數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵與作用 “數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻、透徹的闡釋。具體地說，就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征，或使“數(shù)”的問題，借助于“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}，借助于“數(shù)”去思考，這種解決問題的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想。 事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想，就是用聯(lián)系的觀點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的圖形，并利用圖形的性質(zhì)和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或?qū)D形的部分信息或全部信息轉(zhuǎn)換成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決。給“數(shù)”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，就能變抽象為直觀；給“形”的問題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，更能從本質(zhì)上深刻認(rèn)識(shí)“形”的幾何屬性。 數(shù)形結(jié)合思想在課本中，具有突出的地位。比如：在集合運(yùn)算中的應(yīng)用。涉及集合的運(yùn)算，常常采用文氏圖，數(shù)軸等形象、直觀的方式；在研究函數(shù)時(shí)，已知函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，再通過函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；或通過圖、表的分析，抽象出變量之間的規(guī)律，再通過變量之間的規(guī)律的研究，進(jìn)一步掌握?qǐng)D、表的變化趨勢(shì)；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)出適當(dāng)?shù)膱D形證明不等式和解不等式往往十分簡(jiǎn)捷。 又如，笛卡兒用數(shù)形結(jié)合思想將長(zhǎng)期對(duì)立的代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合，創(chuàng)立了數(shù)學(xué)的一大分支解析幾何，構(gòu)建曲線與方程的理論，集中解決了兩大問題：已知曲線求方程和通過方程研究曲線的性質(zhì)。 下面舉例說明數(shù)形結(jié)合的奇妙。 例1：已知實(shí)數(shù)滿足，求證：d的幾何意義是直線：的點(diǎn)與定點(diǎn)M（2，2）的距離，由點(diǎn)M到直線的距離為，根據(jù)平面幾何的知識(shí)知，即。 例2：已知，且，求證：。 分析：要解決本題是很容易的，但我們從“形”的角度來認(rèn)識(shí)和解決這個(gè)問題是十分有趣的。記，那么d的幾何意義是在空間直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O（0，0，0）到平面上任意一點(diǎn)的距離。設(shè)平面與空間直角坐標(biāo)系的x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A、B、C，則OA=OB=OC=1，那么正三棱錐OABC的側(cè)棱為1，側(cè)面的頂角均為90（如圖）。由等體積法易得，點(diǎn)O到平面ABC（即平面）的距離為 。 “數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象，“數(shù)”，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物;而“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”來細(xì)致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問題。 “數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”形象生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。 “數(shù)形結(jié)合”的方法就是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與