第 1 頁（共 19 頁） 2016 年甘肅省張掖市高考數(shù)學(xué)三診試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12小題每小題 5分，共 60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A B C D 2若 R，則 “=0”是 “（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 3對于空間的兩條直線 m、 n 和一個平面 ，下列命題中的真命題是（ ） A若 m ， n ，則 m m ， n，則 m n C若 m ， n ，則 m m ， n ，則 m n 4設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 ， 7，則該數(shù)列的首項(xiàng) ） A B C D 5某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的 N=5，則輸出 i=（ ） A 6B 7C 8D 9 6該試題已被管理員刪除 7若變量 x， y 滿足約束條件 且 z=5y x 的最大值為 a，最小值為 b，則 a ） A 48B 30C 24D 16 第 2 頁（共 19 頁） 8已知向量 ， 和 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 = + ，則 +=（ ） A 2B 2C 3D 3 9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 3+ B 3+ C 3+ + D + 10函數(shù) f（ x） =在與直線 2x y=0 平行的切線，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2B（ ， 2） C 0， +） D（ 2， +） 11設(shè) 別為雙曲線 （ a 0， b 0）的左，右焦點(diǎn)若在雙曲線右支上存在一點(diǎn) P，滿足 |且 直線 距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） = ，且 g（ x） =f（ x） m 在（1， 1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ ， 2 （ 0， B（ ， 2 （ 0， C（ ， 2 （ 0， D（ ， 2 （ 0， 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 13設(shè) f（ x） = ，若 f（ a） =3，則 a= 14從字母 a， b， c， d， e 中任取兩個不同字母，則取到字母 a 的概率為 第 3 頁（共 19 頁） 15在 ，角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，已知 ，且滿足 2，則 a+c= 16設(shè)數(shù)列 （ n1， nN）滿足 ， ，且（ ）（ =2，若 x表示不超過 x 的最大整數(shù)，則 + + = 三、解答題：本大題共 5小題，共 70分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 . 17設(shè)函數(shù) （ 1）若 x（ 0， ），求 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 ， b=1，求 18某超市從 2014 年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取 100個整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布表和頻率分布直方圖： 分組（日銷售量） 頻率（甲種酸奶） 0， 10 10， 20 20， 30 30， 40 40， 50 ）寫出頻率分布直方圖 1 中的 a 的值；并作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖； （ ）記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為 s ， s ，試比較 s與 s 的大?。唬ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論） （ ）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)乙種酸奶在未來一個月（按 30 天計(jì)箅）的銷售量總量 19如圖，在三棱柱 ， 底面 E、 F 分別是棱 第 4 頁（共 19 頁） （ ）若 線段 的點(diǎn) D 滿足平面 平面 確定點(diǎn) D 的位置，并說明理由； （ ）證明： 20該試題已被管理員刪除 21已知 f（ x） =g（ x） = ，直線 l： y=（ k 3） x k+2 （ 1）函數(shù) f（ x）在 x=e 處的切線與直線 l 平行，求實(shí)數(shù) k 的值 （ 2）若至少存在一個 1， e使 f（ g（ 立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （ 3）設(shè) kZ，當(dāng) x 1 時 f（ x）的圖象 恒在直線 l 的上方，求 k 的最大值 四 22）（ 23）（ 24）中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分做題時用 2選修 4何證明選講 （本小題滿分 10分） 22如圖， O 的直徑， 弦， 平分線 O 于點(diǎn) D， 延長線于點(diǎn) E， 點(diǎn) F （ ）求證： O 的切線； （ ）若 = ，求 的值 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 t 是參數(shù)），以原點(diǎn) x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 （ 1）求曲線 指出其表示何種曲線； （ 2）若曲線 2交于 A， B 兩點(diǎn)，求 |最大值和最小值 選修 4等式選講 24（選修 4 5：不等式選講）已知函數(shù) f（ x） =|x+3|+|x a|（ a 0） （ ）當(dāng) a=4 時，已知 f（ x） =7，求 x 的取值范圍； （ ）若 f（ x） 6 的解集為 x|x 4 或 x2，求 a 