s i g n a l s d i r e c t l y . u s i n g t h e p i d c o n t r o l l e r , w e m a k e s u r e t h e m i s s i l e c a n h i t t h e t a r g e t , a n d t h e n a n a l y z e t h e d a t a o b t a i n e d fr o m t h e c o n t r o l l e d m i s s i l e s y s t e m . t h e t r a j e c t o ry c a n b e c o n s i d e r e d a s c h a o t i c 勿 c a l c u l a t i n g t h e l a r g e s t l y a p u n o v e x p o n e n t . k e y w o r d s : c h a o s , h y p e r c h a o s , 切a p u n o v e x p o n e n t , b i f u r c a t i o n d i a g r a m , a t t r a c t o r , a u t o n o m o u s s y s t e m, t h e a p p l i c a t i o n o f c h a o s , m i s s i l e ma n e u v e r in g 南開大學學位論文版權使用授權書 本人完全了 解南開大學關于收集、保存、使用學位論文的規(guī)定， 同意如下各項內容:按照學校要求提交學位論文的印刷本和電子版 本;學校有權保存學位論文的印刷本和電 子版，并采用影印、縮印、 掃描、 數(shù)字化或其它手段保存論文; 學校有權提供目 錄檢索以及提供 本學位論文全文或者部分的閱 覽服務; 學校有權按有關規(guī)定向國家有 關部門 或者機構送交論文的復印件和電子版; 在不以 贏利為目的的前 提下，學?？梢?適當復制論文的部分或全部內容用于學術活動。 學 位 論 文 作 者 簽 名 : tt 叫 年 r 月 詩 日 經指導教師同意，本學位論文屬于保密，在年解密后適用 本授權書。 指導教師簽名:學位論文作者簽名: 解密時間: 年月日 各密級的最長保密年限及書寫格式規(guī)定如下: 諭 落 幕 嚷藻 奔漪受 拜 碑羹 南開大學學位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明: 所呈交的學 位論文， 是本人在導師指導下， 進行 研究工作所取得的成果。 除文中已 經注明引用的內容外， 本學位論文 的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、 己 公開發(fā)表或者沒 有公開發(fā)表的 作品的內容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集 體， 均己 在文中以明確方式標明。 本學位論文原創(chuàng)性聲明 的法律責任 由本人承擔。 學 位 論 文 作 者 簽 名 : 楊勿 a 月 年 全月 l t 日 d e v a n e y 定義: 1 . 拓撲傳遞性: 對 所 有 在x 之中 非空 的 開區(qū) 間u 和x ， 存 在一 個 正 整 數(shù)k 使 得產 田) 與v 的 交集不是空集合。 2 . 周期點在x中是稠密的: 如果在x之中的x 點， 存在一個自 然數(shù)經過f 函數(shù)作用n 次之后等于x自己， 則我們稱x 為周期點。對于x 的最小的n 正整數(shù)，我們稱n為x的最小周期。 如果 對于 任意兩 個在x之中 的 數(shù)a 與b , a # b , a b ，必 存在周期點p 而 且 a p b ， 則我們稱f 的所有周期點 在x之中是稠密的。 3 . 初值的敏感依賴性: 如果存在一個正實數(shù)s 使得每一個在x之中的點x 與x 的領域n， 存在一個 在n的點y 以 及一個非負的正整數(shù)n 使得x 與y 點經過f 函數(shù)n 次的轉換后, f ( x ) a n d f ( y ) 的距離大于s 。 