在 “ 圓 ” 的世界里領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，一切立體圖形最美是球，一切平面圖形最美是圓 . 而圓的學(xué)習(xí)，不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，更要重視思想的學(xué)習(xí) . 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，也是將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐技能的橋梁 . 本文就帶領(lǐng)同學(xué)們到 “ 圓 ” 的世界里挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)略它美麗的風(fēng)采 . 一、 轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本最重要的思想之一，它的實(shí)質(zhì)是揭示問題的聯(lián)系 . 通常要 同學(xué)們把未知轉(zhuǎn)化成已知，將題目中不確定的關(guān)系轉(zhuǎn)化成確定的關(guān)系，將一般情況轉(zhuǎn)化成特殊情況來處理 . 1. 圓中弧長(zhǎng)和弦長(zhǎng)的相互轉(zhuǎn)化 例 1 如圖 1， BC是 O 的直徑， BD與 EC是弦，BD=EC，說明 AB=AC. 【分析】同學(xué)們的思路很清晰，會(huì)利用等角對(duì)等邊，把說明邊相等的問題轉(zhuǎn)化成說明角相等的問題 . 如圖 2，一部分同學(xué)通過說明三角形全等，實(shí)現(xiàn) B=C. 這種方法很好，利用了圓的半徑處處相等的隱含條件構(gòu)造全等三角形實(shí)現(xiàn)角度轉(zhuǎn)化 . 還有一部分同學(xué)會(huì)利用同圓中弧和這條弧所對(duì)的弦的關(guān)系，把 弦相等的問題轉(zhuǎn)化成弧相等 . 即通過 BD=EC 說明= ，進(jìn)一步說明 = ，從而實(shí)現(xiàn) B=C. 比較兩種方法，利用圓中弧和弦的相互轉(zhuǎn)化是解決圓中線段問題的有效手段 . 練習(xí)：如圖 3， CD 是 ABC 外角 MCA 的平分線， CD 與ABC 的外接圓交于點(diǎn) D. （ 1） 若 BCA=60 ，說明 ABD 是等邊三角形；（ 2） 設(shè)點(diǎn) F 為 上一點(diǎn)，且 = ， DF的延長(zhǎng)線交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，說明 ACAF=DFFE. 【分析】第二小題中要利用 = ，說明CDB=FDA ，進(jìn)一步得 C DA=FDB ，從而得 FAE=CDA ，為相似創(chuàng)造條件，得到 ACAF=DCFE. 其次利用同弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)圓周角轉(zhuǎn)化后得到 DBA=DAB ，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 = ，得到 = ，從而得到 DC=DF. 2. 圓中同弧所對(duì)圓周角、圓心角的轉(zhuǎn)化 例 2 如圖 4， AD是 ABC 外接圓的直徑， AD=6 cm，DAC=ABC ，求 AC的長(zhǎng) . 【分析】連接 DC，如圖 5，利用同弧 ，就可以得到ABC 與 ADC 相等，在 RtACD 中實(shí)現(xiàn)求 AC的目標(biāo) . 所以同學(xué)們?cè)趫A中要善于觀察同弧所 對(duì)的圓周角 . 必要時(shí)構(gòu)造同弧所對(duì)的圓周角轉(zhuǎn)化已知角度 . 練習(xí)：如圖 6，在 O 中， AB是直徑， CD 是弦，ABCD. （ 1） P 是 上一點(diǎn)（不與 C、 D 重合），說明：CPD=COB ； （ 2） 點(diǎn) P 在劣弧 CD上（不與 C、 D 重合）時(shí)，CPD 與 COB 有什么數(shù)量關(guān)系？ 【分析】（ 1） 如圖 6，連接 OD，由垂徑定理可知，= ，得到 COB=COD ，由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，可知 CPD=COD ，故 CPD=COB. （ 2） 由于 CPD+ CPD=180 ， CPD=COB ，故CPD+COB=180. 二、 分類討論思想 分類討論在圓中也經(jīng)常運(yùn)用到，分類時(shí)必須遵循三條原則：（ 1） 分類標(biāo)準(zhǔn)必須統(tǒng)一；（ 2） 任何兩種情況不能重復(fù)；（ 3） 每一種情況都不能遺漏 . 例 3 A、 B、 C、 D 都在 O 上， ABCD ， AB=24，CD=10， O 半徑為 13，求以 A、 B、 D、 C 為頂點(diǎn)的梯形的面積 . 