1 2016 年中考數(shù)學(xué)壓軸題輔導(dǎo)（十大類型 ） 數(shù)學(xué)綜壓軸題是為考察考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而設(shè)計(jì)的，集中體現(xiàn)知識(shí)的綜合性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。 函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標(biāo)系和幾何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進(jìn)行圖形的研究，求點(diǎn)的坐標(biāo)或研究圖形的某些性質(zhì)。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。 幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據(jù)已知條件進(jìn)行計(jì)算，然后有動(dòng)點(diǎn)（或動(dòng)線段）運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生線段、面積等的變化，求對(duì)應(yīng)的（未知）函數(shù)的解析式，求函數(shù)的自變量的取值范圍，最后根據(jù)所求的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探索研究。一般有：在什么條件下圖形是等腰三角形、直角三角形，四邊形是平行四邊形、菱形、梯形等，或探索兩個(gè)三角形滿足什么條件相似等，或探究線段之間的數(shù)量、位置關(guān)系等，或探索面積之間滿足一定關(guān)系時(shí)求 直線（圓）與圓的相切時(shí)求自變量的值等。求未知函數(shù)解析式的關(guān)鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關(guān)系（即列出含有 x、 變形寫成 y f（ x）的形式。找等量關(guān)系的途徑在初中主要有利用勾股定理、平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。求函數(shù)的自變量的取值范圍主要是尋找圖形的特殊位置（極端位置）和根據(jù)解析式求解。而最后的探索問題千變?nèi)f化，但少不了對(duì)圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出 解中考?jí)狠S題技能：中考?jí)狠S題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。關(guān)鍵是掌握幾種常用的數(shù)學(xué)思想 方法。 一是運(yùn)用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識(shí)為載體，列（解）方程或方程組求其解析式、研究其性質(zhì)。 二是運(yùn)用分類討論的思想。對(duì)問題的條件或結(jié)論的多變性進(jìn)行考察和探究。 三是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)的思想。由已知向未知，由復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換。中考?jí)狠S題它是對(duì)考生綜合能力的一個(gè)全面考察，所涉及的知識(shí)面廣，所使用的數(shù)學(xué)思想方法也較全面。因此，可把壓軸題分離為相對(duì)獨(dú)立而又單一的知識(shí)或方法組塊去思考和探究。 解中考?jí)狠S題技能技巧： 一是對(duì)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況做一個(gè)完整的全面的認(rèn)識(shí)。根據(jù)自己的情況考試的時(shí)候重心定位準(zhǔn)確，防止 “撿 芝麻丟西瓜”。所以，在心中一定要給壓軸題或幾個(gè)“難點(diǎn)”一個(gè)時(shí)間上的限制，如果超過你設(shè)置的上限，必須要停止，回頭認(rèn)真檢查前面的題， 盡量要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。 二是解數(shù)學(xué)壓軸題 做一問是一問 。第一問對(duì)絕大多數(shù)同學(xué)來說，不是問題； 如果第一小問不會(huì)解，切忌不可輕易放棄第二小問 。過程會(huì)多少寫多少，因?yàn)閿?shù)學(xué)解答題是按步驟給分的， 寫上去的東西必須要規(guī)范，字跡要工整，布局要合理；過程會(huì)寫多少寫多少，但是不要說廢話，計(jì)算中盡量回避非必求成分；盡量多用幾何知識(shí)，少用代數(shù)計(jì)算，盡量用三角函數(shù)，少在直角三角形中使用相似三角形的性質(zhì)。 三是解數(shù)學(xué)壓軸題一般可以分為三個(gè)步驟。認(rèn)真審題，理解題意、探究解題思路、正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì)。解數(shù)學(xué)壓軸題要善于總結(jié)解數(shù)學(xué)壓軸題中所隱含的重 2 要數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程的思想等。認(rèn)識(shí)條件和結(jié) 論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，確定解題的思路和方法當(dāng)思維受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。 中考?jí)狠S題是為考察考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而設(shè)計(jì)的題目，其特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活。所以，解數(shù)學(xué)壓軸題，一要樹立必勝的信心，要做到：數(shù)形結(jié)合記心頭，大題小作來轉(zhuǎn)化，潛在條件不能忘，化動(dòng)為靜多畫圖，分類討論要嚴(yán)密，方程函數(shù)是工具，計(jì)算推理要嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新品質(zhì)得提高。 