混沌的數(shù)學含義( l i - y o r k ) 如果區(qū)間 0 , 1 上的 迭代x n = f ( x , 1 ) 具有下面性質， 就說它有混沌現(xiàn)象: 迭代x n = f ( x n - 1 ) 的周期點的 周期無上限。 區(qū)間 0 , 1 有個不可數(shù)子集s 使得: ( 1 ) 對于5 中的任意不同兩點x 0 , y 0 ， 考慮迭代x = f ( x n - 1 ) 和y - f ( y n - 1 ) ， 當n l么 趨于無窮 大時， x n 和y n 間 距 離的 上極限 大于0 ， 下極限 等于。 。 ( 2 ) 設x o 是迭 代的 任一周期點， y o 是s 中 的 任 意一點， 考慮 迭代x n = f ( x n - 1 ) 和y n = f ( y n 1 ) ，當n趨于 無窮大時， x . 和y n 間 距離的 上極限 大于。 混沌研究簡史 1 9 0 3年法國數(shù)學家龐加萊( h .p o i n c a r e , 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 研究三體問 題時，發(fā)現(xiàn)了隨機 解。 保守系統(tǒng)k a m定理顯示了保守系統(tǒng)中可能出現(xiàn)混沌現(xiàn)象 1 9 6 3 年l o r e n z 的 著名論文 確定 性的非周期流 1 9 6 4 年，法國天文學家伊儂給出了h e n o n 映射 1 9 7 1 年法國數(shù)學物理學家d . r u e l l e 與荷蘭學者f . 述湍流形成機理的新觀點 第一次提出用混沌來描 1 9 7 5 年李天巖與美國數(shù)學家y o r k e 發(fā)表 周期三蘊涵混沌 1 9 7 6 年著名生態(tài)學家m a y 發(fā)表 復雜動力學過程的簡單數(shù)學模型 1 9 7 8 -1 9 7 9 年費根鮑姆常數(shù) 1 9 8 4 年我國著名科學家郝柏林編撰 混沌一書 第一章緒論 第一章 緒論 第一節(jié) 引 言 “ 巴西亞馬孫河叢林里一只蝴蝶扇動了 幾下翅膀， 幾個月 后在美國 的得克 薩斯州引起了一場龍卷風” ，這就是著名的 “ 蝴蝶效應” 。它是由被稱為 “ 混沌 之父”的洛侖 茲 ( l o r e n z )在 1 9 7 9 年的 一次 演講中 提到的。 它生動有趣地闡 述 了系統(tǒng)的演化 對初始條件十分敏感， 繼而誕生了 一門新興的 學科 混沌學。 經典的牛頓力學認為，如果已知物體所受的力和它的 初始狀態(tài)， 則它在狀 態(tài)前后的運動是 完全確定的，這類運動 可重 現(xiàn)。 拉普拉斯( l a p l a c e ) 的 決定 論 認為:只要知道了構成宇宙的每個質點在某一瞬間的位置和速度，又知道了動 力學方程，我們就可以精確地知道宇宙過去和將來的一切情況?？墒乾F(xiàn)實世界 中，初始狀態(tài)不可能絕對精確， 這取決于尺子的精度。 對于某些系統(tǒng)， 初始條 件哪怕只有微小的差別，最終狀態(tài)也會截然不同。于是長期的預測變得不可能。 混沌理論否定了包括宏觀世界拉普拉斯式的決定型因 果律。 近幾十年來， 各個 領域的 學者 投入到混 沌理論的研究中， 掀起了混 沌研究的 熱潮。 混沌最主要的特性就是初值敏感性。在很多控制問題中，我們希望能抑制 混沌，使得系 統(tǒng)穩(wěn)定。而在另外一些問 題中， 卻可以 很好地利用混沌。比 如混 沌用于加密中，如果把混沌系統(tǒng)的初值作為密鑰，那么密鑰相差一丁點也無法 解密。于是，人們尋找結構簡單的混沌系統(tǒng)，物理上能很好的實現(xiàn)，另外要求 系統(tǒng)有很好的動力學行為。如何將一個非混沌系統(tǒng)控制到混沌狀態(tài)或者加強一 個混沌系統(tǒng)，也就是混沌反控制的問題。目前，有意的構造混沌系統(tǒng)是比較容 易的。 不過， 構造簡單的有特殊性質的混沌系統(tǒng)或超混沌系統(tǒng)還沒有形成一套 系統(tǒng)的比較成熟的理論方法，還需要通過數(shù)值仿真手段來研究。 第二節(jié) 混沌、超混沌概述 1 . 2 . 1混沌理論的發(fā)展 混沌 ( c h a o s ) 一詞可以 追溯到公元前8 0 0 年， 來自 于希臘語， 意思是混亂， 完全無序。1 8 8 7 年， 瑞典國 王奧斯卡二世為慶祝他的6 0 歲生日 ， 舉辦了 一次數(shù) 第一章緒論 學問題比 賽， 懸賞2 5 0 0 克郎。