第 1 頁（共 28 頁） 2015 年甘肅省河西五地市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分 有一項是符合題目要求的 . 1設(shè)集合 M=x|x+2 0，集合 ，則 M N=（ ） A x|x 2 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 2 2下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個命題： |z|=2， i， z 的共軛復(fù)數(shù)為 1+i， z 的虛部為 1 其中真命題為（ ） A 下列推斷錯誤的是（ ） A命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題為 “若 x1 則 3x+20” B命題 p：存在 ，使得 0，則非 p：任意 xR，都有 x2+x+10 C若 p 且 q 為假命題，則 p， q 均為假命題 D “x 1”是 “3x+2 0”的充分不必要條件 4若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下 圖所示，則這個棱柱的體積為（ ） A B C D 6 第 2 頁（共 28 頁） 5已知平面向量 與 的夾角為 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，則 | |=（ ） A 1 B C 3 D 2 6函數(shù) y=x（ a 0， a1）的圖象恒過定點(diǎn) A，若點(diǎn) A 在直線 mx+1=0（ 0）上，則 的最小值為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7等比數(shù)列 ， ， ，則數(shù)列 前 8 項和等于（ ） A 6 B 5 C 3 D 4 8已知集合 表示的平面區(qū)域為 ，若在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) P（ x， y），則點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足不等式 x2+ 的概率為（ ） A B C D 9已知函數(shù) f（ x）的定義域為 1， 4，部分對應(yīng)值如下表， f（ x）的導(dǎo)函數(shù) y=f（ x）的圖象如圖所示 x 1 0 2 3 4 f（ x） 1 2 0 2 0 當(dāng) 1 a 2 時，函數(shù) y=f（ x） a 的零點(diǎn)的個數(shù)為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 10定義行列式運(yùn)算： 若將函數(shù) 的圖象向左平移m（ m 0）個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則 m 的最小值是（ ） A B C D 第 3 頁（共 28 頁） 11已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) O，并且經(jīng)過點(diǎn) M（ 2， 若點(diǎn) M 到該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3，則 |（ ） A B C 4 D 12設(shè) f（ x）是定義在 R 上的恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù) x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y），若， an=f（ n）（ nN*），則數(shù)列 前 n 項和 取值范圍是（ ） A ， 2） B ， 2 C ， 1） D ， 1 二、填空題（本大題共 4小題，每小題 5分，共計 20分） 13定義某種運(yùn)算 ， S=ab 的運(yùn)算原理如圖；則式子 53+24= 14若 =4，則 15已知雙曲線 ， 點(diǎn) 其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線上一點(diǎn)，若 |值為 16已知曲線 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 軸的切線，函數(shù) f（ x） =3x+1 在 1， 2上單調(diào)遞減，則 a 的范圍為 第 4 頁（共 28 頁） 三、解答題（本大題有 6小題，共 70分 明過程或演算步驟） 17在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 （ ）求 值； （ ）若 ，且 ，求 a 和 c 的值 18為了了解湖南各景點(diǎn)在大眾中的熟知度，隨機(jī)對 15 65 歲的人群抽樣了 n 人，回答問題 “湖南省有哪幾個著名的旅游景點(diǎn)？ ”統(tǒng)計結(jié)果如下圖表 組號 分組 回答正確的人數(shù) 回答正確的人數(shù) 占本組的頻率 第 1 組 15， 25） a 2 組 25， 35） 18 x 第 3 組 35， 45） b 4 組 45， 55） 9 5 組 55， 65 3 y （ ）分別求出 a， b， x， y 的值； （ ）從第 2， 3， 4 組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取 6 人，求第 2， 3， 4 組每組各抽取多少人？ （ ）在（ ）抽取的 6 人中隨機(jī)抽取 2 人，求所抽取的人中恰好沒有第 3 組人的概率 19已知四棱錐 P 面 A=60、邊長為 a 的菱形，又 底 D，點(diǎn) M、 N 分別是棱 中點(diǎn) （ 1）證明： 平面 第 5 頁（共 28 頁） （ 2）證明：平面 平面 （ 3）求點(diǎn) A 到平面 距離 20已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，左右焦點(diǎn)分別為 |2，點(diǎn)（ 1， ）在橢圓C 上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過 直線 l 與橢圓 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)，且 面積為 ，求以 圓心且與直線 21已知函數(shù) ，（其中常數(shù) m 0） （ 1）當(dāng) m=2 時，求 f（ x）的極大值； （ 2）試討論 f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）上的單調(diào)性； （ 3）當(dāng) m3， +）時，曲線 y=f（ x）上總存在相異兩點(diǎn) P（ f（ 、 Q（ f（ ，使得曲線 y=f（ x）在點(diǎn) P、 Q 處的切線互相平行，求 x1+取值范圍 請考生在第 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 何證明選講 22如圖所示， 圓 O 的切線， A 為切點(diǎn)， 圓 O 于 B， C 兩點(diǎn)， 0， 0， 角平分線與 圓 O 分別交于點(diǎn) D 和 E （ ）求證 C=C （ ） 求 E 的值 第 6 頁（共 28 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，圓 C 的參數(shù)方程 為參數(shù)）以 O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ ）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ ）直線 l 的極坐標(biāo)方程是 ，射線 = 與圓 C 的交點(diǎn)為 O、 P，與直線l 的交點(diǎn)為 Q，求線段 長 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|2x+1|， g（ x） =|x|+a （ ）當(dāng) a=0 時，解不等式 f（ x） g（ x）； （ ）若存在 xR，使得 f（ x） g（ x）成立，求實數(shù) a 的取值范圍 第 7 頁（共 28 頁） 2015 年甘肅省河西五地市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分 有一項是符合題目要求的 . 1設(shè)集合 M=x|x+2 0，集合 ，則 M N=（ ） A x|x 2 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 2 【考點(diǎn)】 并集及其運(yùn)算；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；一元二次不等式的解法 【專題】 計算題 【分析】 根據(jù)題意先求出集合 M 和集合 N，再求 M N 【解答】 解： 集合 M=x|x+2 0=x| 2 x 1， 集合 =x|2 x22=x| x2=x|x 2， M N=x|x 2， 故選 A 【點(diǎn)評】 本題考查集合的運(yùn)算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答 2下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個命題： |z|=2， i， z 的共軛復(fù)數(shù)為 1+i， z 的虛部為 1 其中真命題為（ ） A 考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【專題】 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 求出 |z|，可判斷 真假；化簡 判斷 真假； ，可得 z 的共軛復(fù)數(shù)為 1 i， z 的虛部為 1，由此可 得結(jié)論 第 8 頁（共 28 頁） 【解答】 解： |z|= = ，故命題為假； = =2i，故命題為真； ， z 的共軛復(fù)數(shù)為 1 i，故命題 ， z 的虛部為 1，故命題為真 故 真命題為 選： C 【點(diǎn)評】 本題考查命題真假的判定，考查復(fù)數(shù)知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題 3下列推斷錯誤的是（ ） A命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題為 “若 x1 則 3x+20” B命題 p：存在 ，使得 0，則非 p：任意 xR，都有 x2+x+10 C若 p 且 q 為假命題，則 p， q 均為假命題 D “x 1”是 “3x+2 0”的充分不必要條件 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【專題】 簡易邏輯 【分析】 A，寫出命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題，可判斷 A； B，寫出命題 p： “存在 ，使得 0”的否定 p，可判斷 B； C，利用復(fù)合命題的真值表可判斷 C； D， 3x+2 0x 2 或 x 1，利用充分必要條件的概念可判斷 D 【解答】 解：對于 A，命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題為 “若 x1 則 3x+20”，正確； 對于 B，命題 p：存在 ，使得 0，則非 p：任意 xR，都有 x2+x+10，正確； 對于 C，若 p 且 q 為假命題，則 p， q 至少有一個為假命題，故 C 錯誤； 對于 D， 3x+2 0x 2 或 x 1，故 “x 1”是 “3x+2 0”的充分不必要條件，正確 綜上所述，錯誤的選項為： C， 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查全稱命題與特稱命題的理解與應(yīng)用，考查復(fù)合命題與充分必要條件的真假判斷，屬于中檔題 4若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為（ ） 第 9 頁（共 28 頁） A B C D 6 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專題】 計算題 【分析】 由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個三棱柱，其高已知，底面正三角形的高為 ，故先解三角形求出底面積，再由體積公式求解其體積即可 【解答】 解：此幾何體為一個三棱柱，棱柱的高是 4，底面正三角形的高是 ， 設(shè)底面邊長為 a，則 ， a=6， 故三棱柱體積 故選 B 【點(diǎn)評】 本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是本棱柱的體積三視圖的投影規(guī)則是： “主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等 ”三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強(qiáng)的可能 5已知平面向量 與 的夾角為 ，且 | |=1， | +2 |=2 ，則 | |=（ ） A 1 B C 3 D 2 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【專題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 由已知將， | +2 |=2 ，兩邊平方，得到 ， 的模的等式，解之即可 【解答】 解：由已知， | +2 |2=12，即 ，所以 | |2+4| | | +4=12，所以 | |=2； 故選 D 【點(diǎn)評】 本題考查了向量的模的求法；一般的，要 求向量的模，先求向量的平方 第 10 頁（共 28 頁） 6函數(shù) y=x（ a 0， a1）的圖象恒過定點(diǎn) A，若點(diǎn) A 在直線 mx+1=0（ 0）上，則 的最小值為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考點(diǎn)】 基本不等式 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 函數(shù) y=x（ a 0， a1）的圖象恒過定點(diǎn) A（ 1， 1），由于點(diǎn) A 在直線 mx+1=0（ 0）上，可得 m+n=1再利用 “乘 1 法 ”與基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解：函數(shù) y=x（ a 0， a1）的圖象恒過定點(diǎn) A（ 1， 1）， 點(diǎn) A 在直線 mx+1=0（ 0）上， m+n=1 則 =（ m+n） =2+ =4，當(dāng)且僅當(dāng) m=n= 時取等號 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查了 “乘 1 法 ”與基本不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性 質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 7等比數(shù)列 ， ， ，則數(shù)列 前 8 項和等于（ ） A 6 B 5 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前 n 項和 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a1a8=a2a40，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，整體代入計算可得 【解答】 解： 等比數(shù)列 ， ， a45=10， 數(shù)列 前 8 項和 S=+a1a2=a44 =4a4=4 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及對數(shù)的運(yùn)算，基本知識的考查 第 11 頁（共 28 頁） 8已知集合 表示的平面區(qū)域為 ，若在區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) P（ x， y），則點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足不等式 x2+ 的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型；簡單線性規(guī)劃 【專題】 概率與統(tǒng)計 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖， 則對應(yīng)的區(qū)域為 由 ，解得 ，即 B（ 4， 4）， 由 ，解得 ，即 A（ ， ）， 直線 2x+y 4=0 