1 20142014 屆高三數(shù)學(xué) 新課標(biāo) 一輪復(fù)習(xí)方案精編試題屆高三數(shù)學(xué) 新課標(biāo) 一輪復(fù)習(xí)方案精編試題 9 9 考查范圍 必考全部內(nèi)容 集合 簡易邏輯 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 數(shù)列 三角 向量 不等式 解析幾何 立體幾何 排列 組合 二項式定理 概率統(tǒng)計 復(fù)數(shù) 算法 推理證明 第 卷 一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題 5 分 滿分 60 分 在每小題給出的四個選項中 只 有一項是符合題目要求的 1 2012 年 4 月 9 日大連沈陽聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理 已知集合 2 320 log 42 x Ax xxBx 則 AB A B C D 2 1 2 1 2 2 2 2 答案 B 解析 A 1 2 由 得 又因為 所以 故 B 2 則log 42 x 2 4x 0 x 2x 1 2AB 2 寧夏銀川一中 2012 屆高三年級第三次月考數(shù)學(xué)文 若 tan 2 則的值 cos2sin cossin2 為 A 0 B C 1 D 3 4 5 4 答案 B 解析 2sincos2tan13 sin2costan24 3 湖北省七市 2013 屆高三 4 月聯(lián)考數(shù)學(xué) 理 試題 函數(shù) f x 2x sinx 的零點個數(shù)為 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 因為在上恒成立 所以函數(shù) 2cos0fxx R 在上單調(diào)遞增 又因為 所以函數(shù)只有一個 2sinf xxx R 00f 2sinf xxx 零點 0 4 2013 北京卷 是 曲線 y sin 2x 過坐標(biāo)原點 的 A 充分而不必要條件 2 B 必要而不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 答案 A 解析 曲線 y sin 2x 過坐標(biāo)原點 sin 0 k k Z 故選 A 5 2013 全國卷 已知數(shù)列 an 滿足 3an 1 an 0 a2 則 an 的前 10 項和等于 4 3 A 6 1 3 10 B 1 310 1 9 C 3 1 3 10 D 3 1 3 10 答案 C 解析 由 3an 1 an 0 得 an 0 否則 a2 0 且 所以數(shù)列 an 是 an 1 an 1 3 公比為 的等比數(shù)列 代入 a2可得 a1 4 故 1 3 S10 3 3 1 3 10 4 1 1 3 10 1 1 3 1 1 3 10 6 理 云南昆明一中 2012 屆高三第二次摸底測試數(shù)學(xué)理 曲線在點處2 x yex 01 的切線方程為 A B C D 1yx 1yx 31yx 1yx 答案 C 解析 則切線方程為 即 2 x ye 0 0 23 x kye 13yx 31yx 文 云南昆明一中 2012 屆高三第二次摸底測試數(shù)學(xué)文 曲線在點處的切 x yex 01 線方程為 A B C D 21yx 21yx 1yx 1yx 答案 A 解析 則切線方程為 即 1 x ye 0 0 12 x kye 12yx 21yx 7 2012 屆寧夏銀川一中第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 某人向一個半徑為 6 的圓形靶射擊 假設(shè) 他每次射擊必定 會中靶 且射中靶內(nèi)各點是隨機的 則此人射中的靶點與靶心的距離小于 2 的概率為 3 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 9 答案 D 解析 由幾何概型得 所求概率為 2 2 21 69 P 8 理 河南省鄭州市 2012 屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)理 在二項式的展開式 2 1 n x x 中 所有二項式系數(shù)的和是 32 則展開式中各項系數(shù)的和為 A 32 B 32 C 0 D 1 答案 C 解析 在二項式中 令 得 故展開式中各項系數(shù)的和為 0 2 1 n x x 1x 2 1 10 1 n 文 山東省濰坊市 2012 屆高三 5 月仿真模擬數(shù)學(xué)文 林管部門在每年 3 12 植樹節(jié)前 為保證樹苗的質(zhì)量 都會在植樹前對樹苗進行檢測 現(xiàn)從甲 乙兩種樹苗中各抽測了 10 株樹苗的高度 其莖葉圖如圖 根據(jù)莖葉圖 