第 1 頁 共 15 頁 北京市西城區(qū)重點(diǎn)中學(xué) 2016 年 3 月初三 數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 圓 復(fù)習(xí)建議 講義及練習(xí) 一 、 2016 年中考說明 考試內(nèi)容 考試要求 A B C 圖形與幾何 圖 形 的 性 質(zhì) 圓的有關(guān)概念 理解 圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念；了解等圓、等弧的概念 能利用圓的有關(guān)概念解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題 圓的有關(guān)性質(zhì) 了解 弧、弦、圓心角的關(guān)系，理解圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系 能利用垂徑定理解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題；能利用圓周角定理及其推論解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題 運(yùn)用 圓的性質(zhì) 的有關(guān)內(nèi)容 解決有關(guān)問題 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 了解點(diǎn) 與圓的位置關(guān)系 尺規(guī)作圖（利用基本作圖完成）：過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；能利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題 直線與圓的位置關(guān)系 了解直線與圓的位置關(guān)系； 會(huì)判斷直線和圓的位置關(guān)系；理解 切線與過切點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系 ；會(huì)用三角尺過圓上一點(diǎn)畫圓的切線 掌握切線的概念；能利用切線的判定和性質(zhì)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題；能利用直線 與 圓的位置關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題；能利用切線長(zhǎng)定理解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題 運(yùn)用圓的切線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 多邊形和圓 了解圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念；了解三角形外心的概念；知道三角 形的內(nèi)切圓；了解三角形的內(nèi)心；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系 能利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題；能利用正多邊形解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題；尺規(guī)作圖（利用基本作圖完成）：作三角形外接圓、內(nèi)切圓，作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 弧長(zhǎng)、扇形面積和圓錐 會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)和扇形面積； 會(huì)求圓錐的側(cè)面積和全面積 能利用圓的弧長(zhǎng)和扇形的面積解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 第 2 頁 共 15 頁 二 、 復(fù)習(xí)建議 1依據(jù)考試說明的要求進(jìn)行復(fù)習(xí)，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)復(fù)習(xí)、知識(shí)系統(tǒng)復(fù)習(xí)全面、非重點(diǎn)的 A 級(jí)知識(shí)點(diǎn)適當(dāng)安排、不漏過，不隨意拔高難度 ； B 級(jí)的知識(shí)要落實(shí)到位； C 級(jí)知識(shí)要達(dá)到靈活運(yùn)用； 2 培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，從復(fù)雜的幾何圖形中拆分出常見的基本圖形 ; 3 通過習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。 去模式化，重 視 能力 的培養(yǎng) ，重 視數(shù)學(xué) 思想 方法的滲透 ； 4. 重視學(xué)生思路的收集，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，給予有效的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) . 