一、動(dòng)點(diǎn)型 問題： 例 1（基礎(chǔ)題） 如圖，已知拋物線 y=2x 3 與 x 軸從左至右分別交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 點(diǎn)，頂點(diǎn)為 D （ 1）求與直線 行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式； （ 2）若線段 有一動(dòng)點(diǎn) E，過 E 作平行于 y 軸的直線交拋物線于 F，當(dāng)線段 得最大值時(shí)，求點(diǎn) E 的坐標(biāo) 變式練習(xí)： （ 2012杭州模擬）如圖，已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0），拋物線的頂點(diǎn)為 D，過 O 作射線 頂點(diǎn) D 平行于 x 軸的直線交射線 點(diǎn) C， B 在 x 軸正半軸上，連接 （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 l 個(gè)長度單位的速度沿射線 動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（ s）問：當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？ （ 3）若 B，動(dòng)點(diǎn) P 和動(dòng)點(diǎn) Q 分別從點(diǎn) O 和點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，分別以每秒 l 個(gè)長度單位和 2 個(gè)長度單位的速度沿 動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（ s），連接 t 為何值時(shí)，四邊形 面積最小？并求出最小值 （ 4）在（ 3）中當(dāng) t 為何值時(shí)，以 O， P， Q 為頂點(diǎn)的三角形與 似？（直接寫出答案） 3 蘇州中考題： （ 2015 年蘇州 ）如圖，在矩形 ， AD=AB=a b 4）， 半徑為 2 O 在矩形內(nèi)且與 相切現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A B C D 的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá) D 點(diǎn) 時(shí)停止移動(dòng)； O 在矩形內(nèi)部 沿 右勻速平移，移動(dòng)到與 切時(shí)立即 沿原路按原速返回，當(dāng) O 回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與切）時(shí)停止移動(dòng)已知點(diǎn) P 與 O 同時(shí)開始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置） （ 1）如圖 ，點(diǎn) P 從 A B C D，全程 共移動(dòng)了 含 a、 b 的代數(shù)式 表示）； （ 2）如圖 ，已知點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng) 2s 到達(dá) B 點(diǎn)， 繼續(xù) 移動(dòng) 3s，到達(dá) 中點(diǎn)若點(diǎn) P 與 O 的 移動(dòng)速度相等，求在這 5s 時(shí)間內(nèi)圓心 O 移動(dòng)的距離； （ 3）如圖 ，已知 a=20， b=10是否存在如下情形：當(dāng) O 到達(dá) 位置時(shí)（此時(shí)圓心 矩形對(duì)角線 ） ， 說明理由 （第 28 題） O 1 ） （圖 ） 二幾何圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折） 例 2 （遼寧省鐵嶺市）如圖所示，已知在直角梯形 ， x 軸于點(diǎn) C，A（ 1， 1）、 B（ 3， 1） 動(dòng)點(diǎn) P 從 O 點(diǎn)出發(fā)，沿 x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長度的速度移動(dòng)過P 點(diǎn)作 直于 直線 足為 Q設(shè) P 點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（ 0 t 4）， 直角梯形 疊部分的面積為 S （ 1）求經(jīng)過 O、 A、 B 三點(diǎn)的拋物線解析式； （ 2）求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）將 著點(diǎn) P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，是否存在 t，使得 頂點(diǎn) O 或 Q 在拋物線上？若存在，直接寫出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 變式練習(xí)： 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 ，直線 l： y 34x m 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B（ 0， 1），拋物線 經(jīng)過點(diǎn) B，且與直線 l 另一個(gè)交點(diǎn)為 C（ 4， n） （ 1）求 n 的值和拋物線的解析式； （ 2）點(diǎn) D 在拋物線上，且點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 t（ 0 t 4） y 軸交直線 l 于點(diǎn) E，點(diǎn) l 上，且四邊形 矩形（如圖 2）若矩形 周長為 p，求 p 與 t 的函數(shù)關(guān)系式以及 p 的最大值； （ 3） M 是平面內(nèi)一點(diǎn)，將 點(diǎn) M 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90后，得到 A、O、 B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) 兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) 橫坐標(biāo) 2 O A B C x y 1 1 3 P Q 5 蘇州中考題：（ 2014年第一學(xué)期期末高新區(qū)） 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 ，直線 l： y 34x m 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B(0， 1)，拋物線 y c 經(jīng)過點(diǎn) B，且與直線 l 的另一個(gè)交點(diǎn)為 C(4， n) (1)求 n 