高中數(shù)學(xué)由遞推公式求通項(xiàng)公式題型總結(jié)第一篇:2015年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)題型全歸納：如何由遞推公式求通項(xiàng)公式典型例題 如何由遞推公式求通項(xiàng)公式 高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是高考的熱點(diǎn)之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理。找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉(zhuǎn)換思想，通過適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到化陌生為熟悉的目的。 下面就遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本類型作一個(gè)歸納，以供參考。 類型一：an+1-an=f(n) 或 an+1=g(n) an 分析：利用迭加或迭乘方法。即：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 或an=anan-1a2a1 an-1an-2a1 11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 ,an+1=an+22n+n (n+1)an （2）已知數(shù)列an滿足a1=1,sn=，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 2例1.(1) 已知數(shù)列an滿足a1= 解：（1）由題知：an+1-an=1111 =-2n+nn(n+1)nn+1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =(1111111-)+(-)+(-)+n-1nn-2n-1122 = （2）31- 2n2sn=(n+1)an 2sn-1=nan-1(n2) 兩式相減得：2an=(n+1)an-nan-1(n2) ann=(n2) an-1n-1 anan-1a2a1 an=an-1an-2a1 nn-121 =n-1n-21 =n 即： 類型二：an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù)，pq(p-1)0) 分析：把原遞推公式轉(zhuǎn)為：an+1-t=p(an-t),其中t= 比數(shù)列求解。 q，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等1-p 例2.已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=2an+3，求an的通項(xiàng)公式。 解：由an+1=2an+3 可轉(zhuǎn)化為： an+1+3=2(an+3) 令bn=an+3,則b1=a1+3=4且bn+1=2bn bn是以b1=4為首項(xiàng)，公比為q=2的等比數(shù)列 bn=42n-1=2n+1 即 an=2n+1-3 類型三：an+1=pan+f(n)(其中p為常數(shù)) 分析：在此只研究兩種較為簡單的情況，即f(x)是多項(xiàng)式或指數(shù)冪的形式。 （1）f(x)是多項(xiàng)式時(shí)轉(zhuǎn)為an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B)，再利用換元法轉(zhuǎn)為等比數(shù)列 （2）f(x)是指數(shù)冪：an+1=pan+rqn+1(pqr0) 若p=q時(shí)則轉(zhuǎn)化為an+1an=n+r，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 n+1qq高中數(shù)學(xué)由遞推公式求通項(xiàng)公式題型總結(jié) qr p-q若pq時(shí)則轉(zhuǎn)化為an+1+tqn+1=p(an+tqn),其中t= 例3.（1）設(shè)數(shù)列an中，a1=1,an+1=3an+2n+1，求an的通項(xiàng)公式。 （2）設(shè)數(shù)列an中，a1=1,an+1=3an+2，求an的通項(xiàng)公式。 n 解：（1）設(shè)an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B) an+1=3an+2An+2B-A 與原式比較系數(shù)得：2A=2A=1 2B-A=1B=1 即an+1+(n+1)+1=3(an+n+1) 令bn=an+n+1,則bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3 bn是b1=3為首項(xiàng)，公比q=3的等比數(shù)列 bn=33n-1=3n 即:an=3-n-1n (2)設(shè)an+1+t2n+1=3(an+t2n) 展開后得：an+1=3an+2n 對比得：t=1 an+1+2n+1=3(an+2n) 令bn=an+2n,則bn+1=3bn,且b1=a1+21=3 bn是b1=3為首項(xiàng)，公比q=3的等比數(shù)列 bn=33n-1=3n 即:an=3-2 rnn 類型四：an+1=pan(p0,an0) 分析：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后得：lgan+1=rlgan+lgp，再采用類型二進(jìn)行求解。 例4.設(shè)數(shù)列an中，a1=1,an+1= 解：由an+1=12an(a0)，求an的通項(xiàng)公式。 a12an，兩邊取對數(shù)得: a 1 lgan+1=2lgan+lg a 設(shè)lgan+1+t=2(lgan+t)展開后與上式對比得：t=lg1 a 11=2(lgan+lg) aa 11 令bn=(lgan+lg)，則bn+1=bn,且b1=lg aa 1 bn是b1=lg為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列 a 原式可轉(zhuǎn)化為lgan+1+lg bn=2n-1111lg，即lgan+lg=2n-1lg aaa 1-2n-1 也即an=a 類型五：an+1= f(n)an g(n)an+h(n) 分析：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后再換元可轉(zhuǎn)化為類型二。 an-1，求an的通項(xiàng)公式。 