下列描述正確的是 A 甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度 且甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊 B 甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度 但乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊 C 乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度 且乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊 D 乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度 但甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊 答案 D 解析 甲種樹苗的平均高度為 19 20 21 23 25 29 37 33 32 31 27 10 x甲 甲種樹苗的高度的方差為 22222 22222 8 7 6 4 2 2 10 6 5 4 35 10 s 甲 4 乙種樹苗的平均高度為 10 14 10 26 27 30 44 46 46 47 30 10 x乙 乙種樹苗的高度的方差為 22222 22222 20 16 20 4 3 0 14 16 16 17 207 8 10 s 乙 比較可知 乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度 但甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊 選 D 9 2013 遼寧卷 執(zhí)行如圖 1 2 所示的程序框圖 若輸入 n 8 則輸出 S A B 4 9 6 7 C D 8 9 10 11 答案 A 解析 由程序框圖可以得到 S 1 22 1 1 42 1 1 62 1 1 82 1 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 7 9 1 故選 A 1 2 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 7 1 9 4 9 10 2013 重慶卷 某幾何體的三視圖如圖 1 2 所示 則該幾何體的體積為 5 A B C 200 D 240 560 3 580 3 答案 C 解析 該幾何體為直四棱柱 其高為 10 底面是上底為 2 下底為 8 高 為 4 其腰為 5 的等腰梯形 所以其底面面積為 2 8 4 20 所以體積為 1 2 V 20 10 200 11 2012 高考真題新課標(biāo)理 10 已知橢圓C 1 a b 0 的離心率為 雙曲線 x2 a2 y2 b2 3 2 x2 y2 1 的漸近線與橢圓C有四個交點 以這四個交點為頂點的四邊形的面積為 16 則橢圓C的方程為 A 1 B 1 C 1 D 1 x2 8 y2 2 x2 12 y2 6 x2 16 y2 4 x2 20 y2 5 答案 D 解析 由離心率為得 a2 4b2 排除選項 B 雙曲線的漸近線方程為y x 與橢圓的 3 2 四交點組成的四邊形的面積為 16 可得在第一象限的交點坐標(biāo)為 代入選項 A C D 2 2 知選項 D 正確 12 理 2012 高考山東理 9 文 10 函數(shù)的圖象大致為 cos6 22 xx x y 答案 D 解析 由函數(shù)y 為奇函數(shù) 排除選項 A 當(dāng)x無限大時 y趨向于 0 排除選項 cos6x 2x 2 x 6 C 當(dāng)x從正數(shù)趨向于 0 時 y趨向于正無窮大 故選 D 文 海南省瓊海市 2012 年高考模擬測試一數(shù)學(xué)理 方程所表 22 1lg10 xxy 示的曲線的圖形 是 答案 D 解析 由題意可得或 即或 但是要使得該10 x 22 lg10 xy 1x 22 2xy 方程有意義還要 滿足綜上可知圖象選 D 22 1 10 x xy 第 卷 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 將答案填在答題卷相應(yīng)位置上 13 河南省許昌新鄉(xiāng)平頂山2012屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)文 設(shè)向量的夾角為 且 a b 則 cos 3 321 1 a ba 答案 10 103 解析 設(shè) 由 得 所以 x yb 21 123 23xy ba1 2xy 9 cos 3 10 Aa b a b 3 10 10 14 2013 江蘇卷 拋物線 y x2在 x 1 