3.3.3 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 一、教學(xué)目標(biāo)：（一）知識(shí)與技能1.從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決；2.了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；會(huì)根據(jù)條件建立線性目標(biāo)函數(shù)3.了解線性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲?.培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力；滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。（二）過(guò)程與方法經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出不等式模型的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀1. 通過(guò)具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，體會(huì)不等式對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值；2. 體會(huì)線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題；3. 通過(guò)實(shí)例，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)二、教學(xué)重難點(diǎn) ：重點(diǎn)：線性規(guī)劃的圖解法。難點(diǎn)：從實(shí)際情景中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線形規(guī)劃問(wèn)題；尋求線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。三、教學(xué)過(guò)程：（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題1. 在生活、生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排的等問(wèn)題，本節(jié)課就學(xué)習(xí)此方面的應(yīng)用2.問(wèn)題：在約束條件下，如何求目標(biāo)函數(shù)的最大值？（二）自學(xué)導(dǎo)案（三）解決自學(xué)導(dǎo)案（四）例題分析例1 設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值解：由題意，變量所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且，直線往右平移時(shí)，隨之增大由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，變題：設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過(guò)程知，當(dāng)與所在直線重合時(shí)最大，此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)最小，例2投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)一百噸需要資金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地200 m，可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)一百米需要資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地100m，可獲利潤(rùn)200萬(wàn)元現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元，場(chǎng)地900 m，問(wèn)應(yīng)作怎樣的組合投資，可獲利最大？分析：資金（百萬(wàn)元）場(chǎng)地（百平方米）利潤(rùn)（百萬(wàn)元）A產(chǎn)品（百噸）223B產(chǎn)品（百米）312限制149A（，）y2x+y=9xO2x+3y=14解設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百米，利潤(rùn)為S百萬(wàn)元，則約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為，作出可行域（如圖所示），將目標(biāo)函數(shù)變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族當(dāng)最大時(shí)，S最大，但直線要與可行域相交當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí),因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品325t，生產(chǎn)B產(chǎn)品250m時(shí)，獲利最大，且最大利潤(rùn)為1475萬(wàn)元例3某運(yùn)輸公司向某地區(qū)運(yùn)送物資，每天至少運(yùn)送180t該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員每輛卡車每天往返次數(shù)為A型車4次，B型車3次每輛卡車每天往返的成本費(fèi)A型車為320元，B型車為504元試為該公司設(shè)計(jì)調(diào)配車輛方案，使公司花費(fèi)的成本最低，若只調(diào)配A型或B型卡車，所花的成本費(fèi)分別是多少？解設(shè)每天調(diào)出A型車輛，B型車輛，公司花費(fèi)成本元，將題中數(shù)據(jù)整理成如下表格：A型車B型車物資限制載重（s）610共180車輛數(shù)84出車次數(shù)43每車每天運(yùn)輸成本（元）320504則約束條件為 即目標(biāo)函數(shù)為作出可行域：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)直線與軸的交點(diǎn)（7.5，0）時(shí)，有最小值，由于（7.5，0）不是整點(diǎn)，故不是最優(yōu)解由圖可知，經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最近的直線是，經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是（8，0），它是最優(yōu)解答公司每天調(diào)出A型車8輛時(shí)，花費(fèi)的成本最低，即只調(diào)配A型卡車，所花最低成本費(fèi)（元）；若只調(diào)配B型卡車，則無(wú)允許值，即無(wú)法調(diào)配車輛五、課堂小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1. 線性規(guī)劃問(wèn)題的求解步驟：（1）審：審題（將題目中數(shù)據(jù)列表），將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）設(shè)：設(shè)出變量，確定約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)；（3）畫(huà)：畫(huà)出線性約束條件所表示的可行域，作出目標(biāo)函數(shù)線；（4）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；（5）求：通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；（6）答：回答實(shí)際問(wèn)題2. 對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)