的值和拋物線的解析式； (2)點(diǎn) D 在拋物線上，且點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 t(0t4) y 軸交直線 l 于點(diǎn) E，點(diǎn) F 在直線 l 上，且四邊形 矩形 (如圖 2)若矩形 周長為 p，求 p 與 t 的函數(shù)關(guān)系式以及 p 的最大值； (3)將 平面內(nèi)經(jīng)過一定的平移得到 A、 O、 B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) 直接寫出點(diǎn) 橫坐標(biāo)為 12 6 三相似與三角函數(shù)問題 例 3（四川省遂寧市） 如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) D(0， 397)，且頂點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 4，該圖象在 x 軸上截得的線段 長為 6 （ 1） 求 該 二次函數(shù)的解析式； （ 2） 在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) P，使 小，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3） 在拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使 似？如果存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 變式練習(xí)： 如圖 1，直角梯形 ， ， ， 5 （ 1） 長為 ； （ 2） D 是 一點(diǎn)，以 直徑作 M， M 交 點(diǎn) Q當(dāng) M 與 y 軸相切時(shí)， ； （ 3）如圖 2，動(dòng)點(diǎn) P 以每秒 1 個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn) O 沿線段 點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn) D 以相同的速度，從點(diǎn) B 沿折線 B C O 向點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)過點(diǎn) P 作直線 折線 O B A 交于點(diǎn) E設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（秒）求當(dāng)以 B、 D、 E 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo) C D O B A y x 7 蘇州中考題：（ 2013 年 28 題） 如圖，點(diǎn) O 為矩形 對(duì)稱中心， 102 E， F， G 分別從 A， B， C 三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) E 的運(yùn)動(dòng)速度為 1cm/s，點(diǎn) F 的運(yùn)動(dòng)速度為 3s，點(diǎn) G 的運(yùn)動(dòng)速度為 s當(dāng)點(diǎn)F 到達(dá)點(diǎn) C（即點(diǎn) F 與點(diǎn) C 重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中， 于直線 對(duì)稱圖形是 ，設(shè)點(diǎn) E， F， G 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（單位： s） (1)當(dāng) t s 時(shí)，四邊形 正方形； (2)若以點(diǎn) E， B， F 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) F， C， G 為頂點(diǎn)的三角 形相似，求 t 的值； (3)是否存在實(shí)數(shù) t，使得點(diǎn) B與點(diǎn) O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 面積與相似： （ 2012 蘇州， 29）如圖，已知拋物線與 x 軸的正半軸分別交于點(diǎn) A、 B（點(diǎn) 的左側(cè)），與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) C. 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 （用含 b 的代數(shù)式表示）； 請(qǐng)?zhí)剿髟诘谝幌笙迌?nèi)是否存在點(diǎn) P，使得四邊形 面積等于 2b，且 以點(diǎn) 果存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由； 請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使得 的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 . 四三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等） 例 4（廣東省湛江市）已知矩形紙片 長為 4，寬為 3，以長 在的直線為 x 軸，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn) P 是 上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn) 重合），現(xiàn)將 C 翻折得到 在 上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) D， 將 折，得到 得直線 合 （ 1）若點(diǎn) E 落在 上，如圖，求點(diǎn) P、 C、 D 的坐標(biāo)，并求過此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）若點(diǎn) E 落在矩形紙片 內(nèi)部，如圖，設(shè) x， y， 當(dāng) x 為何值時(shí)， （ 3）在（ 1）的情況下，過點(diǎn) P、 C、 D 三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn) Q， 使 以 不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) 變式 （ 廣東省深圳市 ）已知： 斜邊長為 5，斜邊上的高為 2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊 x 軸重合（其中 直角頂點(diǎn) C 落在y 軸正半軸上（如圖 1） （ 1）求線段 長和經(jīng)過點(diǎn) A、 B、 C 的拋物線的關(guān)系式 （ 2）如圖 2，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 2， 0），點(diǎn) P（ m， n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中 m 0，n 0）， 連接 點(diǎn) E 當(dāng) 等腰三角形時(shí)， 直接寫出 此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo) 又連接 圖 3）， 否有最大面積？