第 1 頁（共 25 頁） 2016 年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學一模試卷 一、選擇題：（本大題共 6題，每題 4分，滿分 24分） 1如果兩個相似三角形的周長比為 1： 4，那么這兩個三角形的相似比為（ ） A 1： 2 B 1： 4 C 1： 8 D 1： 16 2已知線段 a、 b、 c，其中 c 是 a、 b 的比例中項，若 a=9b=4線段 c 長（ ） A 18 5 6 6如果向量 與向量 方 向相反，且 ，那么向量 用向量 表示為（ ） A B C D 4在直角坐標平面內(nèi)有一點 P（ 3， 4）， x 軸 正半軸的夾角為 ，下列結論正確的是（ ） A B C D 5下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（ ） A y=x（ x 1） B y= 1 C y= y=（ x+4） 2 如圖，在 ，點 D、 E 分別在邊 ，如果 B，那么下列說法中，錯誤的是（ ） A 、填空題：（本大題共 12題，每題 4分，滿分 48 分） 第 2 頁（共 25 頁） 7如果 ，那么銳角 = 8已知線段 a、 b、 c、 d，如果 ，那么 = 9計算： = 10在 ， C=90， ， ，則 11如圖，已知 交于點 O， 果 ， ， 么 12如圖，在 ，點 D 是 上的點，且 果 ， ，那么 = （用含 、 的式子表示） 13在 ，點 O 是重心， 過點 O 且平行于 邊 點 D、 E，則 S 14如圖，在 ， D、 E 分別是邊 的點，且 ， ， ， ，則 C= 第 3 頁（共 25 頁） 15某水庫水壩的壩高為 10 米，迎水坡的坡度為 1： 該水庫迎水坡的長度為 米 16如圖， 別是 上的高， ， ，則 17已知拋物線 y1=a（ x m） 2+k 與 y2=a（ x+m） 2+k（ m0）關于 y 軸對稱，我們稱 為 “和諧拋物線 ”請寫出拋物線 y= 4x+7 的 “和諧拋物線 ” 18如圖，在梯形 ， B=45，點 E 是 中點， C， 0，若，則 長是 三、解答 題：（本大題共 7題，滿分 78分） 19計算： + 20如圖，已知 ，點 D、 E 分別在邊 ， F 是 長線上的點，聯(lián)結 ，求 的值 第 4 頁（共 25 頁） 21已知拋物線 y=bx+c 如圖所示，請結合圖象中所給信息完成以下問題： （ 1）求拋物線的表達式； （ 2）若該拋物線經(jīng)過一次平移后過原點 O，請寫出一種平移方法，并寫出平移后得到的新拋物線的表達式 22如圖，已知四邊形 對角線 于點 F，點 E 是 一點，且 （ 1）求證： （ 2）求證： C=B 23如圖 ，一條細繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動已知細繩從懸掛點 O 到球心的長度為 50 厘米，小球在 A、 B 兩個位置時達到最高點，且最高點高度相同（不計空氣阻力），在 C 點位置時達到最 第 5 頁（共 25 頁） 低點達到左側最高點時與最低點時細繩相應所成的角度為 37，細繩在右側達到最高點時與一個水平放置的擋板 成的角度為 30（ （ 1）求小球達到最高點位置與最低點位置時的高度差 （ 2）求 段細繩的長度 24 在平面直角坐標系 ，拋物線 y=3ax+c 與 x 軸交于 A（ 1， 0）、 B 兩點（ A 點在 與 y 軸交于點 C（ 0， 2） （ 1）求拋物線的對稱軸及 B 點的坐標； （ 2）求證： （ 3）點 D 是射線 一點（不與 B、 C 重合），聯(lián)結 點 B 作 足為 一點 E，若 似，求點 D 的坐標 25已知直線 A 是 B、 C 是 0， ，O 是 中點， D 是 長線上的點，將 直線 折，點 D 與 D重合 （ 1）如圖 1，當點 D落在直線 時，求 長； （ 2）延長 ，直線 別交 、 N 第 6 頁（共 25 頁） 如圖 2，當點 E 在線段 時，設 AE=x， DN=y，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式及其定義域； 若 面積為 時，求 長 第 7 頁（共 25 頁） 2016年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題共 6題，每題 4分，滿分 24分） 1如果兩個相似三角形的周長比為 1： 4，那么這兩個三角形的相似比為（ ） A 1： 2 B 1： 4 C 1： 8 D 1： 16 【考點】 相似三角形的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比解答即可 【解答】 解： 兩個相似三角形的周長比為 1： 4， 這兩個三角形的相似比為 1： 4， 故選： B 【點評】 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長的比等于相似比是解題的關鍵 2已知線段 a、 b、 c，其中 c 是 a、 b 的比例中 項，若 a=9b=4線段 c 長（ ） A 18 5 6 6考點】 比例線段 【分析】 由 c 是 a、 b 的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出線段 c 的長，注意線段不能為負 【解答】 解：根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積 所以 