的值 第 5 頁（共 19 頁） 2016 年甘肅省張掖市高考數(shù)學(xué)三診試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題每小題 5分，共 60分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1復(fù)數(shù) 的 虛部是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案 【解答】 解： = ， 復(fù)數(shù) 的虛部是 故選： B 2若 R，則 “=0”是 “（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 當(dāng) “=0”可以得到 “當(dāng) “，不一定得到 “=0”，得到 “=0”是 “充分不必要條件 【解答】 解： “=0”可以得到 “ 當(dāng) “，不一定得到 “=0”，如 = 等， “=0”是 “充分不必要條件， 故選 A 3對于空間的兩條直線 m、 n 和一個平面 ，下列命題中的真命題是（ ） A若 m ， n ，則 m m ， n，則 m n C若 m ， n ，則 m m ， n ，則 m n 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 A利用線面 平行的性質(zhì)定理即可得出； B利用線面平行的性質(zhì)定理即可得出； C利用線面平行與垂直的性質(zhì)定理即可得出； D利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出 【解答】 解： A若 m ， n ，則 m n、相交或?yàn)楫惷嬷本€，因此 A 不正確； B若 m ， n，則 m n 或?yàn)楫惷嬷本€，因此 B 不正確； C若 m ， n ，則 m n，因此 C 不正確； D若 m ， n ，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知： m n正確 第 6 頁（共 19 頁） 故選： D 4設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 ， 7，則該數(shù)列的首項(xiàng) ） A B C D 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，由 ， 7，可得 ，解得 故選： D 5某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的 N=5，則輸出 i=（ ） A 6B 7C 8D 9 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 計(jì)算循環(huán)中 n 與 i 的值，當(dāng) n=1 時滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，輸出結(jié)果即可 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 n=5， i=1 執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 n 是奇數(shù)， n=16， i=2， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=8， i=3， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=4， i=4， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=2， i=5， 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=1， i=6， 滿足條件 n=1，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 6 故選： A 6該試題已被管理員刪除 第 7 頁（共 19 頁） 7若變量 x， y 滿足約束條件 且 z=5y x 的最大值為 a，最小值為 b，則 a ） A 48B 30C 24D 16 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè) z=5y x，再利用 幾何意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為 需求出直線，過可行域內(nèi)的點(diǎn) B（ 8， 0）時的最小值，過點(diǎn) A（ 4， 4）時， 5y x 最大，從而得到 a b 的值 【解答】 解：滿足約束條件 的可行域如圖所示 在坐標(biāo)系中畫出可行域， 平移直線 5y x=0，經(jīng)過點(diǎn) B（ 8， 0）時， 5y x 最小，最小值為： 8， 則目標(biāo)函數(shù) z=5y x 的最小值為 8 經(jīng)過點(diǎn) A（ 4， 4）時， 5y x 最大，最大值為： 16， 則目標(biāo)函數(shù) z=5y x 的最大值為 16 z=5y x 的最大值為 a，最小值為 b，則 a b 的值是： 24 故選 C 8已知向量 ， 和 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 = + ，則 +=（ ） A 2B 2C 3D 3 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量基本定理即可得出 【解答】 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系 則 =（ 1， 0）， =（ 2， 2）， =（ 1， 2） 第 8 頁（共 19 頁） = + ， （ 2， 2） =（ 1， 2） +（ 1， 0） =（ +， 2）， ， 解得 = 1， =3 +=2 故選： A 9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 3+ B 3+ C 3+ + D + 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 幾何體是四棱錐，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量，結(jié)合直觀圖求各個面的面積，再相加 【解答】 解：由三視圖知：幾 