若有，求出 最大面積和此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由 A B x y A B x y O P D E 圖 2 C 圖 P D E C O A B F x y 圖 P D C O A B F x y E F 9 蘇州中考題：（ 2013 年 29 題） 如圖，已知拋物線 y c（ b， c 是常數(shù)，且 c0）與 x 軸分別交于點(diǎn) A， B（點(diǎn) A 位于點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 1， 0) (1)b ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 （上述結(jié)果均用含 c 的代數(shù)式表示）； (2)連接 點(diǎn) A 作直線 拋物線 y c 交于點(diǎn) E點(diǎn) D 是 x 軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為 (2， 0)，當(dāng) C， D， E 三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式； (3)在 (2)的條件下，點(diǎn) P 是 x 軸下方的拋 物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接 所得 面積為 S 求 S 的取值范圍； 若 面積 S 為整數(shù)，則這樣的 有 個(gè) 1212 10 五、與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題 例 5 （ 內(nèi)蒙古赤峰市 ）如圖， 頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（ 0， 3 ）， B（ 21，23），C（ 1， 0）， 90， y 軸的交點(diǎn)為 D， D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，33），以點(diǎn) D 為頂點(diǎn)、y 軸為對(duì)稱軸的拋物線過點(diǎn) B （ 1） 求該拋物線的解析式 ； （ 2） 將 疊后得到點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B，求證 ： 四邊形 矩形， 并 判斷點(diǎn)B是否在（ 1）的拋物線上 ； （ 3）延長 拋物線于點(diǎn) E，在線段 取一點(diǎn) P，過 P 點(diǎn)作 x 軸的垂線，交拋物線于點(diǎn) F，是否存在這樣的點(diǎn) P，使四邊形 平行四邊形？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，說明理由 變式練習(xí)：（ 2011 年蘇州 28 題） 已知四邊形 邊長為 4 的正方形，以 直徑在正方形內(nèi)作半圓， P 是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B 重合），連接 (1)如圖 ，當(dāng) 長度等于 時(shí)， 60 ； 當(dāng) 長度等于 時(shí)， 等腰三角形； (2)如圖 ，以 所在直線為 x 軸、 所在直線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn) A 即為原點(diǎn) O），把 面積分別記為 標(biāo)為（ a， b），試求 2 3 最大值，并求出此時(shí) a， b 的值 C B D 11 蘇州中考題：（ 2011 年 29 題） 已知二次函數(shù) 2 6 8 0y a x x a 的圖象與 x 軸分別交于點(diǎn) A、 B，與 y 軸交于點(diǎn) C點(diǎn) D 是拋物線的頂點(diǎn) (1)如圖 ，連接 直線 折，若點(diǎn) O 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) O恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù) a 的值； (2)如圖 ，在正方形 ，點(diǎn) E、 F 的坐標(biāo)分別是（ 4， 4）、（ 4， 3），邊 于邊右側(cè)小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題：“若點(diǎn) P 是邊 邊 的任意一點(diǎn)，則四條線段 能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）”若點(diǎn) P 是邊 邊 的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請(qǐng) 你積極探索，并寫出探索過程； (3)如圖 ，當(dāng)點(diǎn) P 在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) t 是大于 3 的常數(shù)，試問：是否存在一個(gè)正數(shù) a，使得四條線段 一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請(qǐng)說明理由 12 六、初中數(shù)學(xué)中的最值問題 例 6 （ 2014海南）如圖，對(duì)稱軸為直線 x=2 的拋物線經(jīng)過 A（ 1， 0）， C（ 0， 5）兩點(diǎn)，與 x 軸另一交點(diǎn)為 B已知 M（ 0， 1）， E（ a， 0）， F（ a+1， 0），點(diǎn) P 是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn) （ 1）求此拋物線的解析式 ； （ 2）當(dāng) a=1 時(shí)，求四邊形 面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）若 以點(diǎn) P 為頂點(diǎn)的等腰三角形，求 a 為何值時(shí)，四邊形 長最??？