2 1數(shù)列 2 1 1數(shù)列 1 如果f x x2 1 x 1 2 3 4 5 則f x 的值域?yàn)?2 將前5個正整數(shù)的倒數(shù)排成一列 3 函數(shù)f x 2x 1 x 1 2 3 4 5 的圖象上共有個點(diǎn) 它們是 0 3 8 15 24 5 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 1 數(shù)列及其有關(guān)概念 1 數(shù)列 按照一定排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列 2 項(xiàng) 數(shù)列中的叫做這個數(shù)列的項(xiàng) 第1項(xiàng)通常也叫做 若是有窮數(shù)列 最后一項(xiàng)也叫做 2 數(shù)列的表示數(shù)列的一般形式可以寫成a1 a2 a3 an 簡記為 這里n是 次序 每一個數(shù) 首項(xiàng) 末項(xiàng) 正整數(shù) 3 數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式an f n 來表示 那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式 4 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 1 數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系從映射 函數(shù)的觀點(diǎn)看 數(shù)列可以看作是一個定義域?yàn)榈暮瘮?shù)an f n 即當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時 所對應(yīng)的一列函數(shù)值 其圖象是一些孤立的點(diǎn) n 正整數(shù)集n 或它的有限子集 相應(yīng)曲線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的 2 數(shù)列的表示方法 5 數(shù)列的分類 1 按項(xiàng)的個數(shù)分類 圖象法 列表法 通項(xiàng)公式法 有限 無限 2 按項(xiàng)的變化趨勢分類 大于 小于 都相等 1 所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎 提示 不是 數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際就是相應(yīng)函數(shù)的解析式 并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式 就像并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示一樣 2 an 與an表示的意義相同嗎 提示 an 與an是不同的兩種表示 an 表示數(shù)列a1 a2 an 是數(shù)列的一種簡記形式 而an只表示數(shù)列 an 的第n項(xiàng) an與 an 是 個體 與 整體 的從屬關(guān)系 其中 有窮數(shù)列是 無窮數(shù)列是 遞增數(shù)列是 遞減數(shù)列是 常數(shù)列是 擺動數(shù)列是 周期數(shù)列是 思路點(diǎn)撥 依據(jù)相應(yīng)概念進(jìn)行判斷 是擺動數(shù)列 是無窮數(shù)列 也是周期數(shù)列 最小正周期為4 是常數(shù)列 是有窮數(shù)列 答案 數(shù)列分類是按不同的標(biāo)準(zhǔn)定義的 判斷時要理解清題意 緊扣概念 解析 5 是有窮數(shù)列 1 2 3 4 6 是無窮數(shù)列 2 是遞增數(shù)列 1 4 是遞減數(shù)列 6 是擺動數(shù)列 3 5 是常數(shù)列 1 由通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式 分別寫出其前4項(xiàng)與第10項(xiàng) 思路點(diǎn)撥 解答 1 時注意利用余弦函數(shù)的周期性 解答 2 應(yīng)先化簡通項(xiàng)公式再求項(xiàng) 由通項(xiàng)公式求項(xiàng)就是求n取指定值時的函數(shù)值 如果通項(xiàng)公式較復(fù)雜 應(yīng)先化簡再求值 解析 1 an f n 2n 1 a1 f 1 21 1 3 a2 f 2 22 1 5 a3 f 3 23 1 9 a4 f 4 24 1 17 的前4項(xiàng)依次為3 5 9 17 2 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式 思路點(diǎn)撥 分析各項(xiàng)與對應(yīng)序號間的關(guān)系 通過歸納 猜想得到一個合適的表達(dá)式 解答本題在尋找規(guī)律時用到以下幾種思路 先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 如都化成分?jǐn)?shù) 根式等 分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分 探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式 對于符號交替出現(xiàn)的情況 可先觀察其絕對值 再以 1 n處理符號 對于周期出現(xiàn)的數(shù)列 可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式 或者利用周期函數(shù) 如三角函數(shù)等 已知函數(shù)f x 2x 2 x 數(shù)列 an 滿足f log2an 2n 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 證明數(shù)列 an 是遞減數(shù)列 思路點(diǎn)撥 首先建立關(guān)于an的一元二次方程求解an 再證明an an 1即可證明數(shù)列 an 是遞減數(shù)列 1 數(shù)列概念的理解 1 數(shù)列是按一定 次序 排列的一列數(shù) 一個數(shù)列不僅與組成數(shù)列的 數(shù) 有關(guān) 而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān) 因此 如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同 那么它們就是不同的數(shù)列 2 數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別與聯(lián)系 數(shù)列與數(shù)集都是具有某種共同屬性的數(shù)的全體 數(shù)列中的數(shù)是有序的 數(shù)集中的元素是無序的 同一個數(shù)在數(shù)列中可重復(fù)出現(xiàn) 而數(shù)集中的元素是互異的 2 數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納其通項(xiàng)公式 據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時 需仔細(xì)觀察分析 抓住以下幾方面的特征 分式中分子 分母的特征 相鄰項(xiàng)的變化特征 拆項(xiàng)后的特征 各項(xiàng)符號特征和絕對值特征等 并對此進(jìn)行歸納 聯(lián)想 3 基本數(shù)