水費階梯式收費數(shù)學模型的建立與應用作者：東北師范大學數(shù)學系 陳國芳 黃萍 指導教師 李佐鋒摘要 長春市是全國嚴重缺水的城市之一，水資源的合理開發(fā)利用和保護問題的解決已經(jīng)刻不容緩。本文僅從制定合理水價角度提出設計方案，運用了統(tǒng)計抽樣檢驗和隨機方法，為政府提供了一個水價的合理方案，并驗證了方案的可行性及實際意義。關鍵詞 階梯式收費 正態(tài)分布 用水量界限 節(jié)水一、問題的提出水資源是人類生存和社會發(fā)展的生命線。水資源短缺已成為全球性的熱門問題。我國單位GDP的用水量是美國的8倍、德國的11倍，水資源的利用率還很低，節(jié)水的空間還很大。為了真正實現(xiàn)以水資源可持續(xù)利用保障經(jīng)濟社會的可持續(xù)發(fā)展，我們必須按照國家新時期的治水方針和治水思路，始終堅持在水資源開發(fā)利用中把節(jié)水放在首位。除了向全社會大張旗鼓地宣傳節(jié)水的重要性、必要性和緊迫性以外，還必須深入研究與節(jié)水有關的自然規(guī)律、社會規(guī)律和經(jīng)濟規(guī)律，制定科學合理的節(jié)水規(guī)劃，提出符合國情，符合客觀規(guī)律的節(jié)水措施，達到預期的節(jié)水效果。長春市是全國嚴重缺水的城市之一，人均年水資源擁有量只有270立方米，是全國人均水平的四分之一。目前，盡管有200億立方米的水流經(jīng)長春，但因為水源的污染，這些水無法為我們所全部利用。全市日用水量106萬立方米，而日供水能力僅為83萬立方米，日缺水量23萬立方米。用水高峰時，全市有20多個居民小區(qū)供水緊張。隨著國民經(jīng)濟的迅速發(fā)展和人口的增加，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)用水量還將不斷增加。水資源的短缺必將成為阻礙城市發(fā)展的瓶頸。國家對此問題也給予了足夠的重視。在中國21世紀議程中國21世紀人口、白皮書環(huán)境與發(fā)展白皮書提出的解決方案中，涉及了七個方面的內(nèi)容，其中，有效運用價格機制實現(xiàn)水資源有效配置就是其中的一個方面。就長春市來講，在城市用水總量中，居民用水就占了45%。因此，控制居民用水量可以在很大程度上緩解水資源緊張問題。要控制居民用水量僅僅依靠提高居民的節(jié)水意識是不夠的，要讓人們認識到，節(jié)水是與他們的切身利益密切相關的。特別是對某些使用通常價格機制無法約束的人們，必須采取更為嚴厲的價格機制以提高其節(jié)水意識。本文就是從制定居民水價入手，用價格來制約人們的用水量，以達到緩解用水緊張的問題。為此，我們進行了大量的數(shù)據(jù)收集和整理工作，做了專題分析和研究，希望能運用數(shù)學模型，通過合理化的抽象和假設，使問題在理論上得以解決，對實際中解決水資源緊缺問題有所幫助。二、問題分析節(jié)水是一個全方位的問題，有多種解決的途徑。我們的思路是建立一種階梯式水費收費標準即對居民用水量劃定一個界限，未超出界限部分沿用原有收費標準，超出部分實施大階梯式收費來提高收費標準。這樣通過價格制約水資源浪費現(xiàn)象，促使居民節(jié)約用水，最終達到緩解用水緊張的目的。當然，要建立新的收費標準，首先必須明確目前的用水狀況及收費標準。通過走訪水務集團我們了解到，長春市現(xiàn)行水費收費標準是每立方米2.5元，用多用少其單價沒有區(qū)別。其次，關于用水狀況，我們是采用抽樣調(diào)查的方式進行估計。由概率論知識我們知道，一個變量如果受到大量微小的獨立因素的影響，那麼這個變量是一個正態(tài)變量而服從正態(tài)分布。而每戶居民的用水量恰好滿足上述條件，即居民用水量是一個正態(tài)變量。至于正態(tài)分布的兩個參數(shù)可以有調(diào)查的數(shù)據(jù)通過參數(shù)估計獲得，進而獲得居民用水量的密度函數(shù)。其次，建立新的收費標準，實行階梯式收費，也就是建立一個以居民用水量為自變量，收費數(shù)為函數(shù)的分段函數(shù)。要建立分段函數(shù)必須明確兩點：1. 分段函數(shù)的界限；2. 每段函數(shù)的表達式，特別是超出部分的收費標準函數(shù)的確定。這兩個問題就是本文討論的中心問題。三、模型的簡化與假設1. 每月的供水全部到達居民家中，其間的漏水、盜水等情況不計。2. 為討論問題方便，視用水量為連續(xù)型隨機變量。3. 居民用水量服從參數(shù)為的正態(tài)分布。4. 抽樣獲得的、S可近似代替全市居民用水量的分布中的。5. 為了能夠使居民真正意識到節(jié)水與其切身利益密切相關，我們將超出界限部分按照指數(shù)函數(shù)遞增方式進行收費。四、模型建立 （一）參量設定如下： 居民每戶每月的用水量（噸）；使用x噸水應繳納的費用（元）； 分段界限數(shù)（立方米）。（二）收費函數(shù)設定如下： 其中居民用水量密度函數(shù)為 = (0)則繳納水費的期望值為 由此確定臨界值A。