9，解得 c=6（線段是正數(shù)，負值舍去）， 故選 C 【點評】 此題考查了比例線段；理解比例中項的概念，這里注意線段不能是負數(shù) 3如果向量 與向量 方向相反，且 ，那么向量 用向量 表示為（ ） A B C D 【考點】 *平面向量 【分析】 由向量 與向量 方向相反，且 ，可得 3 = ，繼而求得答案 第 8 頁（共 25 頁） 【解答】 解： 向量 與向量 方向相反，且 ， 3 = ， = 故選 D 【點評】 此題考查了平面向量的知識注意根據(jù)題意得到 3 = 是解此題的關鍵 4在直角坐標平面內(nèi)有一點 P（ 3， 4）， x 軸正半軸的夾角為 ，下列結論正確的是（ ） A B C D 【考點】 銳角三角函數(shù)的定義；坐標與圖形性質(zhì) 【分析】 根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，可得答案 【解答】 解：斜邊為 =5， A、 ，故 A 正確； B、 ，故 B 錯誤； C、 ，故 C 錯誤； D、 ，故 D 錯誤； 故 選： A 【點評】 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊 5下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（ ） A y=x（ x 1） B y= 1 C y= y=（ x+4） 2 考點】 二次函數(shù)的定義 【分析】 依據(jù)二次函數(shù)的定義回答即可 【解答】 解： A、整理得 y=x，是二次函數(shù)，與要求不符； B、 y= 1 是二次函 數(shù)，與要求不符； 第 9 頁（共 25 頁） C、 y= 二次函數(shù)，與要求不符； D、整理得： y=8x+16 是一次函數(shù)，與要求相符 故選： D 【點評】 本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵 6如圖，在 ，點 D、 E 分別在邊 ，如果 B，那么下列說法中，錯誤的是（ ） A 考點】 相似三角形的判定 【分析】 由相似三角形的判定方法得出 A、 B、 D 正確， C 不正確；即可得出結論 【解答】 解： B， B， 又 A= A， B， B= 但是 A， 相似； 正確的判斷是 A、 B、 D，錯誤的判斷是 C； 故選： C 【點評】 本題考查了相似三角形的判定方法 ；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相似是解決問題的關鍵 第 10 頁（共 25 頁） 二、填空題：（本大題共 12題，每題 4分，滿分 48 分） 7如果 ，那么銳角 = 60 【考點】 特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案 【解答】 解：由 ，得 銳角 =60， 故答案為： 60 【點評】 本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關鍵 8已知 線段 a、 b、 c、 d，如果 ，那么 = 【考點】 比例的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)等比性質(zhì)： = ，可得答案 【解答】 解：由等比性質(zhì)，得 = ， 故答案為： 【點評】 本題考查了比例的性質(zhì)，利用等比性質(zhì)是解題關鍵 9計算： = + 【考點】 *平面向量 【分析】 直接利用平面向量的加減運算法則 求解即可求得答案 【解答】 解： = 3 +4 = + 故答案為： 【點評】 此題考查了平面向量的運算法則注意去括號時符號的變化 第 11 頁（共 25 頁） 10在 ， C=90， ， ，則 6 【考點】 銳角三角函數(shù)的定義 【分析】 根據(jù)余切等于鄰邊比對邊，可得答案 【解答】 解： ， C=90， ， = ，得 2=6， 故答案為： 6 【點評】 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，余切等于鄰邊比對邊 11如圖，已知 交于點 O， 果 ， ， 么 【考點】 平行線分線段成比例 【分析】 根據(jù)平行線分線段成比例、比例的基本性質(zhì)求得 ，則 F+可 【解答】 解： ，則 ， 又 ，則 ， ， 即 ， 解 得： ， F+ 即 長是 故答案為： 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例、比例的性質(zhì)；由平行線分線段成比例定理得出比例式求出 解決問題的關鍵 第 12 頁（共 25 頁） 12如圖，在 ，點 D 是 上的點，且 果 ， ，那么 = 3 3 （用含 、 的式子表示） 【考點】 *平面向量 【分析】 由 ， ，直接利用三角形法則即可求得 ，再由 可求得答案 【解答】 解： ， ， = = ， 在 ，點 D 是 上的點，且 =3 =3 3 故答案為： 【點評】 此題考查了平面向量的知識注意掌握三角形法則的應用是解此題的關鍵 13在 ，點 O 是重心， 過點 O 且平行于 邊 點 D、 E，則 S 4： 9 【考點】 三角 形的重心 【分析】 根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得到 = ，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方交點即可 