何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖： 其中 平面 ，底面 直角梯形，直角梯形的直角腰 ，兩底邊， ， = ， ， ， ， 三角形 直角三角形， 幾何體的表面積 S= 11+ 12+ 1+ + 1=3+ 故選： C 第 9 頁（共 19 頁） 10函數(shù) f（ x） =在與直線 2x y=0 平行的切線，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2B（ ， 2） C 0， +） D（ 2， +） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 問題等價于 f（ x） =2 在（ 0， +）上有解，分離出參數(shù) a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =在與直線 2x y=0 平行的切線，即 f（ x） =2 在（ 0， +）上有解， 而 f（ x） = +a，即 +a=2 在（ 0， +）上有解， a=2 ，因?yàn)?x 0，所以 2 2， 所以 a 的取值范圍是（ ， 2） 故選 B 11設(shè) 別為雙曲線 （ a 0， b 0）的左，右焦點(diǎn) 若在雙曲線右支上存在一點(diǎn) P，滿足 |且 直線 距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出 a 與 b 之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率 【 解答】 解：依題意 |可知三角形 一個等腰三角形， 直線 投影是其中點(diǎn)， 由勾股定理知可知 |2 =4b 根據(jù)雙曲定義可知 4b 2c=2a，整理得 c=2b a， 代入 c2=a2+4，求得 = ； e= = = = 故選 B 12已知函數(shù) f（ x） = ，且 g（ x） =f（ x） m 在（1， 1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ ， 2 （ 0， B（ ， 2 （ 0， C（ ， 2 （ 0， D（ ， 2 （ 0， 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 第 10 頁（共 19 頁） 【分析】 由 g（ x） =f（ x） m=0，即 f（ x） =m（ x+1），作出兩個函數(shù)的 圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論 【解答】 解：由 g（ x） =f（ x） m=0，即 f（ x） =m（ x+1）， 分別作出函數(shù) f（ x）和 y=h（ x） =m（ x+1）的圖象如圖： 由圖象可知 f（ 1） =1， h（ x）表示過定點(diǎn) A（ 1， 0）的直線， 當(dāng) h（ x）過（ 1， 1）時， m= 此時兩個函數(shù)有兩個交點(diǎn)，此時滿足條件的 m 的取值范圍是0 m ， 當(dāng) h（ x）過（ 0， 2）時， h（ 0） = 2，解得 m= 2，此時兩個函 數(shù)有兩個交點(diǎn)， 當(dāng) h（ x）與 f（ x）相切時，兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)， 此時 ， 即 m（ x+1） 2+3（ x+1） 1=0， 當(dāng) m=0 時， x= ，只有 1 解， 當(dāng) m0，由 =9+4m=0 得 m= ，此時直線和 f（ x）相切， 要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)， 則 m 2 或 0 m ， 故選： A 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 13設(shè) f（ x） = ，若 f（ a） =3，則 a= 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 利用分段函數(shù)求值，分類討論 a 的取值范圍，求得 a 的值 【解答】 解：當(dāng) a 0， f（ a） = =3， a=4， 第 11 頁（共 19 頁） 當(dāng) a0， f（ a） =2a=3， a= 1，不成立； 故答案為： 4 14從字母 a， b， c， d， e 中任取兩個不同字母，則取到字母 a 的概率為 【考點(diǎn)】 等可能事件的概率 【分析】 求得從字母 a， b， c， d， e 中任取兩個不同字母、取到字母 a 的情況，利用古典概型概率公式求解即可 【解答】 解：從字母 a， b， c， d， e 中任取兩個不同字母，共有 =10 種情況，取到字母 a，共有 =4 種情況， 所求 概率為 = 故答案為： 15在 ，角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，已知 ，且滿足 2，則 a+c= 3 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理 【分析】 根據(jù)正弦定理以及余弦定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：在 ， b2= ， ， 2， 3， b2=3， b2=a2+2 13=（ a+c） 2 22 a+c） 2 213 213 ， 即（ a+c） 2=63， 即 a+c=3 ， 故答案為： 3 16設(shè)數(shù)列 （ n1， nN）滿足 ， ，且（ ）（ =2，若 x表示不超過 x 的最大整數(shù)，則 + + = 2015 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 構(gòu)造 bn= 判數(shù)列 4 為首項(xiàng) 2 為公差的等差數(shù) 列，累加法可得 an=n（ n+1），裂項(xiàng)相消法可得答案 第 12 頁（共 19 頁） 【解答】 解：構(gòu)造 bn= b1=， 由題意可得（ ）（ = ， 故數(shù)列 4 為首項(xiàng) 2 為公差的等差數(shù)列， 故 bn= +2（ n 1） =2n+2， 故 ， ， ， ， 1=2n， 以上 n 1 個式子相加可得 ，解得 an=n（ n+1）， 故 + + =2016（ + + ） =2016（ 1 + + ） =2016 ， + + =2015， 故答案為： 2015 三、解答題：本大題共 5小題，共 70分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證 明過程或演算步驟 . 