請(qǐng)說明理由 變式練習(xí) （四川省眉山市） 如圖，已知直線 y21x 1 與 y 軸交于點(diǎn) A，與 x 軸交于點(diǎn) D，拋物線 y21x 2 c 與直線 y21x 1 交于 A、 E 兩點(diǎn)，與 x 軸交于 B、 C 兩點(diǎn)，且 B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 0) （ 1） 求該拋物線的解析式； （ 2） 動(dòng)點(diǎn) P 在 x 軸上移動(dòng)，當(dāng) 直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo) ； （ 3） 在拋物 線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) M，使 |值最大，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo) y x C B A D O E y 13 蘇州中考題： （ 2012 江蘇蘇州， 27， 8 分）如圖，已知半徑為 2 的 O 與直線 l 相切于點(diǎn) A，點(diǎn) P 是直徑 側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作直線 l 的垂線，垂足為 C， O 交于點(diǎn) D，連接 長為 . 當(dāng) 時(shí)，求弦 長度； 當(dāng) x 為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？ 4 七、定值的問題 例 7 （ 湖南省株洲市 ）如圖，已知 直角三角形， 90， 點(diǎn) A、 C在 x 軸上，點(diǎn) B 的 坐標(biāo)為 (3， m)(m 0)，線段 y 軸相交于點(diǎn) D，以 P(1， 0)為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn) B、 D （ 1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)（用 m 表示）； （ 2）求拋物線的解析式； （ 3）設(shè)點(diǎn) Q 為拋物線上點(diǎn) P 至點(diǎn) B 之間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) 延長交 點(diǎn) E，連結(jié) C 于點(diǎn) F，試證明： C 定值 變式練習(xí)： （ 2012 江蘇蘇州， 28， 9 分）如圖，正方形 邊 矩形 邊 正方形 1cm/s 的速度沿 向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn) A 與點(diǎn) F 重合 終與邊 合，連接 點(diǎn) A 作 平行線交線段 點(diǎn) P，連接 邊長為 1形 邊 長分別為 4x（ s），線段 長為 y（ 其中 . 試求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y =3 時(shí)相應(yīng) x 的值； 記 面積為， 面積為，試說明是常數(shù)； 當(dāng)線段 在直線與正方形 對(duì)角線 直時(shí)，求線段 長 . Ay x F A O D B P C E Q 15 蘇州中考題： （ 2014 年 蘇州）如圖，二次函數(shù) y=a（ 23其中 a， m 是常數(shù)，且 a 0， m 0）的圖象與 x 軸分別交于點(diǎn) A、 B（點(diǎn) A 位于點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于 C（ 0， 3），點(diǎn) D 在二次函數(shù)的圖象上， 接 點(diǎn) A 作射線 二次函數(shù)的圖象于點(diǎn) E， 分 （ 1）用含 m 的代數(shù)式表示 a； （ 2）求證： 為定值； （ 3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為 F，探索：在 x 軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn) G，連接 線段 長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn) G 即可，并用含 m 的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 16 八、存在性問題（如：平行、垂直，動(dòng)點(diǎn)，面積等） 例 8、 (2008年浙江省紹興市 )將一矩形紙片 在平面直角坐標(biāo)系中， (00)O ， ， (60)A ， ，(03)C ， 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 出發(fā)以每秒 1 個(gè)單位長的速度沿 終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng) 23 秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)以相等的速度沿 終點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t （秒） （ 1）用含 t 的代數(shù)式表示 Q， ； （ 2）當(dāng) 1t 時(shí)，如圖 1，將 沿 折，點(diǎn) O 恰好落在 上的點(diǎn) D 處，求點(diǎn) （ 1） 連結(jié) 將 沿 折，得到 ，如圖 2問： 否平行？ 否垂直？若能，求出相應(yīng)的 t 值；若不能，說明理由 變式練習(xí)： 如圖，已知拋物線 y= 與 x 軸交于 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）兩點(diǎn)，與 ，拋物線的頂點(diǎn)為 P，連接 （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）在拋物線上找一點(diǎn) D，使得 直，且直線 x 軸交于點(diǎn) Q，求直線 （ 3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) M，使得 SS存在，求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 17 蘇州中考題： （ 2015 年蘇州 本題滿分 10 分）如圖，已知二次函數(shù) 2 1y x m x m （其中 0 m 1）的圖像與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn) （點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)） ，與 y 軸交于點(diǎn) C，對(duì)稱軸為直線 l 設(shè) P 為 對(duì)稱軸 l 上的點(diǎn)，連接 C （ 1） 度數(shù)為 ； （ 2）求 P 點(diǎn)坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）； （ 3） 在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) Q（與原點(diǎn) O 不重合），使得以 Q、 B、 C 為頂點(diǎn)的三角形與 線段 長度最小 ？