7.1 為什么要證明【設(shè)計(jì)者】鄭州市第七十七中學(xué) 張曉敏【內(nèi) 容】北師大版八年級(jí)上第七章第一節(jié)為什么要證明【基于目標(biāo)】經(jīng)歷觀察、歸納、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，在活動(dòng)中體會(huì)到觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納所得到的結(jié)論未必可靠，初步感受證明的必要性，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)【基于課標(biāo)】理解證明的必要性和反例的作用【基于對(duì)教材的理解】1、北師大版第七章平行線的證明本章內(nèi)容是根據(jù)一些基本事實(shí)推出其他結(jié)論的過(guò)程，證明平行線的性質(zhì)及判定的一些有關(guān)結(jié)論，證明三角形內(nèi)角和定理，還將討論三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系也就是進(jìn)入幾何嚴(yán)謹(jǐn)證明的學(xué)習(xí)，前幾冊(cè)對(duì)有關(guān)幾何結(jié)論也曾進(jìn)行過(guò)簡(jiǎn)單的說(shuō)理，但是并沒有嚴(yán)格地給出證明.雖然本章只是證明的初步，但是它對(duì)認(rèn)識(shí)證明的必要性，了解作為證明基礎(chǔ)的公理、定義、定理等非常重要。 2、作為本章的第一節(jié)內(nèi)容為什么證明，學(xué)生自身的感受很重要。學(xué)生的直觀感受與實(shí)際結(jié)果之間產(chǎn)生思維上的碰撞，從而使學(xué)生對(duì)原有的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，從而確立對(duì)某一事物進(jìn)行合理論證的必要性。從內(nèi)容設(shè)置上來(lái)說(shuō)引入思考，由代數(shù)到幾何、從直觀的猜測(cè)到嚴(yán)格的計(jì)算證明，利用教學(xué)資源配合學(xué)生活動(dòng)重新整合，落實(shí)每一個(gè)教學(xué)目標(biāo)本節(jié)課也為今后學(xué)習(xí)平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理的驗(yàn)證奠定基礎(chǔ)，因此本節(jié)課在教材中具有承上啟下的作用?！净趯?duì)學(xué)情的分析】1、學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ) 在七年級(jí)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)了與幾何相關(guān)的知識(shí)，為今天的進(jìn)一步的學(xué)習(xí)作好了知識(shí)儲(chǔ)備，本課程的教學(xué)對(duì)象是八年級(jí)學(xué)生，學(xué)生具備一定數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，不難掌握基礎(chǔ)知識(shí)。學(xué)生也經(jīng)歷了很多驗(yàn)證結(jié)論合理性的過(guò)程，有了初步的邏輯推理思維，合情推理能力得到了很大的提高，為今天系統(tǒng)的培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Υ蛳铝肆己玫幕A(chǔ)。2、已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在代數(shù)方面有一定的計(jì)算基礎(chǔ)，如整式的運(yùn)算。 在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)參與了對(duì)幾何圖形的觀察、比較、動(dòng)手操作、猜測(cè)、歸納等活動(dòng)，對(duì)今天本節(jié)課的討論、自主探究等活動(dòng)有很大的幫助。3、學(xué)習(xí)本節(jié)可能出現(xiàn)的難點(diǎn) 在地球赤道一題中，赤道的長(zhǎng)度是未知的，對(duì)于題目的理解以及計(jì)算可能存在問題；初步了解證明方法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、經(jīng)歷觀察、直覺、歸納、實(shí)驗(yàn)等過(guò)程，在活動(dòng)中體會(huì)到觀察、直覺、歸納、實(shí)驗(yàn)所得到的結(jié)論未必可靠，初步感受證明的必要性，形成初步的理性思維。2、通過(guò)小組合作交流活動(dòng)中，體會(huì)理性思維、邏輯分析的重要性，發(fā)展邏輯推理能力。3、體會(huì)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：計(jì)算驗(yàn)證、舉反例、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，會(huì)用推理方法判斷結(jié)論的正確性，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】由直觀感受到邏輯思考的轉(zhuǎn)變，意識(shí)到證明的必要性【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】發(fā)展邏輯推理能力，初步了解證明方法【評(píng)價(jià)任務(wù)】任務(wù)一：能總結(jié)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、測(cè)量所得到的結(jié)論未必可靠任務(wù)二：能簡(jiǎn)單地運(yùn)用反例法、演繹推理進(jìn)行證明【評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)】1、學(xué)生通過(guò)大膽猜測(cè)，獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，積極交流，能總結(jié)出觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、測(cè)量所得到的結(jié)論未必可靠2、能用反例法、演繹推理論證自己的觀點(diǎn)【評(píng)價(jià)方式】以小組合作交流性評(píng)價(jià)和表現(xiàn)性評(píng)價(jià)以及檢測(cè)性評(píng)價(jià)為主。【學(xué)習(xí)過(guò)程】第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課活動(dòng)1：展示三個(gè)圖片，學(xué)生感知。第一個(gè)操作圖，學(xué)生跟著提示進(jìn)行簡(jiǎn)單的操作，讓學(xué)生產(chǎn)生好奇。第二個(gè)圖讓學(xué)生觀察，產(chǎn)生思維沖突。第三個(gè)圖，先讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形，猜一猜哪個(gè)長(zhǎng)，然后通過(guò)平移，發(fā)現(xiàn)猜想是錯(cuò)的。提問：通過(guò)這三組圖片，你有什么感受？設(shè)計(jì)意圖：利用課外有趣的信息去尋找適合本節(jié)課程內(nèi)容的圖片，在課堂展現(xiàn)時(shí)不局限于單一圖片展示，而是需要多媒體的支撐。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生的直觀感受與實(shí)際結(jié)果之間產(chǎn)生思維上的碰撞，從而使學(xué)生對(duì)原有的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，從而引出本節(jié)課的課題為什么要證明。