第 1 頁 * 共 8 頁 黃岡中學(xué) 高考數(shù)學(xué)典型例題詳解 充要條件的判定 充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件 p和結(jié)論 q 之間的關(guān)系 .本節(jié)主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個命題的充要關(guān)系 . 難點(diǎn)磁場 ( )已知關(guān)于 x的實系數(shù)二次方程 x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根 、 ，證明： | |0),若 p 是 q的必要而不充分條件，求實數(shù) m的取值范圍 . 命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性 . 知識依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了 . 錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難 . 技巧與方法：利用等價命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再 去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決 . 第 2 頁 * 共 8 頁 解：由題意知： 命題：若 p是 q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為： p 是 q的充分不必要條件 . p:|131x| 2 231x 1 2 131x 3 2 x 10 q:x2 2x+1 m2 0 x (1 m) x (1+m) 0 * p是 q的充分不必要條件， 不等式 |131x| 2的解集是 x2 2x+1 m2 0(m0)解集的子集 . 又 m0 不等式 *的解集為 1 m x 1+m 9110121mmmm ， m 9， 實數(shù) m的取值范圍是 9， + ) . 例 2 已知數(shù)列 an的前 n 項 Sn=pn+q(p 0,p 1),求數(shù)列 an是等比數(shù)列的充要條件 . 命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性 . 知識依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前 n項和與通項之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定 . 錯解分析：因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明 . 技巧與方法：由 an= )2()1(11 nSS nSnn關(guān)系式去尋找 an與 an+1的比值，但同時要注意充分性的證明 . 解： a1=S1=p+q. 當(dāng) n 2時， an=Sn Sn 1=pn 1(p 1) p 0,p 1,)1()1(1 ppppnn =p 第 3 頁 * 共 8 頁 若 an為等比數(shù)列，則nnaaaa 112 =p qppp )1(=p, p 0， p 1=p+q， q= 1 這是 an為等比數(shù)列的必要條件 . 下面證明 q= 1是 an為等比數(shù)列的充分條件 . 當(dāng) q= 1時， Sn=pn 1(p 0,p 1)， a1=S1=p 1 當(dāng) n 2時， an=Sn Sn 1=pn pn 1=pn 1(p 1) an=(p 1)pn 1 (p 0,p 1) 211 )1()1( nnnn pp ppaa=p為常數(shù) q= 1 時，數(shù)列 an為等比數(shù)列 .即數(shù)列 an是等比數(shù)列的充要條件為 q= 1. 錦囊妙計 本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有： (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若 p則 q”形式的命題為真時，就記作 p q，稱 p 是 q 的充分條件，同時稱 q 是 p 的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假 . (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“ ”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“，反之也真”等 . (3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì) . (4)從集合觀點(diǎn)看，若 A B，則 A 是 B 的充分條件， B 是 A 的必要條件；若A=B，則 A、 B互為充要條件 . (5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立 (即條件的充分性 )，又要證明它的逆命題成立 (即條件的必要性 ). 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 第 4 頁 * 共 8 頁 一、選擇題 1.( )函數(shù) f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是 ( ) A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0 2.( )“ a=1”是函數(shù) y=cos2ax sin2ax的最小正周期為“ ”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分條件也不是必要條件 二、填空題 3.