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 模擬試題： 在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（ 1， 0）、 B（ 0， 2），將線段 點(diǎn) 0至 拋物線 y= x2+ 經(jīng)過點(diǎn) C （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）如圖，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過 Q（ 0， 2）作不平行于 x 軸的直線交拋物線于 E、 F 兩點(diǎn)，問在 y 軸的正半軸上是否存在一點(diǎn) P，使 內(nèi)心在 y 軸上？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 （ 3）在拋物線上是否存在一點(diǎn) M，使得以 M 為圓心，以 為半徑的圓與直線 切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 27 題） 18 九、與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題： 例 9. 如圖，已知二次函數(shù) y= x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A、 B，與 y 軸交于點(diǎn) C，其頂點(diǎn)為 D，且直線 解析式為 y=x+3 （ 1） 求二次函數(shù)的解析式； （ 2）求 接圓的半徑及外心的坐標(biāo)； （ 3）若點(diǎn) P 是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形 面積最大值 變式練習(xí)： 如圖，已知拋物線 y=a（ x 2） 2+1 與 x 軸從左到右依次交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0），連接 （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）若 P 為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)表示為 m 試探究： 當(dāng) m 為何值時(shí)， |值最大？并求出這個(gè)最大值 在 P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中， 否與 等？若能，請(qǐng)求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由 19 中考題訓(xùn)練： （ 2014黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（ 4， 1）的拋物線交 點(diǎn)，交 x 軸于 B， C 兩點(diǎn)（點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)），已知 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3） （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）過點(diǎn) B 作線段 垂線交拋物線于點(diǎn) D，如果以點(diǎn) C 為圓心的圓與直線 切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸 l 與 C 有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明； （ 3）已知點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于 A， C 兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， 面積最大？并求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和 最大面積 蘇州中考題：（ 2015 年 27 題） 如圖，已知二次函數(shù) 2 1y x m x m （其中 0 m 1）的圖像與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn) （點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)） ，與 y 軸交于點(diǎn) C，對(duì)稱軸為直線 l 設(shè)P 為 對(duì)稱軸 l 上的點(diǎn)，連接 （ 1） 度數(shù)為 ； （ 2）求 P 點(diǎn)坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）； （ 3） 在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) Q（與原點(diǎn) O 不重合），使得以 Q、 B、 C 為頂點(diǎn)的三角形與 線段 長度最小 ？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 27 題） 20 十、其它（如新定義型題、面積問題等）： 例 10. 