【分析】由于圓是軸對(duì)稱圖形，僅僅已知弦長(zhǎng)，在圓中的位置是不確定的，所以要分兩種情況進(jìn)行討論 . 如圖 7，分 CD在 優(yōu)弧 和劣弧 上 . 利用垂徑定理，我們可以分別求得梯形 ABDC 的高 . 練習(xí)：（ 2012 江蘇南京）如圖 8， A、 B 為 O 上的兩個(gè)定點(diǎn)， P 是 O 上的動(dòng)點(diǎn)（ P 不與 A、 B 重合），我們稱APB 為 O 上關(guān)于 A、 B 的滑動(dòng)角 . （ 1） 已知 APB 是 O 上關(guān)于點(diǎn) A、 B 的滑動(dòng)角 . 若 AB 為 O 的直徑，則 APB=_ ； 若 O 半徑為 1， AB= ，求 APB 的度數(shù) . （ 2） 已知 O2為 O1 外一點(diǎn)，以 O2為圓心作一個(gè)圓與 O1 相交于 A、 B 兩點(diǎn)， APB 為 O1 上關(guān) 于點(diǎn) A、 B 的滑動(dòng)角，直線 PA、 PB分別交 O2 于點(diǎn) M、 N（點(diǎn) M 與點(diǎn) A、點(diǎn) N與點(diǎn) B 均不重合），連接 AN，試探索 APB 與 MAN 、 ANB之間的數(shù)量關(guān)系 . 【分析】（ 1） AB 為圓 O 的直徑， APB=90. 故答案為： 90. 如圖 9，連接 OA、 OB、 AB， 圓 O 半徑為 1，AB= ， OA2+OB2=AB2 ， AOB=90 ， 若點(diǎn) P 在優(yōu)弧 AB上，則 AP1B=AOB=45 ； 若點(diǎn) P 在劣弧 AB上，則 AP2B=180 -AP1B =135. APB 的度數(shù)為 45 或 135. （ 2） 同學(xué)們要探究 APB 與 MAN 、 ANB 的關(guān)系，就要考慮點(diǎn) P、 M、 N 在圓中的位置，三個(gè)不定點(diǎn)要去研究，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)難點(diǎn) . 如圖 10，要綜合考慮點(diǎn) P 在優(yōu)弧 或劣弧 上，點(diǎn) M、 N 在優(yōu)弧 或劣弧 上，從而對(duì)APB 、 MAN 、 ANB 進(jìn)行分類討論 . 所以，我們進(jìn)行如下討論： 第一種情況：點(diǎn) P 在 O2 外，且點(diǎn) A 在點(diǎn) P 與點(diǎn) M 之間，點(diǎn) B 在點(diǎn) P 與點(diǎn) N 之間 . 如圖 ， MAN=APB+ANB ， APB=M AN-ANB. 第二種情況：點(diǎn) P 在 O2 外，且點(diǎn) M 在點(diǎn) P 與點(diǎn) A 之間，點(diǎn) B 在點(diǎn) P 與點(diǎn) N 之間 . 如圖 ， APB+ANB+MAN=180 ，APB=180 -MAN -ANB. 第三種情況：點(diǎn) P 在 O2 外，且點(diǎn) A 在點(diǎn) P 與點(diǎn) M 之間，點(diǎn) N 在點(diǎn) P 與點(diǎn) B 之間 . 如圖 ， MAN=APB+ANP=APB+ （ 180 -ANB ）， APB=MAN+ANB -180. 第四種情況：點(diǎn) P 在 O2 內(nèi)，如圖 ，APB=MAN+ANB. 三、 類比思想 類比思想在探究題中經(jīng)常用到 . 它能夠解決一些看似復(fù)雜困難的問題 . 從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡(jiǎn)單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn) . 例 4 如圖 11， O1 與 O2 相交于 A、 B， P 為 O1 優(yōu)弧 上一點(diǎn)， PA、 PB、 PO1 分別交 O2 于 C、 D、 E 三點(diǎn) . （ 1） 寫出 CD與 PE 位置關(guān)系 . （ 2） 點(diǎn) P 為劣弧 上一點(diǎn)時(shí)，（ 1）中結(jié)論是否成立？畫出圖形 . 【分析】（ 1） 如圖 12，易得 PBA=ACD ，由同弧所對(duì) 圓周角相等得 PBA=PMA ，從而得到 PMA=ACD ，由于PMA+APM=90 ，故 PCD+APM=90 ，也就是CNE=90 ，即 CDPE. 這類題型由于點(diǎn)的位置不同，圖形肯定會(huì)發(fā)生變化，但類比問題（ 1），有很多本質(zhì)沒有變：如圖 13，直線 PA交O2 于點(diǎn) D，直線 PB 交 O2 于點(diǎn) C，直線 PO1 交 O2 于點(diǎn) E. 所以，上一題的結(jié)論依然成立 . 一般情況下這種題的說明思路也是一樣的 . （ 2） 如圖 14，由同弧所對(duì)圓周角相等得BCD=BAP ， HPB=HAB ，所以又得 C PE=HAB ，由于 HP是直徑，所以 HAB+BAP=90 ，所以 PCD+CPE=90 ，故 CDPE. 深入挖掘