五、模型求解 （一） 的確定由表1（長春市居民每月水費支出情況調(diào)查表）數(shù)據(jù)可求得 則 （二）的確定，由 關于A求導數(shù)并令其等于零可得到表1 長春市居民每月水費支出情況調(diào)查表 單位：元/居民代 碼水費居民代碼水費居民代碼水費居民代 碼水費居民代碼水費110211141126112811121222942106212582175312.5231243175638839482412441256412841251125134511651085205615261046136612586115710.5271347126713587135818281054815689588125912292049126916589101012530135501670139013111253111551105711059112121032195213572135921513185331353137312593101414348541274199412515123512555195751095185161336195562276175961017123712557105771497135181853812558257812598125191039185591257918599105201340195601858011510012為簡化計算，對函數(shù)應用泰勒展開,并取其前四項，有此前，先將積分利用概率密度性質(zhì)轉(zhuǎn)換為0，上的積分，這里從略。便可得其解集為1.00006， 2.8118， 3.009711.36212i， 6.990294.36212i, 7.1882, 100.2762.46545i, 101.7270.98251i由A的實際意義知A不能為虛數(shù)，所以虛根去掉；有若A=1.00006或A=2.8118，則幾乎所有居民的水費均符合A的要求，不能體現(xiàn)出階梯收費的初衷，也不符合實際情況。A=7.18827.2。從而分段函數(shù)確定為 六、模型分析、推廣與應用1. 按上述方案收取水費，則抽樣調(diào)查的100戶居民按原用水量需繳納的新水費如表2所示。又我們調(diào)查了長春市居民每月水費支出最高承受能力情況如表3所示。比較表2，表3可知，按新方案計算水費后，水費超出其承受能力的用戶占總調(diào)查戶數(shù)的13%. 假設這些表2 長春市居民每月新水費支出表 單位：元/戶居民代 碼水費居民代碼水費居民代碼水費居民代 碼水費居民代碼水費110211141126112811121222942106212582175312.523124317563883948241244125641284125112513451165108537.57615261046136612586115710.52713471267135871358182810548156895881259122934.024912691658910101253013550167013901311125311155110571105911212103228.74521357213592151326.7933135313731259310141434854127428.74941251512351255531.1275109526.7916133631.125653.66761759610171237125571057714971351826.793812558136.4781259812519103926.79591257926.799910520134031.126026.798011510012 表3 長春市居民每月水費支出最高承受能力情況調(diào)查表 元/戶居民代 碼水費居民代碼水費居民代碼水費居民代 碼水費居民代碼水費12021254130612581152202212421862308220325232543256318831241224204420642084125152525451865258525620262046156615862573027154730671887208252825482468208830920293049256924892010183025503570189020111531255125712091181220322452287220922513253320533073189320142534205425742594201520351555257518952516153630563076209615172037255720771897201828382058307825982519203930592079259920202540256025801810016居民為了減少水費支出，每月每戶僅節(jié)水1立方米，則100戶每月節(jié)水13立方米。按此比例關系推算全市每月可節(jié)水260759立方米。以上節(jié)省的水只是按新方案計算水費后，水費超出其承受能力的那部分居民的節(jié)水數(shù)。如果進行大力宣傳，樹立全民節(jié)水意識，認識到節(jié)水的重要性，家家戶戶都節(jié)水，那麼，以每戶每月節(jié)水1立方米計算，全市每月可節(jié)水2005838立方米，相當于每日節(jié)水66861.2立方米，這些節(jié)約的水可緩解長春市每日缺水量的29%，這是相當可觀的數(shù)字。2. 本模型對用水量的遏制作用強大又符合實際。事實上，首先是居民用水量隨機變量符合正態(tài)分布，恰與作者希望加大力度收費而采用指數(shù)函數(shù)階梯收費的目的不謀而合，因而即符合實際又能有效遏制用水大戶。其次，用水量界限A的確定符合長春市居民正態(tài)用水計劃戶.月。請看一組數(shù)據(jù)分析：用水量在正常范圍內(nèi)，平均18元/戶.月可被全體居民所接受；用水量超過標準四分之一的居民，僅多繳納43元，亦在大多數(shù)居民可接受范圍之內(nèi)；但當用水量超出限量二分之一時，將多繳納264元，可遏制中等收入居民用水；當用水量超出一倍時，將多繳納9644元，可有效遏制個別上等收入者超大量用水。3. 模型結果適于操作。事實上，收費者只需帶一臺有指數(shù)運算功能的計算器即可在兩分鐘內(nèi)算出水費。4. 本模型可結合各地