比 賽的 題目 是找到n體問 題的 所有解， 證明 太陽 系的穩(wěn) 定性。 這個 獎最終于 1 8 8 9 年 頒給了 數(shù)學家龐 加萊 ( h e n r i p o i n c a r e ) ，因 為他長 達2 7 0 頁的論 文 “ 關 于三體問 題的 動態(tài)方程” 。簡單的說，即 使是在簡單 的三體問題中， 方程的 解的 狀況也 非常復 雜，以 至于對于給定的初始條件，幾 乎是沒有辦法 預測當時間趨于無窮時的 最終狀態(tài)。 這種 對于軌道的 長時間 行為 的不確定性，就是混沌理論的起源，不過當時并沒有明確提出。龐加萊在著作 中寫道: “ 如果我 們可以 正確地了 解自 然定律以 及宇宙在初始時刻的 狀態(tài)， 那么 我們就能夠正 確地預言這個宇宙在 后繼時 刻的狀 態(tài)。不過， 即使自 然定律對我 們己 無秘密可言， 我們也只能近似 地知 道初始狀 態(tài)。如果情況容許我們以同 樣 的 近似度預見 后繼的 狀態(tài)， 這就是 我們所要求的 一切，那我們便說該現(xiàn)象被預 言到了，它受 規(guī)律支配。但是，情 況并非總是如 此:可以發(fā)生這樣的 情況: 初 始條件的微小 差別 在最后的 現(xiàn)象中 產生了 極大的差別。預言變得不可能了， 我 們有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象” 1 9 2 7 年， 丹麥電 氣工程師v a n d e l p o t 在研究氖燈 張弛振蕩 器的 過程中， 發(fā) 現(xiàn)了一 種重要的現(xiàn)象 并將它解釋為 “ 不規(guī)則的 噪聲” ， 即所謂v a n d e l p o t 噪聲。 二戰(zhàn)期間， 英國科 學家重復了 這一實 驗并開始提出 質疑， 后來的研究發(fā)現(xiàn)v a n d e l p o t 觀察到的不 是 “ 噪聲” ，而是 一種混沌現(xiàn)象。 1 9 6 1 年，氣象學家洛侖茲 ( l o r e n z )為了 預報天 氣，他 用計算機求解描述 地球大 氣的1 2 個方程式 l 。 在一 次試驗中， 洛侖茲用計算機算出了 一長段數(shù)據， 并得出了 一個天氣變化的系列。為了 對運 算結果 進行核對并節(jié)省點時間， 他把 前一次 計算的 一半處得到的數(shù)據作 為新的 初始值輸入計算機。一個小時 后當 他 又回到計算機旁的時候，一個意想不到的事情使他 目瞪口呆了，新一輪計算數(shù) 據與上一輪的 數(shù)據相差如此之大， 僅僅表 示幾個月的兩組氣候數(shù)據逐漸分道揚 鐮， 最后竟變得毫無相近之處，簡 直就是 兩種類型的氣候了 。開始時 洛侖茲想 到可能是他的計算機出了故障，但很快他知道問題出在他輸入的數(shù)字中。他的 計算機的存儲 器里存有 6 位小數(shù)， 而在打印時 省些地方只打出了3 位。洛 侖茲 原本認為 舍棄這只有千分之一大小的 后幾位數(shù)無關緊要;但結果卻表明，小 小 的誤差卻帶來了巨大的 “ 災難” 。這種對初值極為敏感的現(xiàn)象后來被稱為混沌。 2 0 世紀7 0 年代開始， 科學界 掀起了 混沌研究的第一次熱潮， 混沌理論 研究 在多個領域廣 泛展開，并取得了很 大成就。 1 9 7 1 年法國 物理學家d . r u e l l 和荷 蘭數(shù)學家f . t a k e n s 發(fā)表了“ 論湍流的 本質” 一文2l，首先提出了 用混沌來描 述 第一章緒論 湍流形 成機理的 新觀點，引 入 “ 奇怪吸引 子” 這一概念。1 9 7 5年美籍華人李天 巖 ( t . yl i ) 和美國 數(shù)學家j . y o r k 在 數(shù)學月刊雜志上 發(fā)表了 論文 “ 周期3 意 味 著 混沌 3 ， 揭 示了 從 有 序到 混 沌的 演 變 過 程。 1 9 7 6 年 美 國 生 物學 家r . m a y 在 自 然雜志上發(fā) 表了“ 具有極復雜的動力學的簡單數(shù)學模型” 一文14 1 ，重 點 討論 了l o g is tic 方 程， 展 示了 一 些 簡 單的 數(shù) 學 模 型 也 能 產 生 倍 周 期 分 岔 和 混 沌 運動。1 9 7 7年在意大利召開的 第一次國 際混沌會議，標志 著混沌學 正式誕生。 