難點 9 指數函數、對數函數問題 指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題 . 難點磁場 ( )設 f(x)=11,F(x)=x21+f(x). (1)試判斷函數 f(x)的單調性，并用函數單調性定義，給出證明； (2)若 f(x)的反函數為 f 1(x),證明：對任意的自然數 n(n 3),都有 f 1(n)1(3)若 F(x)的反函數 F 1(x),證明：方程 F 1(x)=0 有惟一解 . 案例探究 例 1已知過原點 O 的一條直線與函數 y=圖象交于 A、 B 兩點，分別過點 A、B 作 y 軸的平行線與函數 y=圖象交于 C、 D 兩點 . (1)證明：點 C、 D 和原點 O 在同一條直線上； (2)當 x 軸時，求點 命題意圖：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力 級題目 . 知識依托： (1)證明三點共線的方法： (2)第 (2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程 (1)，即可求得 A 點坐標 . 錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題 . 技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A 的坐標 . (1)證明：設點 A、 B 的橫坐標分別為 題意知： ,則 A、 B 縱坐標分別為、 B 在過點 O 的直線上，所以228118 x xx x ,點 C、 D 坐標分別為(x1,(x2,由于 18 x= 2lo g,lo 以 斜率： 18212 x xx x , 斜率： 28222 x xx x ，由此可知： k1= O、 C、 D 在同一條直線上 . (2)解：由 行于 x 軸知： 即： 1入 于 知 0, , 3 ,則點 A 的坐標為( 3 ， ). 例 2在 面上有一點列 P1(a1,P2(a2, ,Pn(an, ,對每個自然數 n 點 y=2000(10a)x(0bn,為邊長能構成一個三角形的充要條件是 + (10a)2+(10a) 10,解得 5 1). 5( 5 1)1 時，函數 y= y=(1 a) ) 二、填空題 3.( ) 已知函數f(x)=)02( )(lo g)0( 22 則 1(x 1)=_. 4.( )如圖，開始時，桶 1 中有 a L 水， t 分鐘后剩余的水符合指數衰減曲線 y= 么桶 2 中水就是 y2=a 設過 5 分鐘時，桶1 和桶 2 的水相等，則再過 _分鐘桶 1 中的水只有8a. 三、解答題 5.( )設函數 f(x)=x 3a)(a0且 a 1),當點 P(x,y)是函數 y=f(x)圖象上的點時，點 Q(x 2a, y)是函數 y=g(x)圖象上的點 . (1)寫出函數 y=g(x)的解析式； (2)若當 x a+2,a+3時，恒有 |f(x) g(x)| 1,試確定 a 的取值范圍 . 6.( )已知函數 f(x)=a0 且 a 1),(x (0,+ ),若 x1,(0,+ ),判斷21 f(f(與 f(2 21 )的大小 ，并加以證明 . 7.( )已知函數 x,y 滿足 x 1,y a0 且 a1),求 取值范圍 . 8.( )設不等式 2(+9(9 0 的解集為 M，求當 x M 時函數f(x)=(最大、最小值 . 參考答案 難點磁場 解： (1)由110,且 2 x 0 得 F(x)的定義域為 ( 1， 1)，設 1 1,則 F( F(12 212 1 )+(112222 11lo g ) )1)(1( )1)(1(l o g)2)(2( 21 21221 12 xx , ,2 ,2 ,上式第 2 項中對數的真數大于 1. 因此 F( F(0,F(F( F(x)在 ( 1， 1）上是增函數 . (2)證明：由 y=f(x)=112y=12 12,11 f 1(x)=12 12 f(x)的值域為 R， 1(x)的定義域為 R. 當 n 3 時， n) 12211112 21112 121 nn n 用數學歸納法易證 2n2n+1(n 3),證略 . (3)證明： F(0)=21, F 1(21)=0, x=21是 F 1(x)=0 的一個根 1(x)=0 還有一個解x0(1),則 0,于是 F(0)=x0(1) x)=0 有惟一解 . 殲滅難點訓練 一、 題意： g(x)+h(x)=0x+1) 又 g( x)+h( x)=0 x+1)g(x)+h(x)=0 x+1) 由得： g(x)=2x,h(x)=0x+1)2x. 答案： C a1 時，函數 y=圖象只能在 中選，又 a1 時， y=(1 a)x 為減函數 . 答案： B 二、 易求得 1(x)=)1( 2)1( 而： f 1(x 1)= ) ,2)2(),1(lo )2( ,2)2(),1(lo 題意， 5 分鐘后， y1=nt,y2=a nt,y1= n=t 分鐘桶 1 中的水只有8a,則 y1=n(5+t)=8a,解得 t=10. 答案： 10 三、 (1)設點 Q 的坐標為 (x ,y ),則 x =x 2a,y = y.即 x=x +2a,y= y . 點 P(x,y)在函數 y=x 3a)的圖象上， y =x +2a 3a),即 y =21, g(x)=. (2)由題意得 x 3a=(a+2) 3a= 2a+20;= )3( 10,又 a0且 a 1, 0 a1, |f(x) g(x)|=|x 3a) |=|4 |f(x) g(x)| 1, 1 4 1, 0 a 1, a+22a.f(x)=4 a+2,a+3上為減函數， (x)=4 a+2,a+3上為減函數，從而 (x) (a+2)= 4a), (x) (a+3)= 6a),于是所求問題轉化為求不等式組1)44(9( 由 6a) 1 解得 0 a12579,由 4a) 1 解得 0 a54, 所求 a 的取值范圍是 0 a12579. f(f( x1,(0,+ ),(2 21 )2(當且僅當 x1=”號 )， 當 a1 時，有 21 )2, 21 21 )，21( 1 , 即21 f(f( f(2 21 )(當且僅當 x1=”號 ) 當 0 a 1 時，有 21 )2, 21( 1 ,即21 f(f( f(2 21 )(當且僅當 x1=”號） . 已知等式得： 1+2(1+2即 (1)2+(1)2=4,令 u=v=k= (u 1)2+(v 1)2=4(0),k=u+，圓弧 (u 1)2+(v 1)2=4(0)與平行直線系 v= u+k 有公共點，分兩類討論 . (1)當 u 0,v 0 時，即 a1時，結合判別式法與代點法得 1+ 3 k 2(1+ 2 ); (2)當 u 0,v 0,即 0 a 1時，同理得到 2(1 2 ) k 1 3 a1時， +2 2 ，最小值為 1+ 3 ；當 0 a 1 時， 最大值為 1 3 ，最小值為 2 2 2 . 2