第三章理想流體介質(zhì)中小振幅波的基本規(guī)律,振動(dòng)與聲基礎(chǔ),3.1基本聲學(xué)量和理想流體中的基本方程,主要內(nèi)容,3.1.1基本聲學(xué)量3.1.2理想流體中三個(gè)基本方程,聲音的產(chǎn)生,聲音的產(chǎn)生,蘇東坡在赤壁賦中說:“耳得之而為聲”,什么是聲音？,聲音的產(chǎn)生,聲音是由聲源的機(jī)械振動(dòng)產(chǎn)生的，聲源的振動(dòng)狀態(tài)，通過周圍介質(zhì)向四周傳播形成聲波。從物理學(xué)來說，聲波就是介質(zhì)中的機(jī)械波。,聲音的產(chǎn)生,聲波（soundwave）是一種機(jī)械波；產(chǎn)生聲波的兩個(gè)必要條件：聲源（soundsource）機(jī)械振動(dòng)的物體介質(zhì)（medium）機(jī)械振動(dòng)賴以傳播的介質(zhì),聲音的產(chǎn)生,聲音的產(chǎn)生,聲波傳播時(shí)，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)只在平衡位置附近振動(dòng)，并沒有隨聲波傳播。,聲音的產(chǎn)生,聲音可以在一切彈性介質(zhì)中傳播?？v波：聲波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向一致。橫波：聲波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向垂直。,聲音的產(chǎn)生,縱波傳播過程,聲音的產(chǎn)生,縱波傳播過程,聲音的產(chǎn)生,橫波傳播過程,聲音的產(chǎn)生,空氣中和水中的聲波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向是一致的，屬于縱波。固體中由于有切應(yīng)力，除有縱波外，還同時(shí)存在橫波。僅討論聲波的宏觀性質(zhì)，不涉及介質(zhì)的微觀特性,聲音的產(chǎn)生,聲音的產(chǎn)生,聲波在介質(zhì)中傳播的速度，稱為聲波的傳播速度。,聲音的產(chǎn)生,重點(diǎn)總結(jié)！,1、聲音的實(shí)質(zhì)聲音是介質(zhì)中的機(jī)械波2、聲波產(chǎn)生的兩個(gè)基本條件（1）聲源（2）傳聲介質(zhì),3.1.1基本聲學(xué)量,主要內(nèi)容,1、聲壓壓強(qiáng)的變化量2、質(zhì)點(diǎn)振速介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度的變化量3、壓縮量介質(zhì)密度相對(duì)變化量,連續(xù)介質(zhì)中，任意一點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用壓強(qiáng)、密度和介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度表示。壓強(qiáng)：介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度密度,1、聲壓的基本概念,聲波作用引起各點(diǎn)介質(zhì)壓縮和伸張，各點(diǎn)的壓強(qiáng)比靜壓可大可小，聲壓有正有負(fù)。,1、聲壓的基本概念,聲學(xué)中，也可用聲壓級(jí)（SPL）表示聲壓的大小。SPL=20log10（p/pref）（dB）（分貝）,在聲波的作用下，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)位置及振動(dòng)位移和瞬時(shí)速度隨時(shí)間變化，可用質(zhì)點(diǎn)位移或速度描述聲場(chǎng)。,2、質(zhì)點(diǎn)振速的基本概念,設(shè)沒有聲波擾動(dòng)時(shí)，介質(zhì)的靜態(tài)流速為在聲波的作用下流速變?yōu)榱魉俚母淖兞考礊榻橘|(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度,振動(dòng)速度的單位是在空氣中，1帕的聲壓對(duì)應(yīng)的振速約為相應(yīng)于頻率1000Hz聲音的質(zhì)點(diǎn)位移約為聲場(chǎng)中介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)位移振幅是很小的水中1帕的聲音，相應(yīng)的振速約為相應(yīng)于1000Hz聲音的位移僅為米水中質(zhì)點(diǎn)位移比空氣中質(zhì)點(diǎn)位移更小,2、質(zhì)點(diǎn)振速的基本概念,米,設(shè)沒有擾動(dòng)時(shí)，介質(zhì)的靜態(tài)密度為在聲波的作用下變?yōu)?3、密度逾量,為介質(zhì)中聲場(chǎng)的密度逾量。,MKS制中，基本單位：kg/m3,為介質(zhì)壓縮量,也稱介質(zhì)密度的相對(duì)變化量s（無量綱）,定義：,定義：,注意：,聲場(chǎng)中的質(zhì)點(diǎn)振速和聲波的傳播速度是兩個(gè)概念。,重點(diǎn)總結(jié)！,1、聲壓壓強(qiáng)的變化量2、質(zhì)點(diǎn)振速介質(zhì)流速的變化量3、密度逾量介質(zhì)密度的變化量,聲學(xué)量描述聲波作用的量。,波動(dòng)方程的推導(dǎo),聲波的波動(dòng)方程：描述聲場(chǎng)空間、時(shí)間變化規(guī)律和相互聯(lián)系的方程。