1 9 7 8 年 美國 物 理 學 家 費 根 包 姆 ( m . j . f e i g e n b a u m ) 在 統(tǒng) 計 物 理 學 雜 志 上發(fā) 表關于 普適性的文 章 “ 一類非線性 變換的定量的普適性” 1 5 1 ，把混沌研究從定 性分析推進到定量計算階段，成為混沌研究的一個重要里 程碑。 2 0 世紀8 0 年代， 人們著重研究如何從有序進入新混 沌， 以 及混沌的性 質和 特點。 美籍法國數(shù)學家曼德布羅特 ( b . b . m a n d e l b r o t ) 用計算機繪制了 世界 上 第 一 張m a n d e lb r o t 集 的 混 沌圖 像 6 1 。 后 來， 德國 的p r ic h te r 教 授 和h . p e it g e n 教授共同 研究分形流域的邊界，作出了 精美絕倫的混沌圖 像。1 9 8 3年， 加 拿大 物理學家 g r a s s b e r g e r 在 物理學雜志上發(fā)表文章 “ 計 算奇 異吸引 子的 奇 異程 度” 71 ， 開 創(chuàng) 了 全 世 界計 算 時 間 序 列 維 數(shù) 的 熱 潮 。 1 9 8 4 年， 中 國 著 名 的 混 沌 科 學家郝柏林 混沌一書在新加坡出 版1 8 1 ，為混沌科學的發(fā) 展起到了一定的 推 動作用。 t a k e n s 等人根據拓撲嵌入定理提出重構動力學軌 道相空間的 延遲法a - g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c ia 首 次 運 用 相空 間 重 構 方 法 【10 , 1 1 ， 從 試 驗 數(shù) 據 時 間 序 列 計 算出混沌吸引子的 統(tǒng)計特征， 混沌理論研究 進入實際 應用階段。 進入9 0 年代， 混沌科學與其 它科學 相互滲透。 在生 物學、 生理學、 心理學、 物理學、化學、數(shù)學、電子學、信息科學、音樂和藝術等領域都有廣泛的應用。 美國 海軍 部官員m . s h l e s i n g e r 說 “ 2 0 世紀科學將永遠銘記的只有三件事， 那就 是相對論，量子力學和混沌” 。物理學家j . f o r d 認為混沌是 2 0 世紀物理學第三 次最大的革命，他說 “ 相對論消除了 關于 絕對空間和時間的幻象; 量子力 學則 消除了關于可控測量過程的 牛頓式的夢; 而混沌則消除了 拉普拉斯關于決 定論 式可預測性的幻想。 ” 客觀世界豐富多彩， 復雜多變，這正是非線性系統(tǒng)的杰作。 非線性科學幾 乎涉及 自 然科學和社會科學的各個領域，也越來越受到各個學科的關注。而混 沌作為非線性科學中重要的 分支，被各領域深入地研究。棍沌是一種在確定性 系統(tǒng)中 所出 現(xiàn)的 類似隨機而無規(guī)則的動力學行為，是非線性系統(tǒng)中存在的 一 種 普遍現(xiàn)象，它是非線性系統(tǒng)所特有的一種復雜狀態(tài)。 第一章緒論 1 . 2 . 2超混沌系統(tǒng) 超餛沌系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)中的一種特殊情況。混沌系統(tǒng)統(tǒng)計特征之一為 l y a p u n o v 指 數(shù) ， 其 大 小 說明 混 沌 系 統(tǒng) 對 初 值 的 敏 感 程 度。 一 般 的 混 沌 系 統(tǒng) 只 有 一 個 正 的l y a p u n o v 指 數(shù)， 而 有 兩 個以 上 正助a p u n o v 指 數(shù)的 混 沌 系 統(tǒng) 則 稱 為 超 混沌系統(tǒng)。 1 9 7 9 年， r o s s l e r 發(fā)現(xiàn)了 第一個超混沌系 統(tǒng) 12 1 。 隨后有人發(fā) 現(xiàn)了l o r e n - h a k e s 系 統(tǒng) 13 1 ， 超 混 沌c h u a 電 路 14 16 ， 超 混 沌 陳 系 統(tǒng) 171 以 及 超 混 沌呂 系 統(tǒng) 18 等 。 這些都是4 維的自 治系統(tǒng)。更高維的系統(tǒng)更 容易產生超混沌現(xiàn)象 0 9 1 ，不過由 于 系統(tǒng)太復雜了，這方面的研究還不是很多。 