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域為 D 包含三角形內(nèi)部與邊界 若點 P x y 是區(qū)域 D 內(nèi)的任意一點 則 x 2y 的取值范圍是 O 1x y A O 1 x y C 1 x y D O 1 x y B 222 7 答案 解析 由 y x2得 y 2x 則在點 x 1 處的切線斜率 2 1 2 k 2 1 2 切線方程為 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域 如圖陰影部分所示 則 A 0 1 B 1 2 0 作直線 l0 x 2y 0 當(dāng)平移直線 l0至點 A 時 zmin 0 2 1 2 當(dāng)平移直線 l0至點 B 時 zmax 2 0 1 2 1 2 故 x 2y 的取值范圍是 2 1 2 15 2013 陜西卷 觀察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此規(guī)律 第 n 個等式可為 答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 解析 結(jié)合已知所給 n n 1 2 幾項的特點 可知式子左邊共 n 項 且正負(fù)交錯 奇數(shù)項為正 偶數(shù)項為負(fù) 右邊的絕對值 為左邊底數(shù)的和 系數(shù)和最后一項正負(fù)保持一致 故表達(dá)式為 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 n n 1 2 16 東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試 2012 長春三模 數(shù)學(xué)文 如果直線 和函數(shù)的圖象恒過同一個 21400 0axbyab 1 10 1 x f xmmm 定點 且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上 那么的取值 22 1225xayb b a 范圍是 8 答案 3 4 4 3 解析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 可知函數(shù)恒過定點 將 1 10 1 x f xmmm 1 2 點代入 可得 由于點始終落在所給圓的內(nèi)部或 1 2 2140axby 7ab 1 2 圓上 所以 由解得或 這說明點在以 22 25ab 22 7 25 ab ab 3 4 a b 4 3 a b a b 和為端點的線段上運動 所以的取值范圍是 3 4A 4 3B b a 3 4 4 3 三 解答題 本大題共 6 小題 滿分 70 分 解答須寫出文字說明 證明過程和演算步驟 17 本小題滿分 10 分 2013 山東卷 設(shè) ABC 的內(nèi)角 A B C 所對的邊分別為 a b c 且 a c 6 b 2 cos B 7 9 1 求 a c 的值 2 求 sin A B 的值 解 1 由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B 得 b2 a c 2 2ac 1 cosB 又 b 2 a c 6 cos B 所以 ac 9 7 9 解得 a 3 c 3 2 在 ABC 中 sin B 1 cos2B 4 2 9 由正弦定理得 sin A asin B b 2 2 3 因為 a c 所以 A 為銳角 所以 cos A 1 sin2 A 1 3 因此 sin A B sin Acos B cos Asin B 10 2 27 18 本小題滿分 12 分 2013 天津卷 已知首項為 的等比數(shù)列 an 不是遞減數(shù)列 其前 n 項和為 Sn n N 3 2 且 S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 9 2 設(shè) Tn Sn n N 求數(shù)列 Tn 的最大項的值與最小項的值 1 Sn 解 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q 因為 S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 所以 S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即 4a5 a3 于是 q2 又 an 不是遞減數(shù)列且 a5 a3 1 4 a1 所以 q 故等比數(shù)列 an 的通項公式為 an n 1 1 n 1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2n 2 由 1 得 Sn 1 n 1 2 1 1 2n n為奇數(shù) 1 1 2n