3an-1+1 13an-1+11 解：原式兩邊取倒數(shù)得： =3+anan-1an-1 1 設(shè)bn =,則bn-bn-1=3,且b1=1 an 1 bn是b1=為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列 3 例5.已知數(shù)列an滿足：a1=1,an= bn=1+(n-1)3=3n-2 即an= 1 3n-2第二篇:2015屆高考數(shù)學(xué)(新課標(biāo)) 題型全歸納 如何由遞推公式求通項(xiàng)公式典型例題 如何由遞推公式求通項(xiàng)公式 高中數(shù)學(xué)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是高考的熱點(diǎn)之一，是一類考查思維能力的題型，要求考生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理。找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)是遞推的思想：從一般到特殊，從特殊到一般；化歸轉(zhuǎn)換思想，通過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到化陌生為熟悉的目的。 下面就遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本類型作一個(gè)歸納，以供參考。 an+1 類型一：an+1-an=f(n) 或 a=g(n) n 分析：利用迭加或迭乘方法。即：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1an= anan-1或 aa2 a1 n-1an-2a1 例1.(1) 已知數(shù)列 ana1=1,an+1=an+1 滿足2n2+n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 1,sn= (n+1)an （2）已知數(shù)列 ana1=滿足 2，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。 an+1-an= 1解：（1n2+n=1n(n+1)=1n- 1 ）由題知： n+1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =( 1111111n-1-n)+(n-2-n-1)+(1-2)+2 31 = 2-n （2） 2sn=(n+1)an 2sn-1=nan-1(n2) 兩式相減得：2an=(n+1)an-nan-1(n2) ana=n (n2)高中數(shù)學(xué)由遞推公式求通項(xiàng)公式題型總結(jié) 即：n-1n-1 an= anan-1a a2 aa1 n-1an-21=nn-12 n-1n-2 11 - 1 - =n 類型二：an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù)，pq(p-1)0) an+1-t=p(an-t),其中t= 分析：把原遞推公式轉(zhuǎn)為：求解。 例2.已知數(shù)列 q 1-p，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 an中，a1=1,an+1=2an+3，求an的通項(xiàng)公式。 解：由an+1=2an+3 可轉(zhuǎn)化為： an+1+3=2(an+3) 令bn=an+3,則b1=a1+3=4且bn+1=2bn bn是以b1=4為首項(xiàng)，公比為q=2的等比數(shù)列 n-1 bn=42 即 an=2 =2n+1 -3 n+1 類型三：an+1=pan+f(n)(其中p為常數(shù)) 分析：在此只研究兩種較為簡單的情況，即f(x)是多項(xiàng)式或指數(shù)冪的形式。 （1）f(x)是多項(xiàng)式時(shí)轉(zhuǎn)為an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B)，再利用換元法轉(zhuǎn)為等比數(shù)列 n+1 an+1=pan+rq(pqr0) f(x)（2）是指數(shù)冪： an+1an =n+rn+1 q若p=q時(shí)則轉(zhuǎn)化為q，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 若pq時(shí)則轉(zhuǎn)化為例3.（1）設(shè)數(shù)列 an+1+tqn+1=p(an+tqn),其中t= qr p-q an中，a1=1,an+1=3an+2n+1，求an的通項(xiàng)公式。 nanan的通項(xiàng)公式。 a1=1,an+1=3an+2 （2）設(shè)數(shù)列中，求 解：（1）設(shè)an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B) an+1=3an+2An+2B-A - 2 - 2A=2A=1 2B-A=1B=1 與原式比較系數(shù)得： 即an+1+(n+1)+1=3(an+n+1) 令bn=an+n+1,則bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3 bn是b1=3為首項(xiàng)，公比q=3的等比數(shù)列bn=33n-1=3n n 即:an=3-n-1 n+1nan+1+t2=3(an+t2)(2)設(shè) 展開后得：an+1=3an+2 對比得：t=1 n an+1+2n+1=3(an+2n) n1bn=an+2,則bn+1=3bn,且b1=a1+2=3令 bn是b1=3為首項(xiàng)，公比q=3的等比數(shù)列bn=33n-1=3n即:an=3n-2n r an+1=pan(p0,an0)類型四： 分析：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后得：lgan+1=rlgan+lgp，再采用類型二進(jìn)行求解。 例4.設(shè)數(shù)列 an中， a1=1,an+1= 12 an(a0)an的通項(xiàng)公式。 a，求 an+1= 解：由 12 ana，兩邊取對數(shù)得: 1高中數(shù)學(xué)由遞推公式求通項(xiàng)公式題型總結(jié) a t=lg 1a lgan+1=2lgan+lg 設(shè)lgan+1+t=2(lgan+t)展開后與上式對比得： 原式可轉(zhuǎn)化為lgan+1+lg 11=2(lgan+lg)aa高中數(shù)學(xué)由遞推公式求通項(xiàng)公式題型總結(jié)