【解答】 解： 點 O 是重心， = ， = = ， S S ： 9， 故答案為： 4： 9 第 13 頁（共 25 頁） 【點評】 本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的 2 倍 14如圖，在 ， D、 E 分別是邊 的點，且 ， ， ， ，則 C= 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】 根據(jù)已知條件得到 ，由于 A= A，推出 據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論 【解答】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， A= A， D： ： 2， 故答案為： 【點評】 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵 15某水庫水壩的壩高為 10 米，迎水坡的坡度為 1： 該水庫迎水坡的長度為 26 米 第 14 頁（共 25 頁） 【考點】 解直角三角形的應用 【分析】 因為 度） =垂直距離 水平距離，可得水平距離為 24 米，根據(jù)勾股定理可得背水面的坡長為 26 米 【解答】 解： 大壩高 10 米，背水壩 的坡度為 1： 水平距離 =104（米） 根據(jù)勾股定理，可得背水面的坡長為： =26（米） 故答案為： 26 【點評】 此題主要考查了坡度問題應用，此題的關鍵是熟悉且會靈活應用公式： 度） =垂直距離 水平距離 16如圖， 別是 上的高， ， ，則 【考點】 解直角三角形 【專題】 推理填空題 【分析】 根據(jù) 別是 上的高，可以求得 關系， ，可以求得 長，從而可以求出 三角函數(shù)值，進而可以得到 三角函數(shù)值，本題得以解決 【解答】 解： 別是 上的高， 0， 0， ， ， ， ， 第 15 頁（共 25 頁） 故答案為： 【點評】 本題考查解直角三角形，解題的關鍵找出各個角之間的關系，利用等角的三角函數(shù)值相等，可以求得所求的角的三角函數(shù)值 17已知拋物線 y1=a（ x m） 2+k 與 y2=a（ x+m） 2+k（ m0）關于 y 軸對稱，我們稱 為 “和諧拋物線 ”請寫出拋物線 y= 4x+7 的 “和諧拋物線 ” y= 46x+7 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換 【專題】 新定義 【分析】 根據(jù)關于 y 軸對稱的點的坐標規(guī)律：縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案 【解答】 解：拋物線 y= 4x+7 的 “和諧拋物線 ”是 y= 4（ x） 2+6（ x） +7， 化簡，得 y= 46x+7， 故答案為： y= 46x+7 【點評】 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了關于 y 軸對稱的點的坐標規(guī)律 18如圖，在梯形 ， B=45，點 E 是 中點， C， 0，若，則 長是 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】 計算題；圖形的相似 【分析】 延長 延長線于點 F，將 換成 由三角形相似，借助比的特性，即能得出結論 【解答】 解：延長 延長線于點 F，如圖， 第 16 頁（共 25 頁） F， 點 E 是 中點， E=1， 在 ， ， F， F， B= F+ 5， C， 0， F+ 5， F= F， = ，即 = ， = ， 故答案為： 【點評】 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是巧妙的利用比的特性，化未知為已知，從而得出結論 三、解答題：（本 大題共 7題，滿分 78分） 19計算： + 【考點】 特殊角的三角函數(shù)值 【分析】 根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實數(shù)的運算，根據(jù)實數(shù)的運算，可得答案 【解答】 解：原式 =（ ） 2 +（ ） 2 = +3 第 17 頁（共 25 頁） = 【點評】 本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關鍵 20如圖，已知 ，點 D、 E 分別在邊 ， F 是 長線上的點，聯(lián)結 ，求 的值 【考點】 平行線分線段成比例 【分析】 由平行線分線段成比例定理和已知條件得出 ，證出 由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)即可得出結果 【解答】 解： ， 又 ， ， = ， ， =2， =2 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例定理以及逆定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，證明 解決問題的關鍵 21已知拋物線 y=bx+c 如圖所示，請結合圖象中所給信息完成以下問題： （ 1）求拋物線的表達式； 第 18 頁（共 25 頁） （ 2）若該拋物線經(jīng)過一次平 移后過原點 