范文 范例 指導(dǎo) 參考 第一章 緒論1.1 微分方程：某些物理過程的數(shù)學(xué)模型1.2 基本概念習(xí)題1.2 1指出下面微分方程的階數(shù)，并回答方程是否線性的：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解 （1）一階線性微分方程；（2）二階非線性微分方程；（3）一階非線性微分方程；（4）二階線性微分方程；（5）一階非線性微分方程；（6）二階非線性微分方程2試驗(yàn)證下面函數(shù)均為方程的解，這里是常數(shù)（1）；（2）是任意常數(shù))；（3）；（4）是任意常數(shù))；（5）是任意常數(shù))；（6）是任意常數(shù))解 （1），所以，故為方程的解（2），所以，故為方程的解（3），所以，故為方程的解（4），所以，故為方程的解（5），所以，故為方程的解（6），故，因此為方程的解3驗(yàn)證下列各函數(shù)是相應(yīng)微分方程的解：（1），；（2），（是任意常數(shù)）；（3），（是任意常數(shù)）；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），證明 （1）因?yàn)?，所以?）由于，故（3）由于，于是（4）由，因此（5）因?yàn)?，所以?）從，得（7）由，得到（8）4給定一階微分方程，（1）求出它的通解；（2）求通過點(diǎn)的特解；（3）求出與直線相切的解；（4）求出滿足條件的解；（5）繪出（2），（3），(4)中的解的圖形解 （1）通解 （2）由，得到，所以過點(diǎn)的特解為（3）這時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得到，所以與直線相切的解為（4）由，得到，故滿足條件的解為（5）如圖1-1所示圖1-15求下列兩個(gè)微分方程的公共解：（1）；（2）解 公共解必須滿足，即，得到或是微分方程和的公共解6求微分方程的直線積分曲線解 設(shè)直線積分曲線為，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，若，則，得到，不可能故必有，則，代入原方程有，或，所以， ，得到 或所求直線積分曲線為和7微分方程，證明其積分曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線，也是此微分方程的積分曲線證明 設(shè)是微分方程的積分曲線，則與其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是由于適合微分方程，故，分別以代，亦有，而由，得到，從而也是此微分方程的積分曲線8物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫差成比例，如果物體在20分鐘內(nèi)由C冷至C，那么，在多久的時(shí)間內(nèi)，這個(gè)物體的溫度達(dá)到C？假設(shè)空氣的溫度為C解 設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為，微分方程為，解得 ，根據(jù)初始條件，得，因此，根據(jù) ，得到，由此，所以得到，當(dāng)時(shí)，解出（分鐘）（小時(shí)）在1小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，這個(gè)物體的溫度達(dá)到C9試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程：（1）曲線上任一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑夾角為；（2）曲線上任一點(diǎn)的切線介于兩坐標(biāo)軸之間的部分等于定長；（3）曲線上任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù)；（4）曲線上任一點(diǎn)的切線介于兩坐標(biāo)軸之間的部分被切點(diǎn)等分；（5）曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（6）曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；（7）曲線上任一點(diǎn)的切線的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比（提示：過點(diǎn)d的橫截距和縱截距分別為和）解 （1）曲線上任一點(diǎn)為，則，即（2）曲線上任一點(diǎn)處的切線方程為，與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為和，兩點(diǎn)間距離