教學(xué)資料范本2020新課標(biāo)高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系含解析編 輯：_時 間：_第8節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系最新考綱核心素養(yǎng)考情聚焦1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合的思想1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定與應(yīng)用、達成直觀想象和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)2.根據(jù)直線與圓錐曲線的位置求參數(shù)、增強邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)3.弦長問題與中點弦問題的研究、提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考的熱點、考查知識有直線與橢圓、拋物線相交、涉及弦長、中點、面積、對稱性等問題題型既有選擇題、填空題、又有解答題、難度不小、屬中高檔題型、做題時要充分利用函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方程ax2bxc0的解l與C1的交點a0b0無解(含l是雙曲線的漸近線)無公共點b0有一解(含l與拋物線的對稱軸平行或與雙曲線的漸近線平行)一個交點a00兩個不等的解兩個交點0兩個相等的解一個切點b0)的弦、A(x1、y1)、B(x2、y2)、弦中點M(x0、y0)(1)斜率：k.(2)弦AB的斜率與弦中點M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值思考辨析判斷下列說法是否正確、正確的在它后面的括號里打“”、錯誤的打“”(1)直線與雙曲線有且只有一個公共點、則判別式0.( )(2)經(jīng)過拋物線上一點有且只有一條直線與拋物線有一個公共點( )(3)過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點( )(4)直線ykx1與橢圓1恒有兩個公共點( )(5)直線與橢圓有且只有一個公共點、則其判別式0.( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小題查驗1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為( )A相交B相切C相離 D不確定解析：A直線ykxk1k(x1)1恒過定點(1,1)、又點(1,1)在橢圓內(nèi)部、故直線與橢圓相交2“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：A直線與雙曲線相切時、只有一個公共點、但直線與雙曲線相交時、也可能有一個公共點、例如：與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點故選A.3若直線ykx與雙曲線1相交、則k的取值范圍是()A.B.C.D.解析：C雙曲線1的漸近線方程為yx、若直線與雙曲線相交、數(shù)形結(jié)合、得k.4(人教A版教材P80A組T8改編)已知與向量v(1,0)平行的直線l與雙曲線y21相交于A、B兩點、則|AB|的最小值為_解析：由題意可設(shè)直線l的方程為ym、代入y21得x24(1m2)、所以x12、x22、所以|AB|x1x2|44、即當(dāng)m0時、|AB|有最小值4.答案：45橢圓y21的弦被點平分、則這條弦所在的直線方程是_解析：設(shè)弦的兩個端點為A(x1、y1)、B(x2、y2)、則x1x21、y1y21.A、B在橢圓上、y1、y1.兩式相減得(y1y2)(y1y2)0、即、即直線AB的斜率為.直線AB的方程為y、即2x4y30.答案：2x4y30考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(自主練透)題組集訓(xùn)1若過點(0,1)作直線、使它與拋物線y24x僅有一個公共點、則這樣的直線有( )A1條B2條C3條D4條解析：C結(jié)合圖形分析可知、滿足題意的直線共有3條：直線x0、過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x0)、故選C.2雙曲線C：1(a0、b0)的右焦點為F、直線l過焦點F、且斜率為k、則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是()Ak BkCk或k Dk解析：D由雙曲線漸近線的幾何意義知k.故選D.3若直線mxny4和圓O：x2y24沒有交點、則過點(m、n)的直線與橢圓1的交點個數(shù)為( )A至多一個 B2 C1 D0解析：B直線mxny4和圓O：x2y24沒有交點、2、m2n24.1m21、點(m、n)在橢圓1的內(nèi)部、過點(m、n)的直線與橢圓1的交點有2個、故選B.判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x、y的方程組、消去y(或x)得一元方程、此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)、方程組的解即為交點坐標(biāo)；(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象、根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)提醒：直線與雙曲線相交時要注意交點的位置限制參數(shù)的范圍考點二根據(jù)直線與圓錐曲線的位置求參數(shù)(師生共研)典例(1)若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點、則k的取值范圍是()A.B.C. D.解析D由得(1k2)x24kx100、直線與雙曲線右支有兩個不同交點、解得k1.故選D.