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， 0）， 則 面積 S= = ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足不等式 x2+ 區(qū)域面積 S= ， 則由幾何概型的概率公式得點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足不等 式 x2+ 的概率為 = ， 故選： D 第 12 頁（共 28 頁） 【點(diǎn)評】 本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型，二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，求出滿足條件 A 的基本事件對應(yīng)的 “幾何度量 ”N（ A），再求出總的基本事件對應(yīng)的 “幾何度量 ”N，最后根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解 9已知函數(shù) f（ x）的定義域為 1， 4，部分對應(yīng)值如下表， f（ x）的導(dǎo)函數(shù) y=f（ x）的圖象如 圖所示 x 1 0 2 3 4 f（ x） 1 2 0 2 0 當(dāng) 1 a 2 時，函數(shù) y=f（ x） a 的零點(diǎn)的個數(shù)為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點(diǎn)】 函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 數(shù)形結(jié)合；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，畫出原函數(shù)的草圖，利用 1 a 2，即可得到函數(shù) y=f（ x） a 的零點(diǎn)的個數(shù) 【解答】 解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，可得 2 為函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù) y=f（ x）的圖象如圖所示： 第 13 頁（共 28 頁） 因為 f（ 0） =f（ 3） =2， 1 a 2， 所以函數(shù) y=f（ x） a 的零點(diǎn)的個數(shù)為 4 個 故選： C 【點(diǎn)評】 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減 10定義行列式運(yùn)算： 若將函數(shù) 的圖象向左平移m（ m 0）個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則 m 的最小值是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；二階行列式與逆矩陣 【專題】 計算題；新定義；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由定義的行列式計算得到函數(shù) f（ x）的解析式，化簡后得到 y=f（ x+m）的解析式，由函數(shù) y=f（ x+m）是奇函數(shù)，則 x 取 0 時對應(yīng)的函數(shù)值等于 0，由此求出 m 的值，進(jìn)一步得到 m 的最小值 【解答】 解：由定義的行列式運(yùn)算，得 = = = = 將函數(shù) f（ x）的圖象向左平移 m（ m 0）個單位后， 所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 第 14 頁（共 28 頁） 由該函數(shù)為奇函數(shù)，得 ， 所以 ，則 m= 當(dāng) k=0 時， m 有最小值 故選 C 【點(diǎn)評】 本題考查了二階行列式與矩陣，考查了函數(shù) y=x+）的圖象變換，三角函數(shù)圖象平移的原則是 “左加右減，上加下減 ”，屬中檔題 11已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) O，并且經(jīng)過點(diǎn) M（ 2， 若點(diǎn) M 到該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3，則 |（ ） A B C 4 D 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【專題】 計算題 【分析】 關(guān)鍵點(diǎn) M（ 2， 該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3，利用拋物線的定義，可求拋物線方程，進(jìn)而可得點(diǎn) M 的坐標(biāo)，由此可求 | 【解答】 解：由題意，拋物線關(guān)于 x 軸對稱，開口向右，設(shè)方程為 p 0） 點(diǎn) M（ 2， 該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3， 2+ =3 p=2 拋物線方程為 x M（ 2， | 故選 B 【點(diǎn)評】 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義求出拋物線方程 12設(shè) f（ x）是定義在 R 上的恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù) x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y），若， an=f（ n）（ nN*），則數(shù)列 前 n 項和 取值范圍是（ ） A ， 2） B ， 2 C ， 1） D ， 1 第 15 頁（共 28 頁） 【考點(diǎn)】 抽象函數(shù)及其應(yīng)用 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析 】 根據(jù) f（ x） f（ y） =f（ x+y），令 x=n， y=1，可得數(shù)列 以 為首項，以 為等比的等比數(shù)列，進(jìn)而可以求得 而 取值范圍 【解答】 解： 對任意 x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y）， 令 x=n， y=1，得 f（ n） f（ 1） =f（ n+1）， 即 = =f（ 1） = ， 數(shù)列 以 為首項，以 為等比的等比數(shù)列， an=f（ n） =（ ） n， =1（ ） n ， 1） 故 選 C 【點(diǎn)評】 本題主要考查了等比數(shù)列的求和問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對任意 x， yR，都有 f（ x） f（ y） =f（ x+y）得到數(shù)列 等比數(shù)列，屬中檔題 二、填空題（本大題共 4小題，每小題 5分，共計 20分） 13定義某種運(yùn)算 ， S=ab 的運(yùn)算原理如圖；則式子 53+24= 14 【考點(diǎn)】 選擇結(jié)構(gòu) 【專題】 圖表型 第 16 頁（共 28 頁） 【分析】 通過程序框圖判斷出 S=ab 的解析式，求出 53+24 的值 【解答】 解：有框圖知 S=ab= 53+24=5（ 3 1） +4（ 2 1） =14 故答案為 14 【點(diǎn)評】 新定義題是近幾年?？嫉念}型，要重視解決新定義題關(guān)鍵是理解題中給的新定義 14若 =4，則 【考點(diǎn)】 二倍角的正弦 【專題】 三角函數(shù)的求值 【分析】 先利用正弦的二倍角公式變形，然后除以 1，將 1 用同角三角函數(shù)關(guān)系代換，利用齊次式的方法化簡，可求出所求 【解答】 解：若 =4，則 = = = = ， 故答案為 【點(diǎn)評】 本題主要考查了二倍角公式，以及齊次式的應(yīng)用，同時考查了計算能力， 屬于中檔題 15已知雙曲線 ，點(diǎn) 其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線上一點(diǎn)，若 |值為 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【專題】 計算題；壓軸題 【分析】 根據(jù)雙曲線方程為 ，可得焦距 ，因為 以 |+|=|再結(jié)合雙曲線的定義，得到 | |2，最后聯(lián)解、 配方，可得（ | 2=12，從而得到 |值為 【解答】 解： |+|=| 雙曲線方程為 ， a2=， c2=a2+，可得 第 17 頁（共 28 頁） |+|=|=8 又 P 為雙曲線 上一點(diǎn)， | |2a=2，（ | | 2=4 因此（ | 2=2（ |+|）（ | | 2=12 |值為 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題根據(jù)已知雙曲線上對兩個焦點(diǎn)的張角為直角的兩條焦半徑，求它們長度的和，著重考查了雙曲線的基本概念與簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 16已知曲線 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 軸的切線，函數(shù) f（ x） =3x+1 在 1， 2上單調(diào)遞減，則 a 的范圍為 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 根據(jù)曲線 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 軸的切線，即 y=0 有解，利用 f（ x） =3x+1在 1， 2上單調(diào)遞減，則 f（ x） 0 恒成立 【解答】 解：因為 y=（ a 3） x3+在垂直于 y 軸的切線，即 y=0 有解，即y= 在 x 0 時有解， 所以 3（ a 3） =0，即 a 3 0，所以此時 a 3 函數(shù) f（ x） =3x+1 在 1， 2上單調(diào)遞減，則 f（ x） 0 恒成立， 即 f（ x） =3230 恒成立，即 ， 因為函數(shù) 在 1， 2上單調(diào)遞增，所以函數(shù) 的最大值為 ， 所以 ，所以 綜上 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的基本應(yīng)用 三、解答題（本大題有 6小題，共 70分 明過程或演算步驟） 第 18 頁（共 28 頁） 17在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 （ ）求 值； （ ）若 ，且 ，求 a 和 c 的值 【考點(diǎn)】 正弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的正弦函數(shù)；余弦定理 【專題】 計算題；轉(zhuǎn)化思想 【分析】 （ 1）首先利用正弦定理化邊為角，可得 222后利用兩角和與差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡求值即可 （ 2）由向量數(shù)量積的定義可得 ，結(jié)合已知及余弦定理可得 a2+2，再根據(jù)完全平方式易得a=c= 【解答】 解：（ I）由正弦定理得 a=2b=2c=2 則 22 故 可得 即 B+C） =3 可得 ， 因此 （ ：由 ，可得 ， ， 由 b2=a2+2 可得 a2+2， 所以（ a c） 2=0，即 a=c， 所以 【點(diǎn)評】 本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式、向量數(shù)量積的定義等基礎(chǔ)知識，考查了基本運(yùn)算能力 18為了了解湖南各景點(diǎn)在大眾中的熟知度，隨機(jī)對 15 65 歲的人群抽樣了 n 人，回答問題 “湖南省有哪幾個著名的旅游景點(diǎn)？ ”統(tǒng)計結(jié)果如下圖表 組號 分組 回答正確的人數(shù) 回答正確的人數(shù) 占本組的頻率 第 19 頁（共 28 頁） 第 1 組 15， 25） a 2 組 25， 35） 18 x 第 3 組 35， 45） b 4 組 45， 55） 9 5 組 55， 65 3 y （ ）分別求出 a， b， x， y 的值； （ ）從第 2， 3， 4 組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取 6 人，求第 2， 3， 4 組每組各抽取多少人？ （ ）在（ ）抽取的 6 人中隨機(jī)抽取 2 人，求所抽 取的人中恰好沒有第 3 組人的概率 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖 【專題】 概率與統(tǒng)計 【分析】 （ I）由頻率表中第 4 組數(shù)據(jù)可知，第 4 組的頻數(shù)為 25，再結(jié)合頻率分布直方圖求得 n， a， b， x，y 的值； （ 為第 2， 3， 4 組回答正確的人數(shù)共有 54 人，抽取比例為 ，根據(jù)抽取比例計算第 2， 3， 4 組每組應(yīng)抽取的人數(shù)； （ 出從 6 人中隨機(jī)抽取 2 人的所有可能的結(jié)果，共 15 基本事件，其中恰好沒有第 3 組人共 3 個基本事件，利用古典概型概率 公式計算 【解答】 解：（ ）由頻率表中第 4 組數(shù)據(jù)可知，第 4 組總?cè)藬?shù)為 ， 再結(jié)合頻率分布直方圖可知 n= ， a=1000， b=10007， ； 第 20 頁（共 28 頁） （ ）因為第 2， 3， 4 組回答正確的人數(shù)共有 54 人， 利用分層抽樣在 54 人中抽取 6 人，每組分別抽取的人數(shù)為：第 2 組： 人；第 3 組：人；第 4 組： 人 （ ）設(shè)第 2 組 2 人為： 3 組 3 人為： 4 組 1 人為： 則從 6 人中隨機(jī)抽取 2 人的所有可能的結(jié)果為：（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ ，（ 3），（ （ 15 個基本事件， 其中恰好沒有第 3 組人共 3 個基本事件， 所抽取的人中恰好沒有第 3 組人的概率是： 【點(diǎn)評】 本題考查了頻率分布表與頻率分布直方圖，考查了古典概型的概率計算，解題的關(guān)鍵是讀懂頻率分布直方圖 19已知四棱錐 P 面 A=60、邊長為 a 的菱形，又 底 D，點(diǎn) M、 N 分別是棱 中點(diǎn) （ 1）證明： 平面 （ 2）證明：平面 平面 （ 3）求點(diǎn) A 到平面 距離 【考點(diǎn)】 直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計算 【專題】 證明題；綜合題 【分析】 （ 1）取 點(diǎn) Q，連接 加上 D，于是 利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，即可解決問題； （ 2）易證 因為底面 A=60、邊長為 a 的菱形，且 M 為 點(diǎn)，然后利用平面與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明； 第 21 頁（共 28 頁） （ 3）因為 M 是 點(diǎn)，所以點(diǎn) A 與 D 到平面 距離，過點(diǎn) D 作 H，由（ 2）平面 面 以 平面 點(diǎn) D 到平面 距離，從而求解 【解答】 解：（ 1）證明：取 點(diǎn) Q，連接 因為 M、 N 分別是棱 點(diǎn)， 所以 D，于是 平面 （ 2） 因為底面 A=60、邊長為 a 的菱 形，且 M 為 點(diǎn)， 所以 又 D=D， 所以 平面 平面 平面 （ 3）因為 M 是 點(diǎn)，所以點(diǎn) A 與 D 到平面 距離 過點(diǎn) D 作 H，由（ 2）平面 平面 以 平面 故 點(diǎn) D 到平面 距離 . 點(diǎn) A 到平面 距離為 第 22 頁（共 28 頁） 【點(diǎn)評】 本題主要考查空間線面的位置關(guān)系，空間角的計算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和探究能力，同時考查學(xué)生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想 20已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，左右焦點(diǎn)分別為 |2，點(diǎn)（ 1， ）在橢圓C 上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過 直線 l 與橢圓 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)，且 面積為 ，求以 圓心且與直線 【考點(diǎn)】 