天津市和平區(qū) 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求 . 1已知集合 A=x|x a| 1， B=x|1 x 4，則 A B=B，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 2， 3 B（ 2， 3） C 0， 5 D（ 0， 5） 2設(shè)變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值為（ ） A B 5 C D 12 3閱讀如圖的程序框圖，當(dāng)該程序運行后輸出的 S 值是（ ） A B C D 4已知 a， b， c R，則 “a 0 且 40”是 “ x R，都有 bx+c 0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5如圖，圓 O 的直徑 弦 于點 E，且 E 為 中點，若 ， 0，則線段 長為（ ） A 1 B C D 6己知雙曲線 =1（ a 0， b 0）離心率為 2，有一個焦點與拋物線 x 的焦點重合，則 值為（ ） A B C D 7若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 的一個根在區(qū)間（ 2， 3）內(nèi)，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ） A C 8已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） = x a，其中 a R，若函數(shù) y=f（ x） g（ x）恰有 3 個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 1， ） D （ 1， ） 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9復(fù)數(shù) z 滿足條件： z 3i= ，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z= 10一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： 則該幾何體的體積為 11曲線 y= x ）與 x 軸所圍成的封閉圖形的面積等于 12已知（ ） 8 的展開式中 x 項的系數(shù)為 14，則 a 的值為 13在 ，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，已知 a=2， A= ， B= ，則c 的值為 14如圖，在矩形 ， ， ，點 E 在邊 ，點 F 在邊 ，若 = ，=2 ，則 的最大值為 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 15已知 f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ ）若 （ ， ）， f（ + ） = + ） 16盒子中共有 8 個球，其中 4 個紅球， 3 個綠球， 1 個黃球，這些球除顏色外其他完全相同 （ ）從盒子中一次隨機取出 2 個球，求取出的 2 個球顏色相同的概率； （ ）從盒子中一次隨機抽取 3 個球，每取得 1 個紅球記 1 分，取得 1 個綠球記 2 分，取得1 個黃球記 3 分，設(shè) X 為取出 3 個球所得的分數(shù)之和，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 17如圖，在三棱錐 S ， 平面 ， ， ，D （ ）求證： 平面 （ ）求二面角 A C 的余弦值； （ ）求點 A 到平面 距離 18若數(shù)列 足 ， n 1 （ ）求 通項公式； （ ）若數(shù)列 足 ， n+3，且 ，求數(shù)列 通項公及前 n 19已知函數(shù) f（ x） =（ x2+中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)） （ ）當(dāng) m= 2 時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 3上單調(diào)遞減，求 m 的取值范圍； （ ）是否存在實數(shù) m，使得 f（ x）為 R 上的單調(diào)函數(shù)？請說明理由 20設(shè)橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點為 F，過 F 點的直線 l 與橢圓 C 相交于 A，B 兩點，直線 l 的傾斜角為 ， |2| （ ）求橢圓 C 的離心率； （ ）若 | ，求橢圓 C 的方程； （ ）在（ ）的條件下， D 為橢圓 C 上一點，當(dāng) 積取得最大值時，求 D 點的坐標(biāo) 2016 年天津市和平區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求 . 1已知集合 A=x|x a| 1， B=x|1 x 4，則 A B=B，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 2， 3 B（ 2， 3） C 0， 5 D（ 0， 5） 【分析】 解不等式求出集合 A，結(jié)合 A B=B，可得 A B，進而得到實數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解： 集合 A=x|x a| 1=（ a 1， a+1）， B=x|1 x 4=（ 1， 4）， 若 A B=B，則 A B， 則 a 1 1，且 a+1 4， 解得： a 2， 3， 故選： A 【點評】 本題考查的知識點是集合的包含關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的并集運算，絕對值不等式的解法，難度中檔 2設(shè)變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值為（ ） A B 5 C D 12 【分析】 畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點的坐標(biāo)，結(jié)合圖象得到直線過 A 時 z 的值最大，代入求出即可 【解答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： ， 由 ，解得： A（ ， ）， 由 z=2x+y 