定義：若拋物線的頂點(diǎn)與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為： “美麗拋物線 ”如圖，直線 l： y= x+b 經(jīng)過點(diǎn) M（ 0， ），一組拋物線的頂點(diǎn) 1， 2， 3， n， （ n 為正整數(shù)），依次是直線 l 上的點(diǎn)，這組拋物線與 x 軸正半軸的交點(diǎn)依次是： 0）， 0）， 0）， （ ，0）（ n 為正整數(shù)）若 x1=d（ 0 d 1），當(dāng) d 為（ ）時(shí)，這組拋物線中存在美麗拋物線 A 或 B 或 C 或 D變式練習(xí)： 物線 y=x 3 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左側(cè)）與y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 D，直線 x 軸交于點(diǎn) E （ 1）請(qǐng)你畫出此拋物線，并求 A、 B、 C、 D 四 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）將直線 左平移兩個(gè)單位，與拋物線交于點(diǎn) F（不與 A、 B 兩點(diǎn)重合），請(qǐng)你求出F 點(diǎn)坐標(biāo)； （ 3）在點(diǎn) B、點(diǎn) F 之間的拋物線上有一點(diǎn) P，使 面積最大，求此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)及 （ 4）若平行于 x 軸的直線與拋物線交于 G、 H 兩點(diǎn)，以 直徑的圓與 x 軸相切，求該圓半徑 （第 1 題） （第 2題） 2. 練習(xí)： （ 2015 河池）我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為 “ 整圓 ” 如圖，直線 l： 43y 與 x 軸、 y 軸分別交于 A、 B， 0 ，點(diǎn) P 在 x 軸上， P與 l 相切，當(dāng) P 在線段 運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得 P 成為整圓的點(diǎn) P 個(gè)數(shù)是（ ） A 6 B 8 C 10 D 12。 21 蘇州中考題：（ 2015 年 26 題） 如圖，已知 角平分線， O 經(jīng)過 A、 B、 點(diǎn) B 作 O 于點(diǎn) E，連接 （ 1）求證： （ 2）若 面積為1S， 面積為2S，且2121 6 4 0 ，求 面積 模擬試題： 如圖 所示 ，在平面直角坐標(biāo)系中， M 過點(diǎn) O 且與 y 軸、 x 軸分別交于 A、 物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 與點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，已知點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 2， 2） （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）判斷直線 M 的位置關(guān)系，并證明； （ 3）若點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 是直線 的動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在以點(diǎn) P、 Q、 A、O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 26 題） 22 參考答案： 例 1 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（ 1）根據(jù) x 等于零時(shí)，可得 C 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) y 等于零時(shí)，可得 A、 B 的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線 斜率，根據(jù)平行線的斜率相等，可得平行 直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的一元二次方程有一對(duì)相等的實(shí)數(shù)根，可得判別式等于零；（ 2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線解析式，根據(jù) E 點(diǎn)在線段 ，可設(shè)出 E 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) y 軸， F 在拋物線上，可得 F 點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案 【解答】解：（ 1）當(dāng) y=0 時(shí)， 2x 3=0，解得 1， ，即 A（ 1， 0）， B（ 3， 0） 當(dāng) x=0 時(shí)， y= 3，即 C（ 0， 3）設(shè)直線 解析式為 y=kx+b，直線 過點(diǎn) B，點(diǎn)C，得 ： ，解得 ，設(shè)平行于 與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式為y=x+b，由題意，得 ： ， ，得 ： 3x 3 b=0，只有一個(gè)交點(diǎn)，得 ： =（ 3） 2 4（ b 3） =0，解得 b= ，與直線 行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式 y=x ； （ 2） y=2x 3，當(dāng) x= = =1 時(shí)， y= = 4， 即 D（ 1， 4），設(shè)直線 解析式是 y=kx+b， 圖象過點(diǎn) A、 D，得 ， 解得 ，直線 解析式是 y= 2x 2，線段 有一動(dòng)點(diǎn) E，過 E 作平行于 ，設(shè) E 點(diǎn)坐標(biāo)是（ x， 2x 2）， F 點(diǎn)坐標(biāo)是（ x， 2x 3）， 1x1， 長是： y=（ 2x 2）（ 2x 3） = 。 當(dāng) x=0 時(shí)， 大 =1，即點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ 0， 2），當(dāng)線段 得最大值時(shí)，點(diǎn) E 的坐標(biāo)是（ 0， 2） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程 的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng) 變式練習(xí)： 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題 。 