第二環(huán)節(jié)：計(jì)算驗(yàn)證，感受新知如圖，假如用一根比地球的赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進(jìn)一個(gè)紅棗嗎？能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？ 活動(dòng)2：思考：這本身是一個(gè)實(shí)際問題，要想解決實(shí)際問題，我們要把它轉(zhuǎn)化為（數(shù)學(xué)問題），那也就是我們常說(shuō)的數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。怎么把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題呢？ 拿出準(zhǔn)備好的小球和鐵絲，請(qǐng)同學(xué)來(lái)演示一下鐵絲將地球赤道圍起來(lái)。通過(guò)變換角度，很直觀地觀察發(fā)現(xiàn)：地球赤道和鐵絲是同心圓的關(guān)系。嘗試自己獨(dú)立計(jì)算間隙。 小組合作學(xué)習(xí)：組內(nèi)分享解題方法，組內(nèi)答疑。 展示：首先，說(shuō)明小組的猜想 其次，簡(jiǎn)單講解解題過(guò)程 再次，計(jì)算得到的結(jié)論與猜想的結(jié)論一樣嗎？ 最后，你從中受到了什么啟發(fā)？參考答案：設(shè)赤道周長(zhǎng)為c，鐵絲與地球赤道之間的間隙為 ： 它們的間隙不僅能放進(jìn)一個(gè)紅棗，而且也能放進(jìn)一個(gè)拳頭 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考的能力，讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，首先讓學(xué)生對(duì)自己的結(jié)論確信無(wú)疑，再進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)理性的計(jì)算，驗(yàn)證了很難想像到的結(jié)論，讓學(xué)生產(chǎn)生思維上的碰撞，進(jìn)而對(duì)自己的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，再次為論證的合理性提供素材設(shè)計(jì)意圖：作為一個(gè)非常具有趣味性的題，在此呈現(xiàn)，給學(xué)生一個(gè)充分發(fā)揮想象力的過(guò)程，而本題對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難題，本題數(shù)據(jù)較少，讓學(xué)生望而卻步，教師引導(dǎo)學(xué)生用字母表示代數(shù)式，再進(jìn)行運(yùn)算。第三環(huán)節(jié)：自主探究，深入思考活動(dòng)3：從前，有一個(gè)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=0,1,2,3,4時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的結(jié)果都是質(zhì)數(shù)，于是這個(gè)就是一個(gè)求質(zhì)數(shù)的公式，由于費(fèi)馬在數(shù)學(xué)界的崇高威望，而且代數(shù)式的計(jì)算量又比較龐大，因此沒有人懷疑這一結(jié)論。將近過(guò)了100年，經(jīng)過(guò)歐拉的不懈努力，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威，他證明當(dāng)n=5時(shí)，代數(shù)式的值不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了之前的結(jié)論。這個(gè)小故事告訴我們什么大道理？ 通過(guò)介紹費(fèi)馬的錯(cuò)誤一例，讓學(xué)生了解舉出反例是檢驗(yàn)錯(cuò)誤數(shù)學(xué)結(jié)論的一種有效方法。展示例題當(dāng)n=0，1，2，3，4，5時(shí)，代數(shù)式n2 -n+11的值是質(zhì)數(shù)嗎？n01234567891011n2-n+1111111317233141536783101121是否為質(zhì)數(shù)是是是是是是是是是是是不是 學(xué)生通過(guò)列表歸納，根據(jù)自己以往的經(jīng)驗(yàn)判斷，在n=10以前都一直認(rèn)為n2-n+11是一個(gè)質(zhì)數(shù)，但當(dāng)n=11時(shí)，找到了一個(gè)反例，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)不能根據(jù)少數(shù)幾個(gè)現(xiàn)象輕易肯定某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性。設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)的分組共研很重要，獨(dú)自運(yùn)算的量會(huì)大，所以采用接龍的方式，每個(gè)人承擔(dān)一定的計(jì)算可以快速得到反例第四環(huán)節(jié)：在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，連接DE. DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你猜一猜，再設(shè)法檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪搿?拿出事先準(zhǔn)備好的三角形ABC，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接DE，觀察自己的三角形，猜一猜DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的直觀感受做出猜想得出結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生思考圖形千變?nèi)f化，而每次都需要?jiǎng)邮譁y(cè)量驗(yàn)證，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生誤差。要使學(xué)生清楚地知道對(duì)幾何結(jié)論的驗(yàn)證，通常是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥?lái)論述。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)幾何圖形的直觀感受得出結(jié)論，但要使學(xué)生清楚地知道對(duì)幾何結(jié)論的驗(yàn)證，通常是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥?lái)論述。第五環(huán)節(jié)：小結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)、布置作業(yè) 在本節(jié)課快接近尾聲的時(shí)候，同學(xué)們回憶下本節(jié)課的內(nèi)容，談?wù)勀愕氖斋@。 當(dāng)堂檢測(cè)設(shè)置了三道題，考察了學(xué)生的證明意識(shí)和推理能力。必做題：P163(1);P164(2)(3)選做題: 搜集哥德巴赫猜想的小故事，閱讀后在班級(jí)交流自己的看法。【板書設(shè)計(jì)】觀察測(cè)量經(jīng)驗(yàn)證明歸納 為什么要證明不一定可靠【教學(xué)反思】本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是建立在“以學(xué)生的發(fā)展為本，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)”的教育理念上，融入了新課標(biāo)的思想內(nèi)涵，尊重學(xué)生的直觀感受，并從學(xué)生的直觀感受出發(fā)逐步將學(xué)生的思維引向嚴(yán)密性、邏輯證明等方面，不是一味地強(qiáng)