三、課時(shí)安排 建議安排 4時(shí)左右 四 、 具體內(nèi)容 基本概念 復(fù)習(xí) 一、弧、弦、圓周角、圓心角 1圓的定義： （ 1）描述性定義 ： 在平面內(nèi) ,線段 它固定的一個(gè)端點(diǎn) 一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫做圓 固定的端點(diǎn) O 叫做 _,線段 做 _， 以 O 為圓心的圓，記作 “_”,讀作“_”. （ 2）集合性定義 : 平面上到 _的距離等于定長(zhǎng) r 的 _是以 O 為 _、以 r 為_的圓 . （ 3）性質(zhì)： 同圓或 _中 ,_ 2與圓有關(guān)的概念： （ 1）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的 _叫做弦 ； _的弦叫做直徑 . （ 2）?。簣A上 _叫做圓弧，簡(jiǎn)稱 “弧 ”，用符號(hào) _表示，以 A、 B 為端點(diǎn)的弧記作 _,讀作 “_ 弧的分類： 半圓：圓的任意一條 _的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓 . 優(yōu)弧 ： _半圓的弧叫做優(yōu)弧 劣弧 ； _半圓的弧叫做劣弧 （ 3）等圓：能夠 _的兩個(gè)圓叫做 等圓 . 即：半徑相等的圓是等圓； 同圓或等圓的半徑相等 . （ 4）等?。涸?_中，能夠 _的弧叫做等弧 （ 5）同心圓： _相同， _不相等的圓叫做 同心圓 . 3 垂徑定理 _ 垂徑定理的推論 “ 平分弦（ _ ）的直徑 _于弦，并且 _ 第 3 頁 共 15 頁 O 、弦心距、弧、圓心角之間的關(guān)系 在 _、 _、 _中，一組量相等，可推出其余各組也相等。 5圓周角 （ 1）概念：頂點(diǎn)在 _，兩邊都與圓 _的角 叫做圓周角 （ 2） _，同弧或 _所對(duì)的圓周角都等于 _。 （ 3） _，同弧或 _所對(duì)的圓周角都 _。 （ 4）直徑所對(duì)的圓周角是 _ （ 5）圓內(nèi)接四邊形 的性質(zhì) _; 外角等于 _ 二、 直線與圓的位置關(guān)系（切線的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理） 1設(shè) O 的半徑為 r，圓心到直線 L 的距離為 d，則 a ) ( b ) ( c )l（ 1）直線 L 和 O 相交 _，如 圖（ a）所示； （ 2）直線 L 和 O 相切 _，如圖（ b）所示； （ 3）直線 L 和 O 相離 _，如圖（ c）所示 2切線的判定定理：經(jīng)過 _且 _的直線是圓的切線 . 3切線的性質(zhì)定理：圓的切線 _. 4切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的 _，它們的 _相等，這一點(diǎn)和圓 第 4 頁 共 15 頁 O _. 5內(nèi)切圓： _的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 . 內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是 _交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心 . 常用 基本圖形： 三、 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 1設(shè) O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離 OP=d， 點(diǎn) P 在圓外 _；點(diǎn) P 在圓上 _；點(diǎn) P 在圓內(nèi) _ 2經(jīng)過三角形的 _可以做一個(gè)圓 ,并且 _畫一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓 外接圓的圓 心是三角形 _的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的 _ 三角形的外心就是三角形 _的交點(diǎn)，它到 _的距離相等 . 四、 正多邊形和圓 1、多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的 _的圓心 2、正多邊形的半徑： _的半徑 3、正多邊形的中心角：正多邊形 _的圓心角 4、正多邊形的邊心距：中心到 _的距離 常用 基本圖形： 五、 弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面展 開圖 C _ _l 第 5 頁 共 15 頁 _S 扇 形 _。 側(cè)面積 _S 側(cè) _S 全弧、弦、圓心角、圓周角 例 1 （ 1） 圓 O 的直徑，弦 B，垂足為點(diǎn) E，連結(jié) 若 ， ，則 . （ 2） . 如圖，圓 O 的直徑 直于弦 足是 E， A= ， 長(zhǎng)為（ ） A. 2 C. 4 3） O 中， 5，則 度數(shù)為（ ） A. 25 B. 50 C. 60 D. 80 （ 4） O 的半徑為 1， 是 O 的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn) D， 邊形 矩形，這個(gè)矩形的面積是 _. （ 5） 已知 O 的直徑 0 O 的弦， 足為 M，且 長(zhǎng)為（ ） . 2 5 B . 2 3 C . 2 5 4 5 D . 2 3 4 3A c m c m c m c m c m c 6） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， P 的圓心坐標(biāo)是（ 3， a）（ a 3），半徑為 3，函數(shù) y=x 的圖象被 P 截得的弦 長(zhǎng)為 ，則 a 的值是（ ） 第 6 頁 共 15 頁 4 B. C. D. 