應 用簡單的混 沌系統(tǒng)實現(xiàn)的信息隱 藏并不總是安全的2 0 1 ， 這個缺點可以 用 高維的超混 沌系統(tǒng)來解決，因為超混沌系統(tǒng)具有更強的隨 機性和更高的不可 預 測 性 12 11 。 對 于 超 混 沌 系統(tǒng) ， 由 于不 只 一 個 正 的助 a p u n o v 指 數(shù) ， 動 力 學 系 統(tǒng) 在 不 只一個方向擴展，進而產生更復雜的吸引子。超混沌系統(tǒng)具有更復雜更無序的 特 性 ， 可 以 應 用 在 非 線 性電 路 2 2 1 ， 保 密 通 信 2 31 ， 激 光24 1 ， c o lp itt s 振 蕩 器 25 1 ， 控制2 6 1 與同 步 2 7 , 2 8 1 等 眾多 領域中。 要生 成超混 沌， 必須 滿足兩個條 件: ( 1 ) 嵌 入超混 沌吸引 子的 相空間 至少是4 維的， 也就是說 禍合的 一階自 治微分方程必須是4個以 上。 ( 2 ) 產生不穩(wěn)定的 禍 合方 程數(shù)目 必須多 于兩個， 其中 一個必須有非線性函數(shù) 1 2 1 .當 然這些條件只 不 過是必要的， 要想產生超混 沌還需要其它的特殊條件。 李玉霞等 人通過反饋 控 制方法在生成 超混沌系統(tǒng)方面取得了 一些成果2 9 1 。如 何構 造具有特殊統(tǒng)計性 質 的 超 混 沌 系 統(tǒng) ， 比 如 正l y a p u n o v 指 數(shù) 很 大 ， 仍 是今 后 有意 義 且 極 富 挑 戰(zhàn) 性 的 工 作。 第三節(jié) 本文的主 要工作和研究內 容 大自 然是復雜的，人類征服自然的步伐從未停止過。在人類探索的征途中， 面臨越來越多的非線性問 題， 這些是線性系統(tǒng)理論無法解決的。 我們 必然要努 力探索非 線性的 世界。自 混沌理論提出的4 0 多 年時間 里， 吸引了 各行各業(yè)的 科 學家、 工程師們 投入大量精力孜孜不 倦的 研究，無論在基礎科學還是實際 應用 上都取得了令人矚目 的成果， 但仍未形成 普遍適用的結論和方法，需 要各界 學 者的繼續(xù)努力。 第一章緒論 本文在大量已 有混沌系 統(tǒng)的 基礎上，提出了一些新的混沌、超混沌系統(tǒng)。 這些新的 系統(tǒng)具有更好的非 線性動力學特性。本文共分為六章，其結構安排如 下: 第一章為 緒論， 介紹了 混沌、 超混沌系 統(tǒng)的 發(fā)展狀況。 第二章為混沌動力學基礎，介 紹了混沌的一 些基礎知識。 重點介紹了 混沌 系統(tǒng)一些常用的分析方法， 如何 通過計算機數(shù)值計算來輔助分析系統(tǒng)的動力學 特性。 第三章提出了一個新的 三維混 沌系統(tǒng)。這個新的系統(tǒng)是連續(xù)光滑的， 最高 的非線性項是 二次的， 系統(tǒng)能產生一個單一的 三翼或四 翼吸引 子。 第四章提出了兩個新的超混沌系統(tǒng)，這兩個系統(tǒng)都是四維的。相對于己知 的 超 混 沌 系 統(tǒng)， 它 們 擁 有 兩 個 較 大 的 正 的l y a p u n o v 指 數(shù)。 選 擇 不同 參 數(shù)， 系 統(tǒng) 可以是周期、準周期、混沌、超混沌的。 第五章中是混沌的 一個應用研究。由于混沌具有不可預測的隨機特性，我 們將混沌序列加入到導彈彈 道偏角 設定信號中，希望導彈的 軌跡具有較好的機 動能力，通過理論分析說明了這一方法的可行性. 第六章是對本文的總結 和后續(xù) 工作的展望。簡單總結了 本文的創(chuàng)新點以 及 需要進一步研究的方向。 第二章 混沌動力學 第二章 混沌動力學 第一節(jié) 混沌的基本概念 2 . 1 . 1 l o g i s t i c 模型 在介紹混 沌定義 之前， 先來 看看l o g i s t i c 映 射， 這是離散系統(tǒng)中 著名的 混沌 模型。 在自 然生態(tài)上，人類或昆 蟲 種群的個體 數(shù)量為 “ 人口” 或 “ 蟲口” ， 其多 少取決 于食物來源，競爭者， 捕殺者等諸多因素。人們己 建立了各種模型來計 算和預測人口 或蟲口 數(shù)。 經修正 過的l o g i s t i c 映 射( 蟲口 模型) 如差分方程式 ( 2 . 