( )a=3 是直線 ax+2y+3a=0 和直線 3x+(a 1)y=a 7 平行且不重合的 _. 4.( )命題 A：兩曲線 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0相交于點(diǎn) P(x0,y0),命題B：曲線 F(x,y)+ G(x,y)=0(為常數(shù) )過點(diǎn) P(x0,y0),則 A 是 B 的 _條件 . 三、解答題 5.( )設(shè) ， 是方程 x2 ax+b=0的兩個實根，試分析 a2且 b1是兩根 、 均大于 1的什么條件？ 6.( )已知數(shù)列 an、 bn滿足： bn=nnaaa n 321 2 21,求證：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列 bn也是等差數(shù)列 . 7.( )已知拋物線 C： y= x2+mx 1和點(diǎn) A(3， 0)， B(0， 3)，求拋物線 C與線段 AB有兩個不同交點(diǎn)的充要條件 . 8.( )p: 2m0,0n0. 即有 024024baba 4+b2a (4+b) 又 |b| 4 4+b0 2|a| 4+b (2)必要性： 由 2|a| 4+b f( 2)0且 f(x)的圖象是開口向上的拋物線 . 方程 f(x)=0 的兩根 ， 同在 ( 2， 2）內(nèi)或無實根 . ， 是方程 f(x)=0的實根， ， 同在 ( 2， 2）內(nèi)，即 | | 2且 | | 2. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 1.解析：若 a2+b2=0,即 a=b=0,此時 f( x)=( x)|x+0|+0= x |x|=(x|x+0|+b) = (x|x+a|+b)= f(x). a2+b2=0 是 f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若 f(x)=x|x+a|+b 是奇函數(shù)，即f( x)= ( x)|( x)+a|+b= f(x),則必有 a=b=0,即 a2+b2=0. a2+b2=0是 f(x)為奇函數(shù)的必要條件 . 答案： D 2.解析：若 a=1,則 y=cos2x sin2x=cos2x,此時 y的最小正周期為 .故 a=1是充分條件，反過來，由 y=cos2ax sin2ax=cos2ax.故函數(shù) y的最小正周期為 ,則 a= 1,故 a=1不是必要條件 . 答案： A 第 6 頁 * 共 8 頁 二、 3.解析：當(dāng) a=3時，直線 l1:3x+2y+9=0；直線 l2:3x+2y+4=0. l1與 l2的 A1A2=B1 B2=1 1，而 C1 C2=9 4 1,即 C1 C2, a=3 l1 l2. 答案：充要條件 4.解析：若 P(x0,y0)是 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 的交點(diǎn)，則 F(x0,y0)+G(x0,y0)=0，即 F(x,y)+ G(x,y)=0，過 P(x0,y0)；反之不成立 . 答案：充分不必要 三、 5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得 a= + ,b= .判定的條件是 p:12ba 結(jié)論是q:11 (注意 p中 a、 b滿足的前提是 =a2 4b 0) (1)由11 ，得 a= + 2,b= 1, q p (2)為證明 p q,可以舉出反例：取 =4, =21,它滿足 a= + =4+212,b= =421=21,但 q不成立 . 綜上討論可知 a2,b1是 1, 1的必要但不充分條件 . 6.證明：必要性： 設(shè) an成等差數(shù)列，公差為 d, an成等差數(shù)列 . dnann nndnannaaab nn 32)1(1 )1(3221)21(321 2 1121 從而 bn+1 bn=a1+n32d a1 (n 1) 32d=32d為常數(shù) . 故 bn是等差數(shù)列，公差為32d. 充分性 : 設(shè) bn是等差數(shù)列，公差為 d ,則 bn=(n 1)d bn(1+2+ +n)=a1+2a2+ +nan bn 1(1+2+ +n 1)=a1+2a2+ +(n 1)an 得： nan=2 )1(2 )1( nnbnn nbn 1 第 7 頁 * 共 8 頁 an= dnbdnbndnbnbnbnnn 23)1()2(2 1)1(2 12 12 1 1111,從而得 an+1 an=23d為常數(shù)，故 an是等差數(shù)列 . 綜上所述，數(shù)列 an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列 bn也是等差數(shù)列 . 7.解：必要性： 由已知得，線段 AB的方程為 y= x+3(0 x 3) 由于拋物線 C 和線段 AB有兩個不同的交點(diǎn)， 所以方程組)30(312xxymxxy*有兩個不同的實數(shù)解 . 消元得： x2 (m+1)x+4=0(0 x 3) 設(shè) f(x)=x2 (m+1)x+4,則有 3210310304)1(39)3(04)0(044)1( 2mmmffm充分性： 當(dāng) 3 x310時， x1=2)1(1216)1(1 22 mmmm 0 3216)1310(1310216)1(1 222 mmx 方程 x2 (m+1)x+4=0有兩個不等的實根 x1,x2,且 0 x1 x2 3,方程組 *有兩組不同的實數(shù)解 . 因此，拋物線 y= x2+mx 1 和線段 AB 有兩個不同交點(diǎn)的充要條件 3 m310. 8.解：若關(guān)于 x的方程 x2+mx+n=0有 2