17設(shè)函數(shù) （ 1）若 x（ 0， ），求 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 ， b=1，求 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象；余弦定理 【分析】 （ 1）由三角恒等變換化簡 f（ x），由此得到遞增區(qū)間 （ 2）由等式得到 ，利用余弦定理及三 角形面積公式即可 【解答】 解：（ ）由題意可知， = ， 由 ， 可解得： 又因?yàn)?x（ 0， ）， 所以 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 （ ）由 ，可得 ， 由題意知 B 為銳角，所以 ， 由余弦定理 b2=a2+2 第 13 頁（共 19 頁） 可得： ，即 ，且當(dāng) a=c 時等號成立， 因此 ， 所以 積的最大值為 18某超市從 2014 年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取 100個整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布表和頻率分布直方圖： 分組（日銷售量） 頻率（甲種酸奶） 0， 10 10， 20 20， 30 30， 40 40， 50 ）寫出頻率分布直方圖 1 中的 a 的值；并作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖 ； （ ）記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為 s ， s ，試比較 s與 s 的大小；（只需寫出結(jié)論） （ ）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)乙種酸奶在未來一個月（按 30 天計(jì)箅）的銷售量總量 【考點(diǎn)】 頻率分布直方圖；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 【分析】 （ I）根據(jù)頻 率分布直方圖的給出的數(shù)據(jù)得出 ， 015，即可得出 a 的值 （ 用非常公式求解即可得出大小 （ 解平均數(shù)得出 =），運(yùn)用 30 天求解即可得出： 0 為一個月（按 30天計(jì)箅）的銷售量總量 【解答】 解：（ I） a= 14 頁（共 19 頁） （ ） S ， （ ）乙種酸奶平均日銷售量為： =55555） 乙種酸奶未來一個月的銷售量為： 0=795（箱） 19如圖，在三棱柱 ， 底面 E、 F 分別是棱 （ ）若線段 的點(diǎn) D 滿足平面 平面 確定點(diǎn) D 的位置，并說明理由； （ ）證明： 【考點(diǎn)】 平面與平面平行的判定 【分析】 （ I）利用已知及面面平行的性質(zhì)可得 E 是棱 中點(diǎn)，即可得 D 是線段 中點(diǎn) （ 證明 由（ 1）可得 證 面 可證明 而得證 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ I） 面 面 E，面 B， 在 E 是棱 中點(diǎn)， D 是線段 中點(diǎn) （ 三棱柱 C= 側(cè)面 由（ 1）可得 第 15 頁（共 19 頁） ， 面 又 E， F 分別為棱 中點(diǎn)， 20該試題已被管理員刪除 21已知 f（ x） =g（ x） = ，直線 l： y=（ k 3） x k+2 （ 1）函數(shù) f（ x）在 x=e 處的切線與直線 l 平行，求實(shí)數(shù) k 的值 （ 2）若至少存在一個 1， e使 f（ g（ 立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 （ 3）設(shè) kZ，當(dāng) x 1 時 f（ x）的圖象恒在直線 l 的上方，求 k 的最大值 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切 線方程 【分析】 （ 1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于 k 的方程解得即可 （ 2）由于存在 1， e，使 f（ g（ 則 2a ，只需要 k 大于h（ x） = 的最小值即可 （ 3）分離參數(shù)，得到 k ，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =1+ f（ e） =1+k 3 k=5， （ 2）由于存在 1， e，使 f（ g（ 則 a 設(shè) h（ x） = 第 16 頁（共 19 頁） 則 h（ x） = ， 當(dāng) x1， e時， h（ x） 0（僅當(dāng) x=e 時取等號） h（ x）在 1， e上單調(diào)遞增， h（ x） h（ 1） =0，因此 a 0 （ 3）由題意 k 3） x k+2 在 x 1 時恒成立 即 k ， 設(shè) F（ x） = ， F（ x） = ， 令 m（ x） =x 2，則 m（ x） =1 = 0 在 x 1 時恒成立 所以 m（ x）在（ 1， +）上單調(diào)遞增，且 m（ 3） =1 0， m（ 4） =2 0， 所以在（ 1， +）上存在唯一實(shí)數(shù) 3， 4）使 m（ x） =0 當(dāng) 1 x m（ x） 0 即 F（ x） 0， 當(dāng) x m（ x） 0 即 F（ x） 0， 所以 F（ x）在（ 1， 單調(diào)遞減，在（ +）上單調(diào)遞增， F（ x） （ = = =（ 5， 6） 故 k 又 kZ，所以 k 的最大值為 5 四 22）（ 23）（ 24）中任 選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分做題時用 2選修 4何證明選講 （本小題滿分 10分） 22如圖， O 的直徑， 弦， 平分線 O 于點(diǎn) D， 延長線于點(diǎn) E， 點(diǎn) F （ ）求證： O 的切線； （ ）若 = ，求 的值 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明 【分析】 （ ）連結(jié) 圓的性質(zhì)得 此能證明 O 切線 第 17 頁（共 19 頁） （ ）過 D 作 H，