1 ) 所示: x k , 1 = f u x k ( 1 一 x k ) ( 2 . 1 ) 其 中 ，0 k ” ( e ) 存 在 “ 的 不 可 數(shù) 子 集 s o , 對 任 意 x , y e s o , 有 濁i- f if (x ) 一 f (y ) 一 ” 對于閉區(qū)間i 上的 連續(xù)自 映 射ax ) ， 如果存在一個周期為 3的周期點， 就 一定 存在任何 正整數(shù)的周期 點， 即 一定存在混沌現(xiàn)象。 上述定義只說明 子集s 的 點相當 分散又 相當 集中; 并 且子集s 不會趨近于任意周期點。 這個定義只 是預言 非周期軌道的存在性，沒有描述它們的測度和穩(wěn)定性。 ( 2 ) d e v a n e y 意義的 混沌 在介紹d e v a n e y 混 沌定 義前， 先給出拓撲傳遞和敏感依賴性的定 義。 定義 2 . 1 : f: l - +i 稱為 具有拓撲傳遞性，如果對任意兩個開集u , v e i , 存 在k 0 ， 使 得尹( u ) 門 v # 護 。 定義 2 . 2 : f : i - + i 稱為是 有對初值敏感依賴性，如果存在s 0 ， 對任意 : 。 和 二 的 任 意 鄰 域 n ， 存 在 ， e n , n ? 0 ， 使 得 i f ( x ) - f ( y )卜 。 第二章餛沌動力學 1 9 8 9 年d e v a n e y 給出 了 一 個 更 直觀 更 便 于 理 解 的 混 沌定 義 3 11 . 設 x 是 一 度 量空間， 一個連續(xù)映射f: x- + x稱為x上的混沌， 如果 滿足 下列條件: ( a ) f 具有對 初值的敏感依賴性 (b ) .f 是拓撲傳遞的 ( c ) f 的周期點在x中稠密 混 沌 系 統(tǒng) 的 初 值敏 感 性 ， 意 味 著 初 值 為x 和y 的 兩點 ， 無 論 其 距 離 多 近 ， 在 . f 的作 用下兩者的軌道可能 分開很 大的距離，這是混沌的本質特征，由 于計算 誤差存在，也隱含表明了混沌系統(tǒng)的不可長期預測性。拓撲傳遞性意味著任一 點的鄰 域在.f 作用下將遍歷整個度 量空間。這兩條正是隨機系統(tǒng)的 特征， 但第 三條周期點的 稠密性，表明了 混沌系統(tǒng)的確定性和規(guī)律性。 這個定義 說明 貌似 隨機實 則有序是 混沌系統(tǒng)的特性。 j . b a n k s等 五人在1 9 9 2 年發(fā)表的 論文中 證明 : 在上述 定義中， 拓撲傳 遞性和周期點的稠密 性便蘊含了 對初值的 敏感性3 2 1 。 2 . 1 . 4奇異吸引子 在2 . 1 .2 小 節(jié)中， 狀態(tài)空間的相圖能直 觀表 示動力系統(tǒng)的 行為。 一般的 動力 系統(tǒng)， 最終都會趨向于某種穩(wěn)定態(tài)， 這種 穩(wěn)定態(tài) 在相空間里是由點 或點的 集合 來表示的。 這種點或點的集合對周圍的軌 道似乎有種吸引的 作用， 從附 近出 發(fā) 的 任何 點都要趨近于它。系統(tǒng)的 運動也只 有到 達這個點或點集上才能 穩(wěn)定下來 并保持下去， 這種點 或點 集就是 “ 吸引子” 。 它表示著系統(tǒng)的 穩(wěn)定 態(tài)， 是動 力系 統(tǒng)的 最終歸 縮，即 系統(tǒng)行為最終 被吸引到的 子空間。 經典力學指出，有三種類型的 吸引 子。 一種是穩(wěn)定的不動點，它 代表一個 穩(wěn)定狀態(tài)， 也就是系統(tǒng)的 平衡點 ( 或 稱為 不動點) ，如圖2 . 3 a 中的定常 吸引子: 第二種是穩(wěn)定 的“ 極限環(huán)” ， 即相空間中的 封閉 軌線， 在它外邊的 軌線都向 里卷， 在它里邊的軌線都向 外伸，都以 這個封閉曲 線為 其極限 狀態(tài)， 極限 環(huán)代表一種 穩(wěn)定的周期運動，如圖 2 . 3 b中的周期吸引子;第三類吸引子是穩(wěn)定的環(huán)面，代 表系統(tǒng)的準周期運動，見圖 2 . 3 c中的環(huán)面吸引子。經常把這三種吸引子稱為平 庸吸引子，其 特點是:初始狀態(tài)相近的軌道， 始終比 較接近，誤差始終局限在 一定范圍內，因此系統(tǒng)的長期行為是可以預測的。 