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題 【專題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 （ ）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題設(shè)中的焦距求得 c 和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（ 1， ）到兩焦點(diǎn)的距離求得 a，進(jìn)而根據(jù) b= 求得 b，得到橢圓的方程 （ ）先看當(dāng)直線 l x 軸，求得 A， B 點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得 面積與題意不符 故排除，進(jìn)而可設(shè)直線 l 的方程為： y=k（ x+1）與橢圓方程聯(lián)立消 y，設(shè) A（ B（ 根據(jù)韋達(dá)定理可求得 x1+x1而根據(jù)表示出 |距離和圓的半徑，求得 k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程 【解答】 解：（ ）設(shè)橢圓的方程為 ，由題意可得： 橢圓 C 兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為 1， 0）， 1， 0） a=2，又 c=1， 1=3， 故橢圓的方程為 （ ）當(dāng)直線 l x 軸，計算得到： ， ，不符合題意 當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時，設(shè)直線 l 的方程為： y=k（ x+1）， 第 23 頁（共 28 頁） 由 ，消去 y 得（ 3+412=0 顯然 0 成立，設(shè) A（ B（ 則 ， 又 即 ， 又圓 半徑 ， 所以 ， 化簡，得 17k4+18=0， 即（ 1）（ 178） =0，解得 k=1 所以， ， 故圓 方程為：（ x 1） 2+ 【點(diǎn)評】 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線， 橢圓與圓的關(guān)系考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識，創(chuàng)造性地解決問題的能力 21已知函數(shù) ，（其中常數(shù) m 0） （ 1）當(dāng) m=2 時，求 f（ x）的極大值； （ 2）試討論 f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）上的單調(diào)性； （ 3）當(dāng) m3， +）時，曲線 y=f（ x）上總存在相異兩點(diǎn) P（ f（ 、 Q（ f（ ，使得曲線 y=f（ x）在點(diǎn) P、 Q 處的切線互相平行，求 x1+取值范圍 【考點(diǎn)】 基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單 調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【專題】 綜合題 第 24 頁（共 28 頁） 【分析】 （ 1）利用導(dǎo)數(shù)，我們可以確定函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可求 f（ x）的極大值； （ 2）求導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性； （ 3）曲線 y=f（ x）在點(diǎn) P、 Q 處的切線互相平行，意味著導(dǎo)數(shù)值相等，由此作為解題的突破口即可 【解答】 解：（ 1）當(dāng) m=2 時， （ x 0） 令 f（ x） 0，可得 或 x 2； 令 f（ x） 0，可得 ， f（ x）在 和（ 2， +）上單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增 故 （ 2） （ x 0， m 0） 當(dāng) 0 m 1 時，則 ，故 x（ 0， m）， f（ x） 0； x（ m， 1）時， f（ x） 0 此時 f（ x）在（ 0， m）上單調(diào)遞減，在（ m， 1）單調(diào)遞增； 當(dāng) m=1 時，則 ，故 x（ 0， 1），有 恒成立， 此時 f（ x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞減； 當(dāng) m 1 時，則 ， 故 時， f（ x） 0； 時， f（ x） 0 此時 f（ x）在 上單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增 （ 3）由題意，可得 f（ =f（ 0，且 x1 即 第 25 頁（共 28 頁） x1不等式性質(zhì)可得 恒成立， 又 m 0 對 m3， +）恒成立 令 ，則 對 m3， +）恒成立 g（ m）在 3， +）上單調(diào)遞增， 故 從而 “ 對 m3， +）恒成立 ”等價于 “ ” x1+【點(diǎn)評】 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，我們可解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導(dǎo)是我們解題的關(guān)鍵 請考生在第 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 何證明選講 22如圖所示， 圓 O 的切線， A 為切點(diǎn)， 圓 O 于 B， C 兩點(diǎn)，