2013高考總復(fù)習(xí)江蘇專用（理科）：第三篇 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第15講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練+綜合創(chuàng)新備選，含解析）a級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1函數(shù)f(x)x33x1在3,0上的最大值，最小值分別為_解析f(x)3x23，令f(x)0，解得x1或x1，f(3)17，f(1)3，f(1)1，f(0)1.比較可得f(x)maxf(1)3，f(x)minf(3)17. 答案3，172已知a0，函數(shù)f(x)x3ax在1，上單調(diào)遞增，則a的最大值是_解析因?yàn)閒(x)3x2a，所以由題意可得在1，)上有3x2a0恒成立，所以a(3x2)min，而(3x2)min3，所以a3.答案33函數(shù)f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析由f(x)x21，易知f(x)在(，1)上遞減，在(1,1)上遞增，在(1，)上遞減故函數(shù)在(a,10a2)上存在最大值的條件為答案2,1)4若函數(shù)f(x)(a0)在1，)上的最大值為，則a的值為_答案15設(shè)函數(shù)f(x)x32x5，若對(duì)任意x1,2，都有f(x)m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析f(x)3x2x20，解得x1或，f(1)，f，f(1)，f(2)7.m.答案m6已知函數(shù)f(x)xsin x，若x1，x2且x1x2，則f(x1)，f(x2)的大小關(guān)系是_解析f(x)1cos x0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(x1)f(x2)答案f(x1)f(x2)7若函數(shù)在f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析f(x)x3x(xr)，則f(x)x21(x1)(x1)，f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞減，在(1,1)單調(diào)遞增，由題意知，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值，1(a,10a2)即3a1.答案(3,1)二、解答題(每小題15分，共45分)8()已知函數(shù)f(x)x2eax，其中a0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在1,2上的最大值思路分析(1)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)因表達(dá)式中含有參數(shù)，原函數(shù)在區(qū)間1,2上的單調(diào)性不確定，因此要對(duì)參數(shù)討論解(1)f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)令f(x)0，由eax0，得ax22x0，解得0x，所以f(x)在(，0)和內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)(2)當(dāng)01，即a2時(shí)，f(x)在(1,2)內(nèi)是減函數(shù)，在1,2上f(x)maxf(1)ea；當(dāng)12，即1a2時(shí)，f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)所以在1,2上f(x)maxf4a2e2；當(dāng)2，即0a1時(shí)，f(x)在(1,2)是增函數(shù)，在1,2上f(x)maxf(2)4e2a.綜上所述，當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在1,2上的最大值為4e2a；當(dāng)1a2時(shí)，f(x)在1,2上的最大值為4a2e2；當(dāng)a2時(shí)，f(x)在1,2上的最大值為ea.【點(diǎn)評(píng)】 本題充分體現(xiàn)了分類討論思想近幾年新課標(biāo)高考?？疾楹瑓?shù)的導(dǎo)數(shù)問題，難度中等偏上，考生最容易失分的就是對(duì)參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致分類不全等9設(shè)函數(shù)f(x)x32ax23a2xb,0a1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值；(2)若x0,3a，試求函數(shù)f(x)的最值解(1)f(x)x24ax3a2.令f(x)0，解得xa或x3a，列表如下：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)遞減a3b遞增b遞減由表可知：當(dāng)x(，a)時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(3a，)時(shí)，函數(shù)f(x)也為減函數(shù)；當(dāng)x(a,3a)時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)當(dāng)xa時(shí)，f(x)的極小值為a3b；當(dāng)x3a時(shí)，f(x)為增函數(shù)(2)x0,3a，列表如下：x0(0，a)a(a,3a)3af(x)00f(x)b遞減a3b遞增b由表知：當(dāng)x(0，a)時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(a,3a)時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)當(dāng)xa時(shí)，f(x)的最小值為a3b；當(dāng)x0或x3a時(shí)，f(x)的最大值為b.10(2011萊蕪市測(cè)試)已知函數(shù)f(x)(xr)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)已知函數(shù)yg(x)對(duì)任意x滿足g(x)f(4x)，證明當(dāng)x2時(shí)，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，證明x1x24.(1)解由f(x)得f(x).令f(x)0，解得x2，則x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)增極大值減所以f(x)在(，2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2，)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x2時(shí)取得極大值f(2).(2)證明因?yàn)間(x)f(4x)，所以g(x).令f(x)f(x)g(x)，即f(x)則f(x).