1 了解平面向量的基本定理及其意義 2 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 3 會用坐標(biāo)表示平面向量的加法 減法與數(shù)乘運(yùn)算 4 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件 知識梳理知識梳理 一 平面向量基本定理 如果 e1 e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對于該平面內(nèi)任一向量 a 有且只 有一對實(shí)數(shù) 1 2 滿足 a 1e1 2e2 其中不共線的向量 e1 e2叫做表示這一平面內(nèi)所 有向量的一組基底 記為 e1 e2 稱 1e1 2e2為 e1 e2的線性組合 二 平面向量的坐標(biāo)表示 在直角坐標(biāo)系中 分別取與 x 軸 y 軸方向相同的兩個單位向量 i j 作為基底 由平 面向量的基本定理知 該平面內(nèi)的任一向量 a 可表示成 a xi yj 由于 a 與數(shù)對 x y 是 一一對應(yīng)的 因此把 x y 叫做向量 a 的坐標(biāo) 記作 a x y 其中 x 叫做 a 在 x 軸上的 坐標(biāo) y 叫做 a 在 y 軸上的坐標(biāo) 規(guī)定 1 相等的向量坐標(biāo)相同 坐標(biāo)相同的向量是相等的向量 2 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn) 終點(diǎn)的具體位置無關(guān) 只與其相對位 置有關(guān)系 三 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1 若 a b 則 a b x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 2 若 A B 則 x1 y1 x2 y2 AB x2 x1 y2 y1 3 若 a x y 則 a x y 四 向量的運(yùn)算 向量的加減法 數(shù)與向量的乘積及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 若 a x1 y1 b x2 y2 運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì) 向量的加法 1 平行四邊形法則 2 三角形法則 a b x1 x2 y1 y2 a b b a a b c a b c AB BC AC 向量的減法三角形法則a b x1 x2 y1 y2 a b a b AB BA OB OA AB 數(shù)乘向量法 a 是一個向量 滿足 0 時 a 與 a 同向 0 當(dāng) a 與 b 異向時 0 的大小由a a及b b的大小確定 因此 當(dāng)a a b b確定時 的符號與大小就 a a b b 確定了 這就是實(shí)數(shù)乘向量中 的幾何意義 基礎(chǔ)自測 1 2013 揭陽二模 已知點(diǎn) A 1 5 和向量 a 2 3 若 3a 則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 AB A 7 4 B 7 14 C 5 4 D 5 14 解析 設(shè) B x y 由 3a 得 x 1 y 5 6 9 AB 故有Error Error 解得Error Error 故選 D 答案 D 2 2012 肇慶二模 已知 ABCD 中 3 7 2 3 對角線 AC 與 BD 交于 AD AB 點(diǎn) O 則的坐標(biāo)為 CO A B 1 2 5 1 2 5 C D 1 2 5 1 2 5 解析 2 3 3 7 1 10 AC AB AD 故選 D OC 1 2AC 1 2 5 CO 1 2 5 答案 D 3 2012 深圳松崗中學(xué)模擬 已知向量 a 2 3 b x 6 共線 則 x 解析 依題意有 3x 2 6 0 得 x 4 答案 4 4 已知平面內(nèi)不共線的四點(diǎn) O A B C 滿足 則 OB 1 3OA 2 3OC AB BC 解析 AB OB OA 1 3OA 2 3OC OA 2 3 OC OA BC OC OB OC 21 1 3OA 2 3OC 1 3 OC OA AB BC 2 3 1 3 答案 21 1 2013 廣東卷 設(shè) a 是已知的平面向量且 a 0 關(guān)于向量 a 的分解 有如下四個命 題 給定向量 b 總存在向量 c 使 a b c 給定向量 b 和 c 總存在實(shí)數(shù) 和 使 a b c 給定單位向量 b 和正數(shù) 總存在單位向量 c 和實(shí)數(shù) 使 a b c 給定正數(shù) 和 總存在單位向量 b 和單位向量 c 使 a b c 上述命題中的向量 b c 和 a 在同一平面內(nèi)且兩兩不共線 則真命題的個數(shù)是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 利用向量加法的三角形法則 易得 是對的 利用平面向量的基本定理 易得 是對的 以 a 的終點(diǎn)作長度為 的圓 這個圓必須和向量 b 有交點(diǎn) 這個不一定能滿足 是錯的 利用向量加法的三角形法則 結(jié)合三角形兩邊的和大于第三邊 即必須 b c a 所以 是假命題 故選 B 答案 B 2 2013 北京卷 向量 a b c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示 若 c a b R 則 解析 以向量 a 的起點(diǎn)為原點(diǎn)建直角坐標(biāo)系 則 a 1 1 b 6 2 c 1 3 根據(jù) c a b 1 3 1 1 6 2 有 6 1 2 3 解之得 2 且 故 4 1 2 答案 4 1 2013 珠海二模 已知平面向量 a 1 2 b 2 m 且 a b 則 b A B C 2 D 2 3552 解析 因?yàn)?a b 所