2016 年高考數(shù)學(xué)理試題分類匯編 統(tǒng)計(jì)與概率 一、選擇題 1、（ 2016 年北京高考） 袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半 、丙是三個(gè)空盒 其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒 到袋中所有球都被放入盒中，則 （ ） 【答案】 C 2、（ 2016 年山東高考） 某高校調(diào)查了 200 名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是 0 ，樣本數(shù)據(jù)分組為1 7 . 5 , 2 0 ) , 2 0 , 2 2 . 5 ) , 2 2 . 5 , 2 5 ) , 2 5 , 2 7 . 5 ) , 2 7 . 5 , 3 0 200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于 時(shí)的人數(shù)是 （ A） 56 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 140 【答案】 D 3、（ 2016 年全國 I 高考） 某公司的班車在 7:30， 8:00， 8:30 發(fā)車，小明在 7:50 至 8:30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過 10 分鐘的概率是 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34 【答案】 B 4、（ 2016 年全國 考） 從區(qū)間 0,1 隨機(jī)抽取 2n 個(gè)數(shù)1x,2x， ，y，2y， ，成n 個(gè)數(shù)對 11, 22, ， ,中兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對共有 m 個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率 的近似值為 （ A） 4B） 2C） 4D） 2案】 C 5、（ 2016 年全國 考） 某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了 一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖。圖中 A 點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為 150C， B 點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為 50C。下面敘述不正確的是 (A) 各月的平均最低氣溫都在 00C 以上 (B) 七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C) 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D) 平均氣溫高于 200C 的月份有 5 個(gè) 【答案】 D 二、填空題 1、（ 2016 年山東高考） 在 , 11 上隨機(jī)的取一個(gè)數(shù) k ，則事件“直線 與圓 95 22 =+)( 交”發(fā)生的概率為 【答案】43 2、（ 2016 年上海高考） 某次體檢， 6 位同學(xué)的身高（單位：米）分別為 _（米） 【答案】 、（ 2016 年四川高考） 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在 2 次試驗(yàn)中成功次數(shù) X 的均值是 . 【答案】 32三、解答題 1、（ 2016 年北京高考） A、 B、 C 三個(gè)班共有 100 名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）； A 班 6 7 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 6 9 12 1） 試估計(jì) C 班的學(xué)生人數(shù)； （ 2） 從 A 班和 C 班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人， A 班選出的人記為甲， C 班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長的概率； （ 3） 再從 A、 B、 C 三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時(shí)間分別是 7， 9， 位：小時(shí)），這 3 個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0，試判斷0和1的大小，（結(jié)論不要求證明） 解析】 8 100 4020， C 班學(xué)生 40 人 在 A 班中取到每 個(gè)人的概率相同均為15設(shè) 班中取到第1,2,3,4,5 班中取到第1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 8班中取到概率為 則1 2 3 4 51 1 1 1 1() 5 5 5 5 5P D P P P P P 1 2 1 3 1 3 1 3 1 45 8 5 8 5 8 5 8 5 8 38 10三組平均數(shù)分別為7,9,均值 但 1中多 加的三個(gè)數(shù)據(jù), , ,小， 故拉低了平均值 2、（ 2016 年山東高考） 甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得 3 分；如果只有一人猜對，則“星隊(duì)”得 1 分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得 0 分已知甲每輪猜對的概率是43，乙每輪猜對的概率是32；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： ( ) “星隊(duì)”至少猜對 3 個(gè)成語的概率； ( ) “星隊(duì)”兩輪得分之和 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解析】 ( ) “ 至少猜對 3 個(gè)成語 ” 包括 “ 恰好猜對 3 個(gè)成語 ” 和 “ 猜對 4 個(gè)成語 ” 設(shè) “ 至少猜對 3 個(gè)成語 ” 為事件 A ； “ 恰好猜對 3 個(gè)成語 ” 和 “ 猜對 4 個(gè)成語 ” 分別為事件 ， 則1253232414331324343)( 1212 4132324343)( 所以3241125)()()( ( ) “星隊(duì)”兩輪得分之和 X 的所有可能取值為 0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0( 725144103143314131413241)1( 1212 14425313243413131434332324141)2( 12 1211441231413243)3( 12 12514460)31433241(3243)4( 12 411 443632433243)6( X 的分布列為： X 0 1 2 3 4 6 P 141 725 1425 121 125 41 X 的數(shù)學(xué)期望623144552641412 5312 121442517250144 1 3、（ 2016 年四川高考） 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn) x （噸）、一位居民的月用水量不超過 出 x 的部分按議價(jià)收費(fèi) ，通過抽樣，獲得了某年 100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 0, )， 4,成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖 . （ I）求直方圖中 a 的值； （ 該市有 30 萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于 3 噸的人數(shù)，并說明理由； （ 該市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn) x （噸），估計(jì) x 的值，并說明理由 . 