例 2.（ 西城總復(fù)習(xí) 1） 如圖，在 O 中，弦 中點(diǎn)為 C， 過點(diǎn) C 的半徑為 （ 1） 若 32 ， ， 求 長(zhǎng)； （ 2） 若半徑 ， 20， 求 長(zhǎng) . 例 3.（ 西城總復(fù)習(xí) 2） 已知：如圖， O 中，半徑 ， 弦 過半徑 中點(diǎn) P， 0，求弦 長(zhǎng) . 例 坐標(biāo)平面內(nèi)，以點(diǎn) M（ 0， 3 ）為圓心，以 2 3 為半徑作 M 交 x 軸于 A、 B 兩點(diǎn)，交 y 軸于 C、 D 兩點(diǎn)，連接 延長(zhǎng)交 M 于 P 點(diǎn)，連接 x 軸于 E 點(diǎn) . （ 1） 求出 在直線的解析式； （ 2） 連接 面積 . 例 5 已知： P 為等邊 接 圓 弧 一點(diǎn)， 求證： B+練習(xí)： 1. 如圖， O 的直徑 ， 點(diǎn) D 在 O 上 ， 30， O 于 C， 則 A= O 的一條弦，點(diǎn) C 是 O 上一動(dòng)點(diǎn)，且 0，點(diǎn) E、F 分別是 中點(diǎn)，直線 O 交于 G、 H 兩點(diǎn)，若 O 的半徑 O F G E A B 7 頁 共 15 頁 為 7，則 H 的最大值為 O 的直徑，弦 點(diǎn) E，點(diǎn) P 在 O 上， 1= C. （ 1）求證： （ 2）若 ， P=35，求 O 的直徑 直線和圓 的位置關(guān)系 例 t 斜邊 84 （ 1） 以點(diǎn) C 為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長(zhǎng)時(shí)， C 相切？ （ 2） 以點(diǎn) C 為圓心，分別以 2 4長(zhǎng)為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與 別有怎樣的位置關(guān)系？ 例 2.（西城總復(fù)習(xí) 3） 如圖， O 的直徑， C 為 O 上一點(diǎn)， 過點(diǎn) C 的 切線互相垂直，垂足為 D. （ 1） 求證 ： 分 （ 2） 若 B=60， ，求 長(zhǎng) . 例 3.（西城總復(fù)習(xí) 4） 已知：如圖， O 的直徑， 0 ， M 是 一點(diǎn)，過 M 作 垂線交 點(diǎn) N，交 長(zhǎng)線于 E，直線 F，且 E. （ 1） 求證 ： O 的切線； （ 2）設(shè) O 的半徑為 1，且 E，求 長(zhǎng) . 例 4.（西城總復(fù)習(xí) 5） 如圖 ， O 的弦， D 為半徑 中點(diǎn)，過 D 作 弦 點(diǎn) E，交 O 于點(diǎn) F， 且 B. （ 1） 求證： O 的切線； 第 8 頁 共 15 頁 （ 2） 連接 度數(shù) . 例 5.（西城總復(fù)習(xí) 6） 已知：如圖， O 的直徑 ，點(diǎn) P 是 長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ，連結(jié) 平分線 點(diǎn) M. （ 1） 若 0，求 長(zhǎng)及 度數(shù) ； （ 2）若點(diǎn) P 在 延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)， 你認(rèn)為 大小會(huì)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化， 請(qǐng)求出 值； （ 3）若點(diǎn) P 在直徑 長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)， O 于點(diǎn) C， 那么 大小會(huì)是否發(fā)生變化？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論 . 練習(xí) 1. (11 北京 )如圖，在 C，以 直徑的 O 分別交 點(diǎn) D、 E，點(diǎn) F 在 （ 1）求證：直線 O 的切線； （ 2）若 ， ，求 長(zhǎng) 2. (12 北京 )已知：如圖， O 的直徑， C 是 O 上一點(diǎn)， C 于點(diǎn) D ，過點(diǎn) C 作 O 的切線，交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E ，連結(jié) （ 1）求證： O 相切； （ 2）連結(jié) 延長(zhǎng)交 點(diǎn) F ，若 9， 2，求 長(zhǎng) 3. (13 北京 )如圖， O 的直徑， 別 與 O 相切于點(diǎn) A，C， 延長(zhǎng)線于點(diǎn) D， 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E （ 1）求證： 2）若 ， 3，求 長(zhǎng)。 中國(guó)教育出 &版 *# 9 頁 共 15 頁 網(wǎng) 4.（ 14 北京） 如圖， O 的直徑， C 是 弧 中點(diǎn)， O 的切線 延長(zhǎng)線于點(diǎn) D， E 是 延長(zhǎng)線交切線 點(diǎn) F， O 于點(diǎn) H，連接 （ 1）求證： D； （ 2）若 ，求 5.