得： y= 2x+z， 顯然直線過 A 時 z 的值最大， z 的最大值是 z=2 + = ， 故選： C 【點評】 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題 3閱讀如圖的程序框圖，當(dāng)該程序運行后輸出的 S 值是（ ） A B C D 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量 S 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后： S=1，不滿足退出循環(huán)的條件， c=2， a=1， b=2， 第二次執(zhí)行循環(huán)體后： S= ，不滿足退出循環(huán)的條件， c=3， a=2， b=3， 第三次執(zhí)行循環(huán)體后： S= ，不滿足退出循環(huán)的條件， c=5， a=3， b=5， 第四次執(zhí)行循環(huán)體后： S= ，不滿足退出循環(huán)的條件， c=8， a=5， b=8， 第五次執(zhí)行循環(huán)體后： S= ，滿足退出循環(huán)的條件， 故輸出 的 S 值為： ， 故選： B 【點評】 本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答 4已知 a， b， c R，則 “a 0 且 40”是 “ x R，都有 bx+c 0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【分析】 根據(jù)一元二次不等式解法及充要條件的定義 【解答】 解： “a 0 且 40”能推出 “ x R，都有 bx+c 0”， 但是 “ x R，都有 bx+c 0”，則 a 0， 40， 故 “a 0 且 40”是 “ x R，都有 bx+c 0”的充分不必要條件， 故選： A 【點評】 本題通過 與一元二次不等式 bx+c 0 情況考查充分條件、必要條件的含義 5如圖，圓 O 的直徑 弦 于點 E，且 E 為 中點，若 ， 0，則線段 長為（ ） A 1 B C D 【分析】 由正弦定理可得 ， ，由余弦定理求出可求出線段 長 【解答】 解：連接 圓 O 的直徑， 0， 0， 0 由正弦定理可得 ， ，由余弦定理可得 1=（ 42+（ 62 2 46， ， 故選： D 【點評】 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確求出 解題的關(guān)鍵所在 6己知雙曲線 =1（ a 0， b 0）離心率為 2，有一個焦點與拋物線 x 的焦點重合，則 值為（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)拋物線的方程算出其焦點為（ 1， 0），從而得出雙曲線的右 焦點為 F（ 1， 0），利用離心率的公式和 a、 b、 c 的平方關(guān)系建立方程組，解出 a、 b 的值，即可得出結(jié)論 【解答】 解： 拋物線方程為 x， 2p=4，得拋物線的焦點為（ 1， 0） 雙曲線的一個焦點與拋物 x 的焦點重合， 雙曲線的右焦點為 F（ 1， 0） 雙曲線 =1（ a 0， b 0）離心率為 2， a= ， b= ， 故選： D 【點評】 本題給出拋物線的焦點為雙曲線右焦點，求雙曲線的方程著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題 7若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 的一個根在區(qū)間（ 2， 3）內(nèi)，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ） A C 【分析】 若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有兩相等的實根，則 x= 2，不在區(qū)間（ 2， 3）內(nèi)， 令 f（ x） = 1 k） x 2（ k+1），若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有兩不相等的實根，且一個根在區(qū)間（ 2， 3）內(nèi)，則 f（ 2） f（ 3） 0，進而得到答案 【解答】 解：若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有兩相等的實根， 則 =（ 1 k） 2+8（ k+1） =0，解得： k= 3， 此時 x= 2，不在區(qū)間（ 2， 3）內(nèi)， 令 f（ x） = 1 k） x 2（ k+1）， 若方程 1 k） x 2（ k+1） =0 有兩不相等的實根，且一個根在區(qū)間（ 2， 3）內(nèi)， 則 f（ 2） f（ 3） 0，即（ 4 4k）（ 10 5k） 0， 解得： k （ 1， 2）， 故選： D 【點評】 本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的零點與對應(yīng)方程根的關(guān)系，難度中檔 8已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） = x a，其中 a R，若函數(shù) y=f（ x） g（ x）恰有 3 個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 1， ） D（ 1， ） 【分析】 由 y=f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x），作出兩個函數(shù) f（ x）和 g（ x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可 【解答】 解：由 y=f（ x） g（ x） =0 得 f（ x） =g（ x），作出兩個函數(shù) f（ x）和 g（ x）的圖象， 則 A（ 1， ）， 當(dāng) g（ x）經(jīng)過點 A 時， f（ x）與 g（ x）有 2 個交點，此時 g（ 1） = a= ，此時 a=1， 當(dāng) g（ x）與 f（ x）在 x 1 相切時，此時 f（ x）與 g（ x）有 2 個交點 由 x = x a， 即 x+ a=0， 由判別式 =0 得（ ） 2 4（ a） =0， 得 a= ， 要使 f（ x）與 g（ x）有 3 個交點，則 g（ x）位于這兩條線之間， 則 a 滿足 a （ ， 1）， 故選： B 【點評】 