,基本思路,波動(dòng)方程,連續(xù)性方程狀態(tài)方程運(yùn)動(dòng)方程,質(zhì)量守恒定律熱力學(xué)關(guān)系（能量守恒定律）牛頓第二定律（動(dòng)量守恒定律),三個(gè)基本方程,三個(gè)基本物理定律,（1）理想，介質(zhì)中機(jī)械運(yùn)動(dòng)無機(jī)械能損耗;（2）流體，介質(zhì)中任一面元受力方向總是垂直于面元；（3）連續(xù)性，介質(zhì)中質(zhì)團(tuán)連續(xù)分布無間隙；（4）介質(zhì)質(zhì)團(tuán)同時(shí)具有質(zhì)量和彈性性質(zhì)。正是因?yàn)榻橘|(zhì)質(zhì)團(tuán)同時(shí)具有彈性和質(zhì)量，才能形成波-振動(dòng)的傳播。,理想流體介質(zhì),假設(shè)條件,聲波為小振幅聲波線性波動(dòng)方程,1、連續(xù)性方程2、狀態(tài)方程3、運(yùn)動(dòng)方程,3.2.1理想流體中三個(gè)基本方程,主要內(nèi)容,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,依據(jù)質(zhì)量守恒，建立關(guān)系。,質(zhì)量守恒定律，在連續(xù)介質(zhì)中，如果流進(jìn)與流出某一空間體積的流體質(zhì)量不等，則必將引起該體積中介質(zhì)密度的變化。,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,M點(diǎn)的密度為：,設(shè)某一瞬時(shí)t，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)流過M點(diǎn)的速度向量,單位時(shí)間內(nèi)通過M點(diǎn)單位面積的介質(zhì)質(zhì)量為,2019/12/13,34,可編輯,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,（1）在dt時(shí)間段，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)X方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的變化：,dt時(shí)間段從ABCD面流入dxdydz框中的質(zhì)量：,dt時(shí)間段從EFGH面流入dxdydz框中的質(zhì)量：,所以，在dt時(shí)間段，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)沿OX方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量增加為：,同理,時(shí)間內(nèi)沿方向流量在中的凈余量分別為,理想流體中三個(gè)基本方程,（2）在dt時(shí)間段，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)Y方向和Z方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的變化：,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,所以，在dt時(shí)間段，介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的增加為：,1、連續(xù)性方程,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,（3）推導(dǎo)連續(xù)性方程,因?yàn)椋琩xdydz框沒有變，所以質(zhì)量的變化改變了dxdydz框內(nèi)介質(zhì)的密度：,流體的流動(dòng)使得元體積內(nèi)的質(zhì)量增加密度變化使得元體積內(nèi)質(zhì)量的增加,等于,1、連續(xù)性方程,依據(jù)質(zhì)量守恒定律：,理想流體中三個(gè)基本方程,得：,-連續(xù)性方程,所以：,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,哈密頓算符：梯度：標(biāo)量函數(shù)的梯度散度：矢量場(chǎng)的散度,理想流體中三個(gè)基本方程,數(shù)學(xué)知識(shí),連續(xù)性方程表示為稱為流通密度:單位時(shí)間內(nèi)流過與速度方向垂直的單位面積的質(zhì)量。,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,連續(xù)性方程：表示流通密度在某一點(diǎn)散度的負(fù)值等于該點(diǎn)介質(zhì)密度的時(shí)間變化率。,（4）均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程,據(jù)，聲學(xué)量定義，有：,小振幅波的含義是指：小振幅波的聲學(xué)量和聲學(xué)量的各階時(shí)間或空間導(dǎo)數(shù)為一階小量。,均勻的含義是指：靜止的含義是指：由連續(xù)性方程：,得：,1、連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,略去二階小量：,理想流體中三個(gè)基本方程,1、連續(xù)性方程,1、連續(xù)性方程,連續(xù)性方程,理想流體中三個(gè)基本方程,！