(2)(20xx市模擬)已知直線xy0與拋物線y24x交于A、B兩點(A在x軸上方)、與x軸交于F點、則()A.BC.D解析B直線xy0過拋物線的焦點F(1,0)、把直線方程代入拋物線的方程y24x、解得、或、不妨設(shè)A(3,2)、B.、(1,0)(3、2).31,20、則.故選B.由位置關(guān)系求字母參數(shù)時、用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程的根或不等式解集、也可以數(shù)形結(jié)合、求出邊界位置、再考慮其它情況跟蹤訓(xùn)練1(20xx市三模)已知F為橢圓1的左焦點、A是橢圓的短軸的上頂點、點B在x軸上、且AFAB、A、B、F三點確定的圓C恰好與直線xmy30相切、則m的值為()A3B.CD3解析：C由題意可知：橢圓1的左焦點(1,0)、設(shè)B(x,0)、由AFAB、且A、B、F三點確定的圓C、圓心C、半徑為r.在AOC中、由|AO|2|OC|2|AC|2r2、即()222、解得x3、則C(1,0)、半徑為2、由題意可知：圓心到直線xmy30距離d2、解得m.故選C.2已知直線yxm被橢圓4x2y21截得的弦長為、則m的值為_解析：把直線yxm代入橢圓方程得4x2(xm)21、即5x22mxm210、設(shè)該直線與橢圓相交于兩點A(x1、y1)、B(x2、y2)、則x1、x2是方程5x22mxm210的兩根、4m220(m21)16m2200、即m2b0)的離心率為、過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時、AB4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|CD|、求直線AB的方程直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算直線與橢圓位置關(guān)系綜合問題中的核心素養(yǎng)以學(xué)習(xí)過的直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識為基礎(chǔ)、借助直線、橢圓等平面圖形的幾何性質(zhì)、通過邏輯推理將已知條件代數(shù)化、并通過消元等進行一系列的數(shù)學(xué)運算、從而使問題得以解決信息提取信息解讀直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算橢圓1(ab0)的離心率為著眼點1：求橢圓的方程：待定系數(shù)法、通過解方程求出a和b過橢圓右焦點F的弦AB斜率為0時、AB42a4過橢圓右焦點F的弦AB與CD互相垂直、當(dāng)直線AB斜率為0時、|AB|4、|AB|CD|分兩種情況討論：當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時、另一條弦所在直線的斜率不存在；當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0著眼點2：求直線AB的方程：待定系數(shù)法求出直線AB的斜率k、也就是利用弦長公式將|AB|CD|轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程 解析(1)由題意知e、2a4.又a2b2c2、解得所以橢圓方程為1.(2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時、另一條弦所在直線的斜率不存在、由題意知|AB|CD|7、不滿足條件當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時、設(shè)直線AB的方程為yk(x1)、A(x1、y1)、B(x2、y2)、則直線CD的方程為y(x1)將直線AB方程代入橢圓方程中并整理、得(34k2)x28k2x4k2120、則x1x2、x1x2、所以|AB|x1x2|.同理、|CD|.所以|AB|CD|、解得k1、所以直線AB的方程為xy10或xy10.1利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形、若k不存在時、可直接求交點坐標(biāo)再求弦長；2涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練已知圓C：x2(y1)25、直線l：mxy2m0.(1)求證：mR、l與圓C總有兩個不同的交點A、B；(2)當(dāng)|AB|取最小值時、求l的方程與|AB|的最小值解：(1)由消去y并整理得、(1m2)x22m(1m)xm22m40、所以2m(1m)24(1m2)(m22m4)160、所以mR、直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B.(2)由(1)可得kCD1、當(dāng)|AB|取最小值時、直線l的斜率k1、即m1、故此時直線l的方程為xy30、即xy30.設(shè)A(x1、y1)、B(x2、y2)、不妨設(shè)x1x2、由消去y并整理得2x24x10.解得x11、x21、所以|AB|x1x2|2.考點四中點弦問題(多維探究)命題角度1由中點弦確定直線方程1已知(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點、則l的方程是_解析：設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1、y1)、B(x2、y2)則1、且1、兩式相減得.又x1x28、y1y24、所以、故直線l的方程為y2(x4)、即x2y80.