【專題】壓軸題 【分析】（ 1）將 A 的坐標(biāo)代入拋物線 y=a（ x 1） 2+3 （ a0）可得 a 的值，即可得到拋物線的解析式；（ 2）易得 D 的坐標(biāo)，過 D 作 N；進(jìn)而可得 長，根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用 t 將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；（ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論，易得 等邊三角形，可得 于 t 的關(guān)系式，將四邊形的面積用 t 表示出來，進(jìn)而分析可得最小值及此時(shí) t 的值，進(jìn)而可求得 長（ 4）分別利用當(dāng) 當(dāng) 出對(duì)應(yīng)邊比值相等，進(jìn)而求出即可 【解答】解：（ 1） 拋物線 y=a（ x 1） 2+3 （ a0）經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0）， 0=9a+3 ， a= ， y= （ x 1） 2+3 ； （ 2） D 為拋物線的頂點(diǎn)， D（ 1， 3 ），過 D 作 N，則 ， 23 =6， 0 當(dāng) P 時(shí)，四邊形 平行四邊形， ， t=6 當(dāng) ，四邊形 直角梯形，過 O 作 H， ，則 （如果沒求出 0可由 ） H=5， t=5， 當(dāng) A 時(shí)，四邊形 等腰梯形，易證： P， D 2 2=4， t=4 綜上所述：當(dāng) t=6、 5、 4 時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形； （ 3） D 為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為： D（ 1， 3 ），過 D 作 N，則 ， =6， 0， 0， B， 等邊三角形則 C=， OP=t， t， 2t（ 0 t 3） 過 P 作 E，則 ， 63 （ 6 2t） t， =，當(dāng) 時(shí)， 面積最小值為 ， （ 4）當(dāng) = ， ， ， 2t， OP=t， = ， 解得： t= ，當(dāng) = ，即 = ，解得： t= ， 故 t= 或 時(shí)以 O， P， Q 為頂點(diǎn)的三角形與 似 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識(shí)，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題是考查重點(diǎn) 蘇州中考題： 解：（ 1）如圖 ，點(diǎn) P 從 A B C D，全程共移動(dòng)了 a+2含 a、 （ 2） 圓心 O 移動(dòng)的距離為 2（ a 4） 題意，得 ： a+2b=2（ a 4） ， 點(diǎn) P 移動(dòng) 2 秒到達(dá) B，即點(diǎn) 動(dòng)了 P 繼續(xù)移動(dòng) 3s 到達(dá) 中點(diǎn)， 即點(diǎn) 移動(dòng)了 = 由 解得 ， 點(diǎn) P 移動(dòng)的速度為與 O 移動(dòng)速度相同， O 移動(dòng)的速度為 = =4cm/s） 24 這 5 秒時(shí)間內(nèi) O 移動(dòng)的距離為 54=20（ （ 3）存在這種情況， 設(shè)點(diǎn) P 移動(dòng)速度為 s， 動(dòng)的速度為 s，由題意，得 = = = ， 如圖： 設(shè)直線 于 E 點(diǎn)，與 于 F 點(diǎn)， 切于 G 點(diǎn)， 若 切，切點(diǎn)為 H，則 1H 易得 P 設(shè) BP= DP= 20 x） ，由勾股定理，得 （ 20 x） 2+102=得 x=，此時(shí)點(diǎn) P 移動(dòng)的距離為 10+ = （ = ，即 = ， 64 當(dāng) O 首次到達(dá) 位置時(shí)， O 移動(dòng)的距離為 14 此時(shí)點(diǎn) P 與 O 移動(dòng)的速度比為 = ， ， 此時(shí) 能相切； 當(dāng) O 在返回途中到達(dá) 置時(shí)， O 移動(dòng)的距離為 2（ 20 4） 14=18 此時(shí)點(diǎn) P 與 O 移動(dòng)的速度比為 = = ，此時(shí) 好相切 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓的綜合題，（ 1）利用了有理數(shù)的加法，（ 2）利用了 P 與 O 的路程相等，速度相等得出方程組是解題關(guān)鍵，再利用路程與時(shí)間的關(guān)系，得出速度，最后利用速度乘以時(shí)間得出結(jié)果；（ 3）利用了相等時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)鍵 例 2. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型 【分析】（ 1）設(shè)拋物線解析式為 y=已知坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式 （ 2）求出 S 的面積，根據(jù) t 的取值不同分三種情況討論 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式 25 （ 3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，代入解析式，判斷是否存在 【解答】解：（ 1）方法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為 y=a0） 把 A（ 1， 1）， B（ 3， 1）代入上式得： ，解得 所求拋物線解析式為 y= x 方法二： A（ 1， 1）， B（ 3， 1）， 拋物線的對(duì)稱軸是直線 x=2 設(shè)拋物線解析式為 y=a（ x 2） 2+h（ a0）把 O（ 0， 0）， A（ 1， 1）代入 得 ，解得 ， 所求拋物線解析式為 y= （ x 2） 2+ （ 2）分三種情況： 當(dāng) 0 t2，重疊部分的面積是 S點(diǎn) A 作 x 軸于點(diǎn) F， A（ 1， 1）， 在 ， F=1， 5，在 ， OP=t， 5， Q=5= t S= 當(dāng) 2 t3，設(shè) 點(diǎn) G，作 x 軸于點(diǎn) H， 5， 則四邊形 等腰梯形，重疊部分的面積是 S 梯形 H=t 2， S= （ P） （ t+t 2） 1=t 1 當(dāng) 3 t 4，設(shè) 于點(diǎn) M，交 點(diǎn) N，重疊部分的面積是 S 五邊形 疊部分的面積是 S 五邊形 梯形 S B（ 3， 1）， OP=t， N=t 3， S= （ 2+3） 1 （ 4 t） 2， S= t （ 3）存在 當(dāng) O 點(diǎn)在拋物線上時(shí)，將 O（ t， t）代入拋物線解析式，解得 t=0（舍去）， t=1； 當(dāng) Q 點(diǎn)在拋物線上時(shí)， Q（ t， t）代入拋物線解析式得 t=0（舍去）， t=2故