【解析】 （ I） 由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為 1 頻率 =(頻率 /組距 )*組距 0 . 5 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 4 0 . 5 2 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 2 1a 得 （ 由圖，不低于 3噸 人數(shù) 所占百分比為 0 . 5 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 = 1 2 % 全市月均用水量不低于 3噸的人數(shù)為： 30 12%=(萬 ) （ 由圖可知， 月均 用水量 小于 占百分比為： 0 . 5 0 . 0 8 0 . 1 6 0 . 3 0 . 4 0 . 5 2 0 . 7 3 即 73% 的居民 月均 用水量小于 同理， 88%的居民 月均 用水量小于 3噸 ，故 x 假設(shè)月均用水量平均分布，則 8 5 % 7 3 % 0 . 52 . 5 0 . 5 2 . 90 . 3x （噸） . 注：本次估計(jì)默認(rèn)組間是平均分布，與實(shí)際可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差。 4、（ 2016 年天津高考） 某小組共 10 人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為 1,2,3的人數(shù)分別為 3,3,4,0 人中隨機(jī)選出 2 人作為該組代表參加座談會(huì) . （ I）設(shè) A 為事件“選出的 2 人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為 4”，求事件 A 發(fā)生的概率； （ X 為選出的 2 人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 . 【解析】（ ）設(shè)事件 A ：選 2 人參加義工活動(dòng)，次數(shù)之和為 4 1 1 23 4 3210C C C 1 （ ）隨機(jī)變量 X 可 能取值 0， 1， 2 2223 3 42100 C 1 5 1 1 1 13 3 3 4210C C C C 71 C 1 5 11342102 C 1 5 X 0 1 2 P 415 715 415 78 11 5 1 5 5、（ 2016 年全國 I 高考） 某公司計(jì)劃購買 2 臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰 購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè) 200 元 果備件不足再購買，則每個(gè) 500 元 此搜集并整理了 100 臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這 100 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記 X 表示 2 臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)， n 表示購買 2 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù) . （ I）求 X 的分布列； （ 要求 ( ) 0 n，確定 n 的最小值； （ 購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在 19n 與 20n 之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 解： 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為 8， 9， 10， 11 記事件 年內(nèi)換掉 7i 個(gè)零件 1, 2,3, 4i 記事件 年內(nèi)換掉 7i 個(gè)零件 1, 2,3, 4i 由題知 1 3 4 1 3 4 0 . 2P A P A P A P B P B P B ， 220 . 4A P B設(shè) 2 臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為 X ， 則 X 的可能的取值為 16， 17， 18， 19，20， 21， 22 111 6 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P X P A P B 1 2 2 11 7 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 0 . 1 6P X P A P B P A P B 1 3 2 2 3 11 8 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 4 0 . 2 4P X P A P B P A P B P A P B 1 4 2 3 3 2 4 11 9 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B P A P B 2 4 3 3 4 22 0 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 4 0 . 2 0 . 2 0 . 2P X P A P B P A P B P A P B 3 4 4 32 1 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 8P x P A P B P A P B 442 2 0 . 2 0 . 2 0 . 0 4P x P A P B X 16 17 18 19 20 21 22 P 要令 0 x n ， 0 . 0 4 0 . 1 6 0 . 2 4 0 . 5 ， 0 . 0 4 0 . 1 6 0 . 2 4 0 . 2 4 0 . 5 則 n 的最小值為 19 購買零件所需費(fèi)用含兩部分，一部分為購買機(jī)器時(shí)購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用 當(dāng) 19n 時(shí)，費(fèi)用的期望為 1 9 2 0 0 5 0 0 0 . 2 1 0 0 0 0 . 0 8 1 5 0 0 0 . 0 4 4 0 4 0 當(dāng) 20n 時(shí)，費(fèi)用 的期望為 2 0 2 0 0 5 0 0 0 . 0 8 1 0 0 0 0 . 0 4 4 0 8 0 所以應(yīng)選用 19n 6、（ 2016 年全國 考） 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為 a （單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費(fèi) a a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 . 05 （ ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； （ ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出 60%的概率； （ ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值 【解析】 設(shè)續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)為事件 A， ( ) 1 ( ) 1 ( P A 設(shè)續(xù)保人保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%為事件 B， ( ) () ( ) 1P A A 解：設(shè)本年度所交保費(fèi)為隨機(jī)變量 X 2 E X a a a a a a a a a a a ， 7、（ 2016 年全國 考） 下圖是我國 2008 年至 2014 年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （ I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； （ 立 y 關(guān)于 t 的回歸方程（系數(shù)精確到 預(yù)測 2016 年