第四章圖形的相似*5相似三角形判定定理的證明 素材一 新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)情景導(dǎo)入置疑導(dǎo)入歸納導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入類比導(dǎo)入懸念激趣情景導(dǎo)入(1)觀察并思考，用疊合法證明如圖451所示兩個風(fēng)箏圖形相似圖451(2)相似三角形的判定方法有哪些？說明與建議 說明：利用學(xué)生感興趣的動畫演示開始本節(jié)課的學(xué)習(xí)和探討，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在不知不覺中感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣建議：通過讓學(xué)生尋找身邊形狀相同的三角形，來理解相似三角形的特征，并尋求相似的判定方法，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊復(fù)習(xí)導(dǎo)入回答下列問題：問題1：相似三角形的定義是什么？問題2：相似三角形的判定方法有哪些？說明與建議 說明：一是鞏固所學(xué)內(nèi)容，由淺入深，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；二是為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊通過學(xué)生回顧復(fù)習(xí)已得結(jié)論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣建議：問題由學(xué)生口答完成，其他學(xué)生矯正完成后教師引導(dǎo)學(xué)生，從而引入新課引導(dǎo)性語言：通過復(fù)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)你們掌握得很好今天這節(jié)課，我們一起對三角形相似的條件進(jìn)行證明 素材二 考情考向分析命題角度1 利用相似三角形的性質(zhì)求邊長相似三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似三角形邊的對應(yīng)關(guān)系可以求邊長例畢節(jié)中考 如圖452，在ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，CE，ADDE35，AE8，BD4，則DC的長等于(A)圖452A.B.C.D. 命題角度2 利用相似的判定證明相似兩個三角形相似的判定有三條：兩角分別相等；兩邊成比例且夾角相等；三邊成比例在證明兩個三角形相似時，要根據(jù)題目所給的已知條件靈活選擇判定方法例益陽中考 如圖453，在ABC中，ABAC，BDCD，CEAB于點(diǎn)E.求證：ABDCBE.圖453答案：略 命題角度3 證明兩三角形相似并解決綜合問題根據(jù)題目尋找條件證明兩個三角形相似，并能利用相似來解決動點(diǎn)問題解決此類問題的關(guān)鍵是要注意分情況討論這要求學(xué)生對于證明三角形相似的判定理解透徹，能從題目中分析出不同的對應(yīng)關(guān)系例武漢中考 如圖454，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒(0t2)(1)如圖，連接PQ，若BPQ與ABC相似，求t的值；(2)如圖，連接AQ，CP，若AQCP，求t的值；(3)試證明PQ的中點(diǎn)在ABC的一條中位線上圖454解：(1)當(dāng)BPQBAC時，BP5t，QC4t，AB10 cm，BC8 cm，t1；當(dāng)BPQBCA時，t.t1或t時，BPQ與ABC相似圖455(2)如圖455所示，過點(diǎn)P作PMBC于點(diǎn)M，設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB5t，PMPBsinB3t，BM4t，MC84t.NACNCA90，PCMNCA90，NACPCM且ACQPMC90，ACQCMP，解得t.(3)如圖456，仍有PMBC于點(diǎn)M，PQ的中點(diǎn)設(shè)為D點(diǎn)，再作PEAC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F.圖456ACB90，DF為梯形PECQ的中位線，DF.QC4t，PE8BM84t，DF4.BC8，過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，RCDF4成立，點(diǎn)D在過點(diǎn)R的中位線上，PQ的中點(diǎn)在ABC的一條中位線上命題角度4 利用相似求最值求最值的基本思路是利用兩點(diǎn)之間線段最短能夠利用對稱的性質(zhì)找到動點(diǎn)的位置，再利用相似等知識解決問題例天津中考 如圖457，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，點(diǎn)E在OB上，且OAEOBA.