O，請寫出一種平移方法，并寫出平移后得到的新拋物線的表達式 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【分析】 （ 1）根據(jù)題意和圖形列出三元一次方程組，解方程組得到答案 （ 2）由于平移前后的二次項系數(shù)不變，而平移后的拋物線過原點，則平移后的拋物線解析式中常數(shù)項為 0，然后根據(jù)這兩個條件寫出一個解析式即可 【解答】 解：（ 1）由題意得 ， 解得 函數(shù)的解析式為： y= 2x+3； （ 2）平移拋物線 y= 2x+3，使它經(jīng)過原點，則平移后的拋物線解析式可為 y= 2x 故向下平移 3 個單位，即可得到過原點 O 的拋物線 【點評】 本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)圖象與交換變換，掌握待定系數(shù)法和平移的規(guī)律是解題的關鍵 22如圖，已知四邊形 對角線 于點 F，點 E 是 一點，且 （ 1）求證： （ 2）求證： C=B 第 19 頁（共 25 頁） 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì) 【專題】 證明題 【分析】 （ 1）根據(jù)已知條件和角的和差得到 于 可得到結論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，由 出 相似三角形的性質(zhì)即可得到結論 【解答】 證明：（ 1） （ 2） ， ， 即： C=B 【點評】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵 23如圖，一條細繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動已知細繩從懸掛點 O 到球心的長度為 50 厘米，小球在 A、 B 兩個位置時達到最高點， 且最高點高度相同（不計空氣阻力），在 C 點位置時達到最低點達到左側最高點時與最低點時細繩相應所成的角度為 37，細繩在右側達到最高點時與一個水平放置的擋板 成的角度為 30（ （ 1）求小球達到最高點位置與最低點位置時的高度差 （ 2）求 段細繩的長度 第 20 頁（共 25 頁） 【考點】 解直角三角形的應用 【分析】 （ 1）根據(jù)題意得出 C C 進而得出答案； （ 2）根 據(jù)題意得出 D D BD10，進而得出 長，進而得出答案 【解答】 解：（ 1）連接 點 F，可知， 由題意可得： 7， 則 C C 50 500（ 故 A， C 之間的高度差為 10 （ 2）由（ 1）知， B， C 的高度差也是 10 故 D D BD10（ 解得： 0， 則 C 0 20=30（ 答： 段細繩的長度為 30 【點評】 此題主要考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題意得出 關系是解題關鍵 24在平面直角坐標系 ，拋物線 y=3ax+c 與 x 軸交于 A（ 1， 0）、 B 兩點（ A 點在 與 y 軸交于點 C（ 0， 2） （ 1）求拋物線的對稱軸及 B 點的坐標； （ 2）求證： 第 21 頁（共 25 頁） （ 3）點 D 是射線 一點（不與 B、 C 重合），聯(lián)結 點 B 作 足為 一點 E，若 似，求點 D 的坐標 【考點】 二次函數(shù)綜合題 【分析】 （ 1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得對稱軸，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得 B 點坐標； （ 2）根據(jù)正切函數(shù)值相等的兩銳角相等，可得答案； （ 3）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似，可得 據(jù)余角的性質(zhì)，可得 據(jù)等腰三角形的判定，可得 長，根據(jù)勾股定理，可得 據(jù) a 的值 長，可得 D 點坐標； 根據(jù)等腰三角形的判定，可得 長，根 據(jù)勾股定理，可得 m 的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案 【解答】 解：（ 1）將 A、 C 點坐標代入函數(shù)解析式，得 ，解得 ， 拋物線的解析式為 y= x+2= （ x ） 2+ ， 對稱軸為 x= ， A 到對稱軸的距離是 （ 1） = ， B 點的橫坐標為， + =4， B 點坐標為（ 4， 0）； （ 2）證明：如圖 1 ， ， ， ， 第 22 頁（共 25 頁） =2， 2， （ 3）垂足為 一點 E，得 鈍角三角形， 0， ，如圖 2 ， 過 D 作 H， C=2 = = ， 設 DH=a， a， 2a， 4=（ 4 2a） 2+ 解得 a= ， a=2（舍）， 當 a= 時， 2a= ， D 點坐標為（ ， ）； ，如圖 3 ， 此時 B=4， y= x+2， 設 D（ m， m+2）， m+2） 2=16，解得 m= ， m=4（舍）， 第 23 頁（共 25 頁） 當 m= 時， m+2= ， D（ ， ）， 綜上所述： D 點坐標為（ ， ），（ ， ） 【點評】 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)值相等的兩銳角相等是解題關鍵；利用兩角對應相等