當(dāng)x2時(shí)，2x0,2x13，從而e3e2x10，則函數(shù)f(x)0，f(x)在(2，)是增函數(shù)所以f(x)f(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，f(x)g(x)成立(3)證明因?yàn)閒(x)在(，2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2，)內(nèi)是減函數(shù)x1x2，且f(x1)f(x2)，所以x1，x2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不妨設(shè)x12x2，由(2)可知f(x2)g(x2)，又g(x2)f(4x2)，所以f(x2)f(4x2)，因?yàn)閒(x1)f(x2)，所以f(x1)f(4x2)，因?yàn)閤22,4x22，x12，f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)為增函數(shù)，故x14x2，即x1x24.b級(jí)綜合創(chuàng)新備選(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1曲線f(x)ax2bxc(a0，b，cr)通過點(diǎn)p(0,2a28)，在點(diǎn)q(1，f(1)處的切線垂直于y軸，則的最小值為_解析由已知曲線f(x)ax2bxc(a0，b，cr)通過點(diǎn)p(0,2a28)知c2a28.又知其在點(diǎn)q(1，f(1)處的切線垂直于y軸，f(1)0，即2ab0.a.a0，a4，即的最小值為4.答案42(2011濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0，5)，它的導(dǎo)數(shù)f(x)4x34x，則當(dāng)f(x)取得極大值5時(shí)，x的值應(yīng)為_解析易知f(x)x42x25，f(x)0時(shí)，x0或x1，只有f(0)5.答案03已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)(x21)(xa)若f(1)0，則函數(shù)yf(x)在上的最大值和最小值分別為_解析f(1)0，32a10，即a2.f(x)3x24x13(x1)由f(x)0，得x1或x；由f(x)0，得1x.因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.f(x)在x1處取得極大值為f(1)2；f(x)在x處取得極小值為f.又f，f(1)6，且，f(x)在上的最大值為f(1)6，最小值為f.答案64(2011遼寧)已知函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析f(x)ex2.當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0；當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0.f(x)minf(ln 2)22ln 2a，則函數(shù)有零點(diǎn)，即f(x)min0.22ln 2a0，a2ln 22.答案(，2ln 225(2011金華十校模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m，n1,1，則f(m)f(n)的最小值是_解析求導(dǎo)得f(x)3x22ax，由f(x)在x2處取得極值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.由此可得f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，對(duì)m1,1時(shí)，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x1，對(duì)n1,1時(shí)，f(n)minf(1)9.于是，f(m)f(n)的最小值為13.答案136(2011蘇北四市二調(diào))已知函數(shù)f(x)mx3nx2在點(diǎn)(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_解析由題意可知，所以f(x)x33x2.由f(x)3x26x0，解得2x0，故f(x)在2,0上單調(diào)遞減，故有t，t12,0，即2tt10，解得t2，1答案2，1二、解答題(每小題15分，共30分)7(2011宿遷市聯(lián)考)已知f(x)2xln x，g(x)x2ax3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明對(duì)一切x(0，)，都有f(x)2成立(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2(ln x1)令f(x)0，得x.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以f(x)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增故當(dāng)x時(shí)，f(x)取最小值為.(2)解存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，即2xln xx2ax3在x(0，)能成立，等價(jià)于a2ln xx在x(0，)能成立，等價(jià)于a(2ln xx)min.記h(x)2ln xx，x(0，)，則h(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)取最小值為4，故a4.(3)證明記j(x)2，x(0，)，則j(x)2.當(dāng)x(0,1)時(shí)，j(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，j(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)，j(x)取最大值為.又由(1)知，當(dāng)x時(shí)，f(x)取最小值為，故對(duì)一切x(0，)，都有f(x)2成立8已知函數(shù)f(x)x2ln x(ar)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)在區(qū)間1，e上的最大值和最小值；(2)若在區(qū)間(1，)上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y2ax下方，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2ln x，f(x)x；對(duì)于x1，e，有f(x)0，f(x)在區(qū)間1，e上為增函數(shù)，f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1).(2)令g(x)f(x)2axx22axln x，在區(qū)間(1，)上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y2ax下方，等價(jià)于g(x)0在區(qū)間(1，)上恒成立，g(x)(2a1)x2a.若a，令g(x)0，得x11，x2，當(dāng)x2x11，即a1時(shí)，在(x2，)上有g(shù)(x