得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程為：,記住！,聲波作用下介質(zhì)產(chǎn)生壓縮伸張變化，介質(zhì)的密度和壓強(qiáng)都發(fā)生變化。假設(shè)聲波作用的熱力學(xué)過程是等熵絕熱過程，意味著聲波能量在質(zhì)團(tuán)形變過程中沒有損失。,2、狀態(tài)方程,理想流體中三個(gè)基本方程,依據(jù)熱力學(xué)定律，建立關(guān)系。,據(jù)熱力學(xué)定律，質(zhì)量一定的理想流體中，獨(dú)立的熱力學(xué)參數(shù)只有三個(gè)。例如，取熱力學(xué)參數(shù)：壓強(qiáng)、密度及熵值，則有關(guān)系：,如果，在聲波作用下，經(jīng)“等熵過程”，從則在點(diǎn)作冪級(jí)數(shù)展開，有：,2、狀態(tài)方程,理想流體中三個(gè)基本方程,如果是小振幅波，則聲學(xué)量和聲學(xué)量的各階時(shí)間或空間導(dǎo)數(shù)為一階小量。略去高階小量，有：,2、狀態(tài)方程,理想流體中三個(gè)基本方程,定義,為介質(zhì)的等熵波速。它是介質(zhì)的固有性質(zhì)。（后續(xù)課可知它與介質(zhì)中波傳播的速度有關(guān)）,是速度量綱;M.K.S制中,單位:m/s(米/秒),！得到的均勻、靜止理想流體中小振幅波的狀態(tài)方程為：,狀態(tài)方程,2、狀態(tài)方程,記?。?理想流體中三個(gè)基本方程,理想流體中三個(gè)基本方程,3、運(yùn)動(dòng)方程,依據(jù)牛頓第二定律,建立關(guān)系。,介質(zhì)中取質(zhì)量微團(tuán)ABCDEFGH六面體,邊長(zhǎng)分別為：分析其受力：,dx，dy，dz,周圍流體對(duì)該六面體的壓力：首先分析x方向受力：,（1）運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo),作用在ABCD面上和EFGH面上的總壓力分別為,理想流體中三個(gè)基本方程,3、運(yùn)動(dòng)方程,沿方向的合力為,同理得方向的合力為,理想流體中三個(gè)基本方程,3、運(yùn)動(dòng)方程,利用哈密頓算子，表示質(zhì)量微團(tuán)受到的合力：,根據(jù)牛頓定律，得運(yùn)動(dòng)方程,靜壓強(qiáng)常數(shù),理想流體中三個(gè)基本方程,3、運(yùn)動(dòng)方程,所以：,（2）均勻、靜止理想流體小振幅波的運(yùn)動(dòng)方程,是質(zhì)點(diǎn)的加速度。,3、運(yùn)動(dòng)方程,理想流體中三個(gè)基本方程,如果為小振幅波，則聲學(xué)量和聲學(xué)量的各階時(shí)間或空間導(dǎo)數(shù)為一階小量。,忽略高階小量,根據(jù)，多元函數(shù)微分公式，有：,運(yùn)動(dòng)方程,3、運(yùn)動(dòng)方程,理想流體中三個(gè)基本方程,記住！,又稱尤拉方程：表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的加速度與密度的乘積等于沿加速度方向的壓力梯度的負(fù)值。,！得到均勻、靜止理想流體中小振幅波的運(yùn)動(dòng)方程為：,忽略高階小量：,3.2理想流體中小振幅波波動(dòng)方程和速度勢(shì)函數(shù),3.2.1流體中小振幅波波動(dòng)方程3.2.2速度勢(shì)函數(shù),3.2.1流體中小振幅波波動(dòng)方程,運(yùn)動(dòng)方程,狀態(tài)方程,連續(xù)性方程,（1）,（2）,（3）,均勻、靜止理想流體中,小振幅波基本聲學(xué)量的方程：,聲學(xué)量之間的三個(gè)關(guān)系式,對(duì)上三式消元，可以得到一個(gè)基本聲學(xué)量的方程。,對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)函數(shù)，有：則：,(4)代入(5),得:,(4)(5)(6),(7),3.2.1流體中小振幅波波動(dòng)方程,小振幅聲波的波動(dòng)方程,理想、均勻、靜止流體中的小振幅波的聲壓波動(dòng)方程。,小振幅聲波的波動(dòng)方程,直角坐標(biāo)系中：,拉普拉斯算子，對(duì)不同坐標(biāo)系具有不同形式。,3.2.1流體中小振幅波波動(dòng)方程,定義：速度勢(shì)函數(shù)，如果運(yùn)動(dòng)是無旋的，則質(zhì)點(diǎn)振速可用標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示,稱為速度勢(shì)函數(shù),3.2.2速度勢(shì)函數(shù),小振幅聲波的波動(dòng)方程,在不同坐標(biāo)系中，其分速度有不同的表示式直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系,小振幅聲波的波動(dòng)方程,3.2.2速度勢(shì)函數(shù),式子和式子,小振幅聲波的波動(dòng)方程,速度勢(shì)波動(dòng)方程,分別對(duì)時(shí)間微分，比較后得到,狀態(tài)方程可寫為連續(xù)性方程寫為兩式聯(lián)立，可得,小