對一個動力系統(tǒng)來說，在長時間后系統(tǒng)的性態(tài)只可能是吸引子本身，其它 的性態(tài)都 是短暫的。所以 吸引子的一個重要特征是 “ 穩(wěn)定性” ，它表示 著運動的 第二章 混沌動力學 最終 趨向 或 “ 演化目 標” ， 運動一旦進 入吸引 子， 就不會再離開它; 當一 個小的 擾動使系統(tǒng)暫時偏離吸引 子后， 它也必然會再返回來的。吸引子的另 一個重要 特征是 “ 低維性” ， 它作為相空間的點 集合， 其維數(shù)必定小于相空間 的維 數(shù)。 上述 幾類吸引子， 都代表規(guī)則的 有序運動， 所以 只能用于描 述經典 動力系 統(tǒng)， 而不能描 述混沌運動。 有耗散的 混沌系統(tǒng)的 長期行為也要穩(wěn)定于 相空間的 一 個低維的點 集合上， 這些點 集合 也是一 種吸引 子。但是混沌絕不可能 最終 到 達規(guī)則的有序 運動;因而 在它的吸引 子內 部，運動也是極不穩(wěn)定的。 在這種吸 引 子上，系統(tǒng)的行為呈現(xiàn)典型的隨 機性，是易變和不確定的。更為奇 特的是， 混沌系 統(tǒng)的吸引子 ( 點集合) 具有極其復雜的幾何圖像。奇怪吸引子( s t r a n g e a t t r a c t o r ) 既具 有穩(wěn)定性和低維 性的 特點， 同時 還具有一個突出的 新特點， 即非周 期 性 它永 遠不會自 相重復， 永遠不 會自 交或相交。 因此，奇怪吸引 子的軌 線將會 在有限 區(qū)域內 具有無限長的長 度， 如圖2 . 3 d 所示。 奇怪吸引 子也叫做奇 異吸引子或混沌吸引子。 a一定 常 吸 弓 仔b周期吸引子 奇異 吸引 子 圖2 . 3幾種不同 類型的吸引 子 圖 2 . 2中所給出的 “ 洛侖茲吸引子” ，是在三維空間里的一類雙螺旋線:系 統(tǒng)的軌 道在其中的一葉上由 外向內 繞到中 心附 近， 然后突然跳到另一葉的外 緣 由 外向內 繞行; 然后又突然跳回 原來的 那一葉上。 但每一葉都不是 一個單層的 曲 面， 而是有多層結構。 從中取出 任意小的 一個部分，從更精細的 尺度上看， 又是多層的曲面。所以這種螺旋線真是高深莫測、復雜異常。它永遠被限制在 有限的空間內，卻又永不交結，永無止境。 第二章 混沌動力學 第二節(jié) 混沌系統(tǒng)的常 用分析方法 2 . 2 . 1吸引子圖像 離散的混沌系統(tǒng)一般是 用差分方 程表示的，而連續(xù)的是 用一階微分方程組 表示的。 最直觀的 觀察動力系統(tǒng)的運動軌跡就是繪制其吸引 子圖像，也就是系 統(tǒng)的相圖。 對于自 治系統(tǒng)， n 維系統(tǒng) 有n 個狀態(tài)變量， 求解差 分方 程或微分方程 后， 理論 上以 各狀態(tài)變量為 某坐標，就可以繪 制 n維的相圖。不過， 幾何圖 形 只能在三維以 下的空間展現(xiàn)出來，所以大于三維的系統(tǒng)只能選擇部分狀態(tài)變量 來繪制， 也就是在低維空間的投影。吸引子是系統(tǒng)長期演變后的穩(wěn)定行為， 而 混沌對初值非常敏感，于是求解系統(tǒng)選擇不同 初值， 必然影響到系統(tǒng)以 后的運 動。 不過， 繪制吸引 子只是為了觀察各變量間 的關系， 只要舍棄足夠時間的過 渡數(shù)據，吸引 子的形 狀一 般都是一樣的。 2 . 2 . 1 . 1離散系統(tǒng) 離散系統(tǒng)是以簡單的迭代映射表示的，用計算機求解非常方便，其解為無 數(shù)的 點集 合。以二維 離散h e n o n 映 射舉例1 3 3 1 。 h e n o n映射方程為: (x ,. = 1 - a x . + b y l n + i = x . ( 2.3) - :i .5 圖2 . 4 h e n o n 映射吸引子 第二章 混沌動力 學 在流的作用下，經 過時間r 圖2 . 1 0 l y a p u n o v 指數(shù)定 義示意圖 2 . 2 . 3 . 1一維離散系統(tǒng) 首 先來 計算 最 簡單的 一 維 離散 映 射的 l y a p u n o v指 數(shù)。 假設 一 維映 射為 x + , = f ( x ) ， 兩 個 相 鄰 的 初 始 點 為 x o 和x 0 + a x o 。 