第2章 幾個(gè)重要的不等式自我校對(duì)一般形式的柯西不等式排序不等式逆序和亂序和原理貝努利不等式柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)易證，因此在解題時(shí)，根據(jù)題目特征，靈活運(yùn)用柯西不等式，可證明一些簡(jiǎn)單不等式【例1】已知a，b，c是實(shí)數(shù)，且abc1，求證：4.精彩點(diǎn)撥根據(jù)特征不等式的特點(diǎn)，可考慮用柯西不等式證明，但要先構(gòu)造向量(1,1,1)，利用|mn|2|m|2|n|2證明自主解答因?yàn)閍，b，c是實(shí)數(shù)，且abc1，令m(，)，n(1,1,1)則|mn|2()2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，()248，4.1設(shè)a，b，x，y都是正數(shù)，且xyab，求證：.證明因?yàn)閍，b，x，y都是正數(shù)，xyab，由柯西不等式可知(axby)(ab)2.又axby2(ab)所以.利用排序不等式證明不等式應(yīng)用排序不等式的技巧在于構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組，而數(shù)組的構(gòu)造應(yīng)從需要入手來(lái)設(shè)計(jì)，這一點(diǎn)應(yīng)從所要證的式子的結(jié)構(gòu)觀察分析，再給出適當(dāng)?shù)臄?shù)組【例2】已知a，b，c為正數(shù)，求證：abc.精彩點(diǎn)撥本題屬于左3項(xiàng)右3項(xiàng)的類型，雖然a，b，c沒(méi)有順序，但可用順序不等式證明，不妨先設(shè)abc，再利用定理證明自主解答由于不等式關(guān)于a，b，c對(duì)稱，可設(shè)abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式，得a2b2c2a2b2c2，及a2b2c2a2b2c2.以上兩個(gè)同向不等式相加再除以2，即得原式中的不等式2設(shè)a，b，c為某一個(gè)三角形的三條邊，abc，求證：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.證明(1)用比較法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因?yàn)閎c，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可證b(cab)a(bca)綜合，證畢(2)由題設(shè)及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式“逆序和亂序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由“逆序和亂序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)將和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.利用柯西不等式求最值由于柯西不等式是求解含多個(gè)變量式子最值(除平均值不等式外)的一種重要方法，是某些求最值問(wèn)題的唯一工具，應(yīng)用的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果，同時(shí)，注意等號(hào)成立的條件【例3】求實(shí)數(shù)x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2達(dá)到最小值精彩點(diǎn)撥根據(jù)x，y的系數(shù)適當(dāng)構(gòu)造形式求解，切忌等號(hào)成立的條件自主解答由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)，上式取等號(hào)故所求x，y.3已知xyz1，求2x23y2z2的最小值解由柯西不等式，得2x23y2z2(2x23y2z2)(xyz)2，2x23y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時(shí)取等號(hào)2x23y2z2的最小值為.數(shù)學(xué)歸納法與猜想證明探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此種問(wèn)題未給出結(jié)論，需要從特殊情況入手，猜想，探索出結(jié)論，再對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明，主要是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法【例4】已知f(n)1，g(n)，當(dāng)n4時(shí)，試比較f()與g(n)的大小，并說(shuō)明理由精彩點(diǎn)撥由f(n)與g(n)的關(guān)系，直接比較不容易，可先比較前n項(xiàng)，猜想出結(jié)論，再由數(shù)學(xué)歸納法證明自主解答由f()11，g(n)1，要比較f()與g(n)的大小，只需比較2n與n2的大小當(dāng)n4時(shí)，241642，當(dāng)n5時(shí)，25325225，當(dāng)n6時(shí)，26646236.故猜測(cè)當(dāng)n5(nN)時(shí)，2nn2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明(1)當(dāng)n5時(shí)，命題顯然成立(2)假設(shè)nk(k5，且kN)時(shí)，不等式成立，即2kk2(k5)，則當(dāng)nk1時(shí)，2k+122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2(k1)22.由(1)(2)可知，對(duì)一切n5，nN，2nn2成立綜上可知，當(dāng)n4時(shí)，f()g(n)；當(dāng)n5時(shí)，f()g(n)4在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想解(1)由條件可得2bnanan1，abnbn1，則a22b1a16，b29；a32b2a212，b316；a42b3a320，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，由a12，b14知結(jié)論正確假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論正確，即akk(k1)，bk(k1)2.則nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.即nk1時(shí)結(jié)論正確由知猜想的結(jié)論正確.數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題本章常把要證明的不等式通過(guò)換元或恒等變形把命題轉(zhuǎn)化為柯西不等式或排序不等式的形式加以解決【例5】已知abc，求證：.精彩點(diǎn)撥構(gòu)造柯西不等式的證明自主解答ac(ab)(bc)，ac，ac0，(ac)(ab)(bc)(11)24，.5設(shè)a，b，c為正數(shù)，且abc1，求證：.證明左邊(121212)(19)2，原結(jié)論成立1已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_(kāi)解析a，b，m，nR，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，取“”所求最小值為2.答案22設(shè)x，y，zR，且滿足：x2y2z21，x2y3z，則xyz_.解析由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因?yàn)閤2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.答案3已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_(kāi)解析a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b1，c時(shí)取等號(hào)答案124設(shè)常數(shù)a0.若9xa1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍為_(kāi)解析由題意可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)9x26aa1a，當(dāng)且