微分方程數(shù)值解報告三 迎風(fēng)格式和Lax-Friedrichs格式求解微分方程一 、引言雙曲型方程差分格式的性質(zhì)和定解問題解析解的性質(zhì)之間有著密切的聯(lián)系，由于其對初值的局部依賴關(guān)系和特征關(guān)系是其他兩類方程所沒有的，其初值函數(shù)的一些性質(zhì)也會沿特征線傳播，從而使解不具有光滑性質(zhì)，在構(gòu)造雙曲型方程的差分格式時應(yīng)充分考慮這些特性，下面江將用兩種常見格式求解一個簡單的偏微分方程。二、方法原理本題求解首先用到一階迎風(fēng)格式（Upwind Scheme）其中定義：另外，為了克服中心差分格式的不穩(wěn)定性，還有Lax-Friedrichs格式：三、求解問題四、編程設(shè)計和方法分析考慮網(wǎng)格參數(shù)：接下來我們按照迎風(fēng)格式和Lax-Friedrichs格式分別對方程進行離散處理迎風(fēng)格式：Lax-Fredrichs格式為：迎風(fēng)格式代碼：%迎風(fēng)格式clear allclose allclc%設(shè)置計算網(wǎng)格的參數(shù)L=1.0;%計算區(qū)域的長度T=0.5;%計算的時間長度dx=0.01;dt=0.005;x=-L:dx:L;t=0:dt:T;xn=size(x,2)-1;%網(wǎng)格段的個數(shù)tn=size(t,2)-1;%時間段的個數(shù)u=zeros(tn+1,xn+1);%設(shè)置初始條件for xi=1:xn+1if(x(xi)=0)u(1,xi)=1;%x0時,uo(x)=0endend%在計算開始前，將中間的網(wǎng)格點的值設(shè)為零for i=2:xnu(i,1)=1;%將中間的網(wǎng)格點的值設(shè)置為0endfor ti=1:tnfor j=2:xnu(ti+1,j)=dt*u(ti,j-1)/dx+(1.0-dt/dx)*u(ti,j);endend%繪制計算結(jié)果for i=2:30:92subplot(2,2,1+(i-2)/30);plot(x,u(i,:);str=num2str(t(i),T=%f);xlabel(str);str=num2str(i,u(%d,x);ylabel(str);endLax-Friedrichs格式代碼2%Lax-Friedrichs格式clear allclose allclc%設(shè)置計算網(wǎng)格的參數(shù)L=1.0;%計算區(qū)域的長度T=0.8;%計算的時間長度dx=0.01;%網(wǎng)格尺寸dt=0.005;%時間步長miu=1;x=-L:dx:L;t=0:dt:T;xn=size(x,2)-1;%x的分段數(shù)tn=size(t,2)-1;%時間的分段數(shù)u=zeros(tn+1,xn+1);%u的上標為時間標號,下標為坐標標號%設(shè)置初始條件for xi=1:xn+1if(x(xi)=0)u(1,xi)=1;%x0時,uo(x)=0endendfor i=2:xnu(i,1)=1;endfor ti=1:tnfor j=2:xnu(ti+1,j)=0.5*(1-dt/dx)*u(ti,j+1)+0.5*(1+dt/dx)*u(ti,j-1);endend%繪制計算結(jié)果for i=2:30:92subplot(2,2,1+(i-2)/30);plot(x,u(i,:);str=nu