答案：x2y80由中點弦確定直線方程常用點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后、代入圓錐曲線方程、并將兩式相減、式中含有x1x2、y1y2、三個未知量、這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率、借用中點公式即可求得斜率；也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組、化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解提醒中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解、需關(guān)注直線的斜率問題；點差法在確定范圍方面略顯不足命題角度2由中點弦確定曲線方程2已知橢圓E：1(ab0)的右焦點為F(3,0)、過點F的直線交E于A、B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1、1)、則E的方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：D設(shè)A(x1、y1)、B(x2、y2)、則1、1、兩式作差并化簡變形得、而、x1x22、y1y22、所以a22b2、又因為a2b2c29、于是a218、b29.故選D.由中點弦確定曲線方程、一般常用點差法、用中點坐標(biāo)和斜率找到曲線方程有關(guān)參數(shù)的關(guān)系式、求解即可命題角度3由中點弦解決對稱問題3已知雙曲線1(a0、b0)上的一點到雙曲線的左、右焦點的距離之差為4、若拋物線yax2上的兩點A(x1、y1)、B(x2、y2)關(guān)于直線yxm對稱、且x1x2、則m的值為()A.B.C2D3解析：A由雙曲線的定義知2a4、得a2、所以拋物線的方程為y2x2.因為點A(x1、y1)、B(x2、y2)在拋物線y2x2上、所以y12x、y22x、兩式相減得y1y22(x1x2)(x1x2)、不妨設(shè)x1x2、又A、B關(guān)于直線yxm對稱、所以1、故x1x2、而x1x2、解得x11、x2、設(shè)A(x1、y1)、B(x2、y2)的中點為M(x0、y0)、則x0、y0、因為中點M在直線yxm上、所以m、解得m.故選A.由中點弦解決對稱問題、首先根據(jù)斜率之積等于1、用點差法表示出有關(guān)式子再利用中點在已知直線上、代入解的命題角度4由中點弦解決離心率問題4(20xx市一模)已知橢圓r：1(ab0)的右焦點為F(1,0)、且離心率為、ABC的三個頂點都在橢圓r上、設(shè)ABC三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、M、且三條邊所在直線的斜率分別為k1、k2、k3、且k1、k2、k3均不為0.O為坐標(biāo)原點、若直線OD、OE、OM的斜率之和為1.則_.解析：由c1、e、則a2、b2a2c23、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.設(shè)A(x1、y1)、B(x2、y2)、C(x3、y3)、D(s1、t1)、E(s2、t2)、M(s3、t3)由A、B在橢圓上、則3x4y12,3x4y12、兩式相減得到：、所以k1、即、同理、所以、直線OD、OE、OM的斜率之和為1、則.答案：由中點弦解決離心率問題、指導(dǎo)思想是整體代換、設(shè)而不求、設(shè)出兩個相關(guān)點的坐標(biāo)、利用點差法、把相關(guān)的關(guān)系式是表示出來、再根據(jù)具體題目的條件求解1已知拋物線y22x、過點(1,2)作直線l、使l與拋物線有且只有一個公共點、則滿足上述條件的直線l共有()A0條B1條C2條D3條解析：D因為點(1,2)在拋物線y22x的左側(cè)、所以該拋物線一定有兩條過點(1,2)的切線、過點(1,2)與x軸平行的直線也與拋物線只有一個交點、所以過點(1,2)有3條直線與拋物線有且只有一個交點、故選D.2直線yx1截拋物線y22px所得弦長為2、此拋物線方程為()Ay22x By26xCy22x或y26x D以上都不對解析：C由得x2(22p)x10.x1x22p2、x1x21.24.解得p1或p3、拋物線方程為y22x或y26x.故選C.3過點P(1,1)作直線與雙曲線x21交于A、B兩點、使點P為AB中點、則這樣的直線()A存在一條、且方程為2xy10B存在無數(shù)條C存在兩條、方程為2x(y1)0D不存在解析：D設(shè)A(x1、y1)、B(x2、y2)、則x1x22、y1y22、則xy1、xy1、兩式相減得(x1x2)(x1x2) (y1y2)(y1y2)0、所以x1x2(y1y2)、即kAB2、故所求直線方程為y12(x1)、即2xy10.聯(lián)立可得2x24x30、但此方程沒有實數(shù)解、故這樣的直線不存在故選D.4(20xx全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F、過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M、N兩點、則()A5B6C7D8解析：D如圖焦點F(1,0)、直線的方程為y(x2)、將其代入y24x得：x25x40、設(shè)M(x1、y1)、N(x2、y2)、則x1x25、x1x24、(x11、y1)(x21、y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1(x12)(x22)x1x2(x1x2)458.5(20xx浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點分別為A、B、左焦點為F.以原點O為圓心的圓與直線BF相切、且該圓與y軸的正半軸交于點C、過點C的直線交橢圓于M、N兩點若四邊形FAMN是平行四邊形、則該橢圓的離心率為( )A. B. C. D.解析：A因為圓O與直線BF相切、所以圓O的半徑為、即|OC|、因為四邊形FAMN是平行四邊形、所以點M的坐標(biāo)為、代入橢圓方程得1、所以5e22e30、又0eb0)的離心率為、橢圓的短軸端點與雙曲線x21的焦點重合、過點P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(1)求橢圓C的方程；(2)求的取值范圍解：(1)由題意知e、所以e2、所以a2b2.因為雙曲線x21的焦點坐標(biāo)為(0、)、所以b、所以a24、所以橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)直線l的傾斜角為0時、不妨令A(yù)(2,0)、B(2,0)、則4、當(dāng)直線l的傾斜角不為0時、設(shè)其方程為xmy4、由(3m24)y224my