(1)如圖，求點(diǎn)E的坐標(biāo)(2)如圖，將AEO沿x軸向右平移得到AEO，連接AB，BE.設(shè)AAm，其中0m2，試用含m的式子表示AB2BE2，并求出使AB2BE2取得最小值時點(diǎn)E的坐標(biāo)；當(dāng)ABBE取得最小值時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)圖457圖458解：(1)點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，OA2，OB4.OAEOBA，EOAAOB90，OAEOBA，即，解得OE1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，1)(2)如圖458，連接EE.由題設(shè)知AAm(0m2)，則AO2m.在RtABO中，由AB2AO2BO2，得AB2(2m)242m24m20.AEO是由AEO沿x軸向右平移得到的，EEAA，且EEAA，BEE90，EEm.又BEOBOE3，在RtBEE中，BE2EE2BE2m29，AB2BE22m24m292(m1)227.當(dāng)m1時，AB2BE2可以取得最小值，此時，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1，1)如圖458，過點(diǎn)A作ABx軸，并使ABBE3.易證ABAEBE，BABE，ABBEABBA.當(dāng)點(diǎn)B，A，B在同一條直線上時，ABBA最小，即此時ABBE取得最小值易證ABAOBA，而AO2，AA2，EEAA，點(diǎn)E的坐標(biāo)是. 素材三 教材習(xí)題答案P102習(xí)題4.91 如圖，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點(diǎn)，AEBFCD，那么ABC與DEF相似嗎？請證明你的結(jié)論解：相似 提示：利用兩角分別相等的兩個三角形相似證明2已知：如圖，求證：ABAE.提示：先用三邊成比例證ABCDEA，得到一對角相等，再用等角對等邊得證3已知：如圖，在ABC中，D是邊AC上的一點(diǎn)，CBD的平分線交AC于點(diǎn)E，且AEAB.求證：AE2ADAC.證明：BE平分CBD，DBECBE.AEAB，ABEAEB.又ABEABDDBE, AEBCCBE，ABDC.ABDC，AA，ABDACB， 即ABABADAC. AEAB，AE2ADAC.4如圖，在ABC中，AB8 cm，BC16 cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動，速度為2 cm/s；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4 cm/s.如果P，Q兩動點(diǎn)同時運(yùn)動，那么何時QBP與ABC相似？解：設(shè)運(yùn)動時間為t s，AP2t，BP82t, BQ4t.BB，當(dāng)時，BPQBAC，此時，解得t2；當(dāng)時，BPQBCA，此時，解得t0.8.0.8 s或2 s后PBQ和ABC相似 素材四 圖書增值練習(xí)專題 相似三角形判定定理的證明 “兩邊對應(yīng)成比例且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”，如圖，已知（ABDE），A=D，求證：ABCDEF.請利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過添設(shè)輔助線，將未知的判定方法轉(zhuǎn)化為前面已經(jīng)學(xué)過的方法（即已知兩組角對應(yīng)相等推得相似或已知平行推得相似）請利用上述方法完成這個定理的證明【方法技巧】解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造平行線或全等三角形答案：證明：在AB上截取AG=DE，作GHBC，AGHABC，AG=DE，AH=DF，A=D，AGHDEF，ABCDEF 素材五 數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升自相似下圖看上去很特別圖中畫些什么呢？首先看到，在圖的右邊醒目位置，畫了一個女孩她正站在畫板前面，神采奕奕，提筆作畫（這是第一個女孩）其次看到，女孩在畫中所表現(xiàn)的，是她自己正在繪畫的情形所以她的畫中有一位和她一模一樣的女孩，正在擺著與她同樣的姿勢，站在畫板前面，提筆作畫（這是第二個女孩）女孩畫中的女孩，所畫的當(dāng)然也是她自己正在繪畫的情形所以，在畫中女孩的畫里，也有一位一模一樣的女孩，以同樣的姿勢，正在作畫（這是第三個女孩）畫中女孩畫中的女孩，畫的還是同樣的畫。所以，在畫中女孩畫中女孩的畫里，同樣有一個一模一樣的女孩，以同樣的姿勢，正在作同樣的畫（這是第四個女孩）在繪制同一幅圖形的過程中，如果下一步產(chǎn)生的圖形總是與上一步的圖形相似，那么這種現(xiàn)