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合作出兩個函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵 綜合性較強 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9復(fù)數(shù) z 滿足條件： z 3i= ，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z= 2+2i 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的定義與運算法則，進行化簡、計算即可 【解答】 解： 復(fù)數(shù) z 滿足條件： z 3i= ， i 是虛數(shù)單位， 則 z=3i+ =3i+ =3i+（ 2 i） =2+2i 故答案為： 2+2i 【點評】 本題考查了復(fù)數(shù)的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目 10一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： 則該幾何體的體積為 【分析】 該幾何體由上下兩部分組成，上面是一個圓臺，下面是一個圓柱利用體積計算公式即可得出 【解答】 解：該幾何體由上下兩部分組成，上面是一個圓臺，下面是一個圓柱 該幾何體的體積 = 22 2+ （ 22+2 1+12） 2= 故答案為： 【點評】 本題考查了三視圖的有關(guān)計算、圓柱與圓臺的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 11曲線 y= x ）與 x 軸所圍成的封閉圖形的面積等于 2 【分析】 為了求得 與 x 軸所圍成的不規(guī)則的封閉圖形的面積，可利用定積分求解積分的上下限分別為區(qū)間的兩個端點， 為被積函數(shù) 【解答】 解：由定積分可求得陰影部分的面積為： S= 1（ 1） =2， 所以圍成的封閉圖形的面積是 2 故答案為： 2 【點評】 本小題主要考查定積分的簡單應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、定積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎(chǔ)題 12 已知（ ） 8 的展開式中 x 項的系數(shù)為 14，則 a 的值為 2 【分析】 （ ） 8 的展開式的通項公式 = = （a） r r，令 4 r=1，解得 r=3可得 x，利用已知即可得出 【解答】 解：（ ） 8 的展開式的通項公式 = =（ a） r r， 令 4 r=1，解得 r=3 x （ ） 8 的展開式中 x 項的系數(shù)為 14， = 14， 解得 a=2 故答案為： 2 【點評】 本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 13在 ，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，已知 a=2， A= ， B= ，則c 的值為 【分析】 根據(jù)正弦定理以及兩角和差的正弦公式進行求解即可 【解答】 解： 在 ， A= ， B= ， a=2 由正弦定理得 ， 即 c= = =22 =2+2 = ， 故答案為： 【點評】 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵 14如圖，在矩形 ， ， ， 點 E 在邊 ，點 F 在邊 ，若 = ，=2 ，則 的最大值為 【分析】 以 A 為坐標(biāo)原點， 在直線為 x 軸， 在直線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系，可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， C（ ， 2）， D（ 0， 2），設(shè) E（ ， n）， F（ m， 2），運用向量共線的坐標(biāo)表示，解得 m， n，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最大值 【解答】 解：以 A 為坐標(biāo)原點， 在直線為 x 軸， 在直線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系， 可得 A（ 0， 0）， B（ ， 0）， C（ ， 2）， D（ 0， 2）， 設(shè) E（ ， n）， F（ m， 2）， 由 = ，可得 m= ，即 F（ ， 2）， 由 =2 ，可得 n=2 22，即 E（ ， 2 22）， 則 =（ ， 2）（ ， 22） =2（ 1 ） 42= 62+2= 6（ ） 2+ ， 當(dāng) = 時，則 取得最大值 故答案為： 【點評】 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，注意運用坐標(biāo)法，考查二次函數(shù)的最值的求法，以及化簡運算能力，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 15已知 f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ ）若 （ ， ）， f（ + ） = + ） 【分析】 （ ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間 （ ）由題意可得 或（ 2= ，再根據(jù) （ ， ），可得 =或 ，由此求得 【解答】 解：（ ）對于 f（ x） =2x ），令 2 2x 2， 求得 x ，可得 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ， ， k Z （ ）若 （ ， ）， f（ + ） = + ） 則 + ） = + ） （ = （ 或（ 2= （ ， ）， = 或 ， 或 【點評】 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和差的三角公式，屬于基礎(chǔ)題 16盒子中共有 8 個球，其中 4 個紅球， 3 個綠球， 1 個黃球，這些球除顏色外其他完全相同 （ ）從盒子中一次隨機取出 2 個球，求取出的 2 個球顏色相同的概率； （ ）從盒子中一次隨機抽取 3 個球，每取得 1 個紅球記 1 分，取得 1 個綠球記 2 分，取得1 個黃球記 3 分，設(shè) X 