（ 15 北京）如圖， O 的直徑，過點(diǎn) B 作 O 的切線 弦 M ，交 點(diǎn) F，且 = ，連接 長(zhǎng) 點(diǎn) E (1）求證： 等邊三角形； (2）連接 ，求 長(zhǎng) 6.（ 15 西城一模） 如圖， O 的直徑 ， M 為 O 外 一點(diǎn)， 連接 O 交 于點(diǎn) C，連接 長(zhǎng) 交 O 于 點(diǎn) D，經(jīng)過 點(diǎn) M 的 直線 l 與 在直線關(guān)于 直線 稱 作 l 于 點(diǎn) E， 連接 （ 1） 依 題意補(bǔ)全圖形 ； （ 2） 在不添加新的線段的條件下， 寫出 圖中 與 等 的角，并加以證明 7.（ 15 西城二模） 如圖 1， O 的直徑，弦 點(diǎn) E，點(diǎn) F 在線段 連接 延長(zhǎng)交 O 于點(diǎn) G，在 延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) P，使 G （ 1）依題意補(bǔ)全圖形，判斷 O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 2）如圖 2， 當(dāng) E 為半 徑 中點(diǎn)， =2 3，求 長(zhǎng) 第 10 頁 共 15 頁 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 例 1 已知：點(diǎn) P 到 O 最近的距離為 3，最遠(yuǎn)的距離為 11，則 O 的半徑為 . 例 2 （西城總復(fù)習(xí) 9） 如圖，點(diǎn) A 與點(diǎn) B 的坐標(biāo)分 別是（ 1， 0），（ 5， 0），點(diǎn) P 是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) （ 1）使 0的點(diǎn) P 有 _ 個(gè)； （ 2）若點(diǎn) P 在 y 軸上，且 0，求滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上移動(dòng)時(shí)， 否有最大值？若有，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并說明此時(shí) 大的理由；若沒有，也請(qǐng)說明理由 練習(xí)： （西城總復(fù)習(xí) 21，北京 2013） 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 和 C，給出如下定義：若 C 上存在兩個(gè)點(diǎn) A， B，使得 0 ,則稱 P 為 C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn) D（21， ）， E（ 0， F（32， 0） （ 1）當(dāng) O 的半徑為 1 時(shí)， 在點(diǎn) D， E， F 中， O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 _； 過點(diǎn) F 作直線交，使 0，若直線上的點(diǎn) P（ m， n）是 O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求 （ 2）若線段 的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑 第 11 頁 共 15 頁 圓中計(jì)算及 作圖 例 1：完成下列作圖 （ 1）過不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓 （ 2）過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線 （ 3）過圓外一點(diǎn)作已知圓的切線 （ 4）已知直線 a 及直線外一點(diǎn) P，求作： P 與直線 a 相切 . )畫 內(nèi)切圓，并標(biāo)出它的內(nèi)心 (6)畫出 外接圓，并標(biāo)出它的外心； B 12 頁 共 15 頁 （ 7） 作 O 的內(nèi)接正方形，內(nèi)接正六邊形 (8)等分圓周（三、六、十二、四、八等分） 例 2 （ 1） 正六邊形的邊長(zhǎng) a，半徑 R，邊心距 r 的比 a R r=_ （ 2） 已知圓弧的半徑為 50 厘米，圓心角為 60，求此圓弧的長(zhǎng)度為 _，該圓弧所對(duì)扇形面積為 _. （ 3） 半徑為 2 的扇形，面積為 34，則它圓心角的度數(shù)為 _，所對(duì)弧長(zhǎng)為 _. （ 4） 扇形圓心角為 150，弧長(zhǎng)為 20扇形的面積為 _. （ 5） 鐘表的軸心到分針針端的長(zhǎng)為 5過 40 分鐘，分針針端轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)為 _. 例 3 （ 西城總復(fù)習(xí) 7） 如圖 ， 平地 面上有一面積為 30扇形 徑 6地面垂直并且扇形沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形向右滾動(dòng)至 地面垂直為止， 求 點(diǎn) O 移動(dòng)的距離 . 13 頁 共 15 頁 （ 西城總復(fù)習(xí) 8） （ 1） 如圖 1，扇形 圓心角為 90 度，分別以 P 和 Q 分別表示陰影部分的面積，那么 P 和 Q 的大小關(guān)系是 （ ） A. P=Q 6 4 3 6. 小明家的房前有一塊矩形的空地，空地上有三棵樹