n為偶數(shù) 當(dāng) n 為奇數(shù)時 Sn隨 n 的增大而減小 所以 1 Sn S1 故 0 Sn S1 3 2 1 Sn 1 S1 3 2 2 3 5 6 當(dāng) n 為偶數(shù)時 Sn隨 n 的增大而增大 所以 S2 SnSn S2 1 Sn 1 S2 3 4 4 3 7 12 綜上 對于 n N 總有 Sn 7 12 1 Sn 5 6 所以數(shù)列 Tn 最大項的值為 最小項的值為 5 6 7 12 19 本小題滿分 12 分 理 2013 重慶卷 某商場舉行的 三色球 購物摸獎活動規(guī)定 在一次摸獎中 摸獎?wù)呦葟难b有 3 個紅球與 4 個白球的袋中任意摸出 3 個球 再從裝有 1 個藍(lán)球與 2 個白球 的袋中任意摸出 1 個球 根據(jù)摸出 4 個球中紅球與藍(lán)球的個數(shù) 設(shè)一 二 三等獎如下 獎級摸出紅 藍(lán)球個數(shù)獲獎金額 一等獎3 紅 1 藍(lán)200 元 二等獎3 紅 0 藍(lán)50 元 三等獎2 紅 1 藍(lán)10 元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級 1 求一次摸獎恰好摸到 1 個紅球的概率 2 求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額 X 的分布列與期望 E X 解 設(shè) Ai表示摸到 i 個紅球 Bj表示摸到 j 個藍(lán)球 則 Ai i 0 1 2 3 與 10 Bj j 0 1 獨立 1 恰好摸到 1 個紅球的概率為 P A1 18 35 2 X 的所有可能值為 0 10 50 200 且 P X 200 P A3B1 P A3 P B1 1 3 1 105 P X 50 P A3B0 P A3 P B0 2 3 2 105 P X 10 P A2B1 P A2 P B1 1 3 12 105 4 35 P X 0 1 1 105 2 105 4 35 6 7 綜上知 X 的分布列為 X01050200 P 6 7 4 35 2 105 1 105 從而有 E X 0 10 50 200 4 元 6 7 4 35 2 105 1 105 文 某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x y z 用綜合指標(biāo)S x y z評價該產(chǎn)品的等 級 若S 4 則該產(chǎn)品為一等品 先從一批該產(chǎn)品中 隨機抽取 10 件產(chǎn)品作為樣本 其質(zhì) 量指標(biāo)列表如下 產(chǎn)品編號 A1A2A3A4A5 質(zhì)量指標(biāo) x y z 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 產(chǎn)品編號 A6A7A8A9A10 質(zhì)量指標(biāo) x y z 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率 在該樣品的一等品中 隨機抽取兩件產(chǎn)品 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果 設(shè)事件B為 在取出的 2 件產(chǎn)品中 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于 4 求事件 B發(fā)生的概率 11 20 本小題滿分 12 分 理 2013 江西卷 如圖 1 6 所示 四棱錐 P ABCD 中 PA 平面 ABCD E 為 BD 的中點 G 為 PD 的中點 DAB DCB EA EB AB 1 PA 聯(lián)結(jié) CE 并延長交 AD 于 F 3 2 1 求證 AD 平面 CFG 2 求平面 BCP 與平面 DCP 的夾角的余弦值 圖 1 6 解 1 證明 在 ABD 中 因為 E 是 BD 中點 所以 EA EB ED AB 1 故 BAD ABE AEB 2 3 因為 DAB DCB 所以 EAB ECB 12 從而有 FED BEC AEB 3 所以 FED FEA 故 EF AD AF FD 又因為 PG GD 所以 FG PA 又 PA 平面 ABCD 所以 GF AD 故 AD 平面 CFG 2 以點 A 為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系 則 A 0 0 0 B 1 0 0 C D 0 0 3 2 3 2 0 3 P0 0 故 3 2 BC 1 2 3 2 0 CP 3 2 3 2 3 2 CD 3 2 3 2 0 設(shè)平面 BCP 的法向量n1 1 y1 z1 則 1 2 3 2 y1 0 3 2 3 2 y1 3 2z1 0 解得即n1 y1 3 3 z1 2 3 1 3 3 2 3 