為取出 3 個球所得的分數(shù)之和，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【分析】 （ ）設(shè) A 表示事件事件 “從盒子中一次隨機取出 2 個球的顏色相同 ”，利用互斥事件加法公式能求出從盒子中一次隨機取出 2 個球，取出的 2 個球顏色相同的概率 （ ）依題意， X 的所有可能取值為 3， 4， 5， 6， 7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 【解答】 解：（ ）設(shè) A 表示事件事件 “從盒子中一次隨機取出 2 個球的顏色相同 ”， 則 P（ A） = = ， 從盒子中一次隨機取出 2 個球，取出的 2 個球顏色相同的概率為 （ ）依題意， X 的所有可能取值為 3， 4， 5， 6， 7， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = = ， P（ X=5） = = ， P（ X=6） = = ， P（ X=7） = = ， X 的分布列為： X 3 4 5 6 7 P + = 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用 17如圖，在三棱錐 S ， 平面 ， ， ，D （ ）求證： 平面 （ ）求二面角 A C 的余弦值； （ ）求點 A 到平面 距離 【分析】 （ ）建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，得到 出線面垂直即可； （ ）設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z），求出一個法向量，代入余弦公式即可求出余弦值； （ ）作 平面 足為 H，求出 的坐標(biāo)，從而求出點 A 到平面 距離 【解答】 解：如圖示： ， 以 C 為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 由題意得： A（ ， 0， 0）， C（ 0， 0， 0）， D（ 1， 1， 0）， E（ 0， 2， 0）， S（ 0， 0， 3）， （ ）證明： =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， 3）， = 1+1+0=0， =0+0+0=0， 即 S=C， 平面 （ ）解：由（ ）可得 =（ 1， 1， 0）為平面 一個法向量， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 而 =（ ， 1， 0）， =（ ， 0， 3）， 則 ，即 ， 不妨設(shè) x=2，可得 =（ 2， 1， 1）， 易知二面角 A C 為銳角， 因此有 |， |= = ， 即二面角 A C 的余弦值是 ； （ ）解： =（ ， 0， 0）， =（ ， 1， 0）， =（ ， 0， 3）， 作 平面 足為 H， 設(shè) =x +y +z =（ x y z， y， 3z），且 x+y+z=1， 由 ， ，得： ，解得 ， =（ ， ， 0）， | |= ， 即點 A 到平面 距離是 【點評】 本題考查了線面垂直，考查平面的法向量，點到平面的距離，是一道中檔題 18若數(shù)列 足 ， n 1 （ ）求 通項公式； （ ）若數(shù)列 足 ， n+3，且 ，求數(shù)列 通項公及前 n 【分析】 （ 1）采用累加法求得 ，求得 通項公式， （ 2）采用累加法求得數(shù)列 通項公式，整理寫出數(shù)列 通項公式， n+2） 2n1，數(shù)列 由等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的形式，采用乘以公比錯位相減法，求得 【解答】 解：（ ） ， ， ， ， ， 以上各式相加，得： ， ， ， （ ） n+3， ， ， ， 1=2n+1， 以上各式相加得： +7+9+2n+1， =n 3， ， ， = ， n+2） 2n 1， 20+4 21+5 22+（ n+2） 2n 1， 2 21+4 22+5 23+（ n+1） 2n 1+（ n+2） 2n， 兩式相減，得： 20+（ 21+22+2n 1）（ n+2） 2n， =3+（ 2n 2）（ n+2） 2n=（ n+1） 2n+1， n+1） 2n 1 【點評】 本題考查采用累加法求數(shù)列的通項公式及采用錯位相減法求數(shù)列的前 n 項和，過程復(fù)雜，屬于中檔題 19已知函數(shù) f（ x） =（ x2+中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)） （ ）當(dāng) m= 2 時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， 3上單調(diào)遞減，求 m 的取值范圍； （ ）是否存在實數(shù) m，使得 f（ x）為 R 上的單調(diào)函數(shù)？請說明理由 【分析】 （ ）將 m= 2 代入 f（ x）的表達式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ ）求出函數(shù) f（ x）的導(dǎo)數(shù)，得到 g（ x） =（ x+1） + ，求出函數(shù) g（ x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出 m 的范圍即可； （ ）假設(shè) f（ x）單調(diào)，求出 f（ x）的 導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可 【解答】 解：（ ）當(dāng) m= 2 時， f（ x） =（ 2x） f（ x） =（ 2） 令 f（ x） 0，解得： x 或 x ， f（ x）在（ ， ），（ ， +）遞增； （ ） f（ x） = m+2） x+m 由題意得 f（ x） 0 對于 x 1， 3恒成立， m+2） x+m 0，即 m =（ x+1） + ， 令 g（ x） =（ x+1） + ，則 g（ x） = 1 0 恒成立， g（ x）在區(qū)間 1， 3遞減， g（ x） g（ 1） = ， m 的范圍是（ ， ； （ ）假設(shè) f（ x）為 R 上的單調(diào)函數(shù)， 若 f（ x）在 R 遞增，則 f（ x） 0 對 x R 恒成立， 即 m+2） x+m0 對 x R 恒成立， 0， m+2） x+m 0 對 x R 恒成立， 而 =（ m+2） 2 4m=