在 一 步 迭 代 之 后 ， 新 的 點 y ff 離 為: 4 , = f (x o + a x o ) 一 f ( x o ) - a x o f ( x o ) ( 2 .8 ) 其中f = d f l d x o n 次迭代 后， 這兩點之間的 距離則變?yōu)? a x. = if( )(、 十 、 一 f )(x )i= df (n xo) -a xo = enle .axo (2.9 ) 取極限n 斗。，則有 l e = 1im in 叢 -帆 一 lim 1 in df (n)(xo)dx ( 2. 1 0) 通過鏈式 求導 法則， ( 2 . 1 0 ) 可以 改寫成: 五e=h m in ,-o in if (x ) i ( 2 . 1 1 ) “稱 為l y a p u n o v 指 數(shù)， 代 表 相 鄰 點 之間 的 距 離 在多 次 迭 代 中 平 均 每次 迭 代所引起的指數(shù)分離大小。 對于一 維映射:當l e 0 時， 相鄰點 最終按指數(shù)方式分離，這意味著運動軌道的 局部不穩(wěn)定， 如果軌道有整體的 穩(wěn)定因素， 則在此作用下反復折疊，形成混沌吸引 子。 在分 岔點時，l e二 0 ，系統(tǒng)的解在穩(wěn)定的邊緣。 第二章 混沌動力學 那 么 ， 對 于l o g i st i。 映 射( 2 . 1 ) ， 將/ ( x ) = ,u ( 1 一 2 x ) 代 入( 2 .1 1 ) 可 得l o g i st ic 的l y a p u n o v 指數(shù)的 計算公式: ; = 嗽黔、 一 2x;)i ( 2. 1 2) 常 用a 來 表 示助 a p u n o v 指 數(shù) 。 選 擇x 0 為( 0 , 1 ) 之 間 的 任 何 值 ， 對 計 算結 果 影 響 不 大 。 這里 選 擇x 0 = 0 .3 , l y a p u n o v 指 數(shù) 隨 著n 增 大的 演 進 圖 如 圖2 . 1 1 所示 : 三 郎舫 月門口， 位n幾 討 0.1a0 500 1000 isao moo hm- 圖2 . 1 1 l o g is t i c 映 射k = 4 時l y a p u n o v 指 數(shù) 演 進 圖 圖2 . 1 2 l o g is t i c 映射的l y a p u n o v 指數(shù)譜圖 上面是對一個固定 系統(tǒng)的l y a p u n o v 指數(shù)的 計算， 更常 用的 是當系統(tǒng)中某個 參數(shù)變化時， 對應的切a p u n o v 指 數(shù)的 變化情況， 也就是指 數(shù)譜圖. 同分岔圖的 第二章 混沌動力學 橫 坐 標 一 樣， l y a p u n o v 指 數(shù) 譜圖 也 是 控 制 參 數(shù)， 只 不 過 縱 坐 標 是 系 統(tǒng)的l y a p u n o v 指數(shù)。在繪圖中， 對于每一個變化參數(shù)的取值， 計算足夠長時間，認為最后所 得 的 則 是 此 確 定 系 統(tǒng) 的l y a p u n o v 指 數(shù)。 再 次以l o g is ti c 為 例， 參 數(shù)at 在 2 .8 ,4 1 區(qū) 間 取 值， 計 算 繪 出 的l y a p u n o v 指 數(shù) 譜圖 (2 .1 1 ) 。 對比 圖 ( 2 .1 ) 的 分 岔圖 ， 可以 發(fā) 現(xiàn)是一 致的，它 們都 很好的 表現(xiàn)了 系統(tǒng)隨參數(shù)變化的不同 特性.由于 場a p u n o v 指數(shù)的大小還從量上表示了混沌系統(tǒng)的初值敏感性，因此應用很廣。 2 . 2 . 3 . 2多維系統(tǒng) 上面是對于一維離散系 統(tǒng)的求法。但是高 維系統(tǒng)的計算就稍微有點不同。 從己 知 的 非 線 性 方 程 計 算l y a p u n o v 指 數(shù) ， 基 本 原 理 為: 選 擇 適 當 的 初 值 ， 數(shù) 值 積分求 解方程， 將得 到一條基準軌線;同 時， 對系統(tǒng)的 線性化方程，選 擇 n組 正交的 初始值積分求 解; 刀 個向 量在切流形作用下， 幅值改 變， 但是n 個向量都 會傾向 于最大切a p u n o v 指數(shù)方向，