設(shè)平面 DCP 的法向量n2 1 y2 z2 則解得 3 2 3 2 y2 0 3 2 3 2 y2 3 2z2 0 y2 3 z2 2 即n2 1 2 3 從而平面 BCP 與平面 DCP 的夾角的余弦值為 cos n1 n2 n1 n2 4 3 16 9 8 2 4 文 2013 江蘇卷 如圖 1 2 在三棱錐 S ABC 中 平面 SAB 平面 SBC AB BC AS AB 過 A 作 AF SB 垂足為 F 點 E G 分別是棱 SA SC 的中點 13 求證 1 平面 EFG 平面 ABC 2 BC SA 圖 1 2 證明 1 因為 AS AB AF SB 垂足為 F 所以 F 是 SB 的中點 又因為 E 是 SA 的中 點 所以 EF AB 因為 EF 平面 ABC AB 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 同理 EG 平面 ABC 又 EF EG E 所以平面 EFG 平面 ABC 2 因為平面 SAB 平面 SBC 且交線為 SB 又 AF 平面 SAB AF SB 所以 AF 平面 SBC 因為 BC 平面 SBC 所以 AF BC 又因為 AB BC AF AB A AF AB 平面 SAB 所以 BC 平面 SAB 因為 SA 平面 SAB 所以 BC SA 21 本小題滿分 12 分 2012 高考真題浙江文 22 如圖 1 6 在直角坐標(biāo)系xOy中 點P到拋物線 1 1 2 C y2 2px p 0 的準(zhǔn)線的距離為 點M t 1 是C上的定點 A B是C上的兩動點 且 5 4 線段AB被直線OM平分 1 求p t的值 2 求 ABP面積的最大值 14 圖 1 6 解 1 由題意知Error 得Error 2 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 線段AB的中點為Q m m 由題意知 設(shè)直線AB的斜率為k k 0 由Error 得 y1 y2 y1 y2 x1 x2 故k 2m 1 所以直線AB方程為y m x m 即x 2my 2m2 m 0 1 2m 由Error 消去x 整理得y2 2my 2m2 m 0 所以 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1 y2 2m2 m 從而 AB y1 y2 1 1 k21 4m24m 4m2 設(shè)點P到直線AB的距離為d 則d 1 2m 2m2 1 4m2 設(shè) ABP的面積為S 則S AB d 1 2 m m2 1 2m m2 由 4m 4m2 0 得 0 m 1 令u 0 u 則S u 1 2u2 m m2 1 2 設(shè)S u u 1 2u2 0 u 則S u 1 6u2 1 2 由S u 0 得u 所以S u max S 6 6 0 1 2 6 6 6 9 故 ABP面積的最大值為 6 9 22 本小題滿分 12 分 15 理 湖北省武漢市 2012 屆高三四月調(diào)研測試數(shù)學(xué)理 已知函數(shù)f x ln 1 x ax 在x 處的切線的斜率為 1 1 2 求a的值及f x 的最大值 證明 1 ln n 1 n N 1 2 1 3 1 n 設(shè)g x b ex x 若f x g x 恒成立 求實數(shù)b的取值范圍 解 函數(shù)f x 的定義域為 1 求導(dǎo)數(shù) 得f x a 1 1 x 由已知 得f 1 即 a 1 所以a 1 1 2 此時f x ln 1 x x f x 1 1 1 x x 1 x 當(dāng) 1 x 0 時 f x 0 當(dāng)x 0 時 f x 0 所以當(dāng)x 0 時 f x 取得極大值 該極大值即為最大值 所以f x max f 0 0 4 分 法 一 由 得 ln 1 x x 0 即 ln 1 x x 當(dāng)且僅當(dāng)x 0 時 等號成立 令x k N 則 ln 1 即 ln 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 所以 ln k 1 lnk k 1 2 n 1 k 將上述n個不等式依次相加 得 1 ln2 ln1 ln3 ln2 ln n 1 lnn 1 2 1 3 1 n 所以 1 ln n 1 n N 10 分 1 2 1 3 1 n 法 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 當(dāng)n 1 時 左邊 1 lne 右邊 ln2 所以左邊 右邊 不等式成立 2 假設(shè)當(dāng)n k時 不等式成立 即 1 ln k 1 1 2 1 3 1 k 那么 1 ln k 1 1 2 1 3 1 k 1 k 1 1 k 1 由 知x ln 1 x x 1 且x 0 令x 則 ln 1 ln 1 k 1 1 k 1