第 1 頁（共 30 頁） 2016 年蘇科新版九年級數學上冊同步訓練： 線與圓的位置關系 一、選擇題（共 3 小題） 1如圖， 矩形 對角線， O 是 內切圓，現將矩形 如圖所示的方式折疊，使點 D 與點 O 重合，折痕為 F， G 分別在邊 ，連結 O 的半徑長為 1，則下列結論不成立的是（ ） A F=4 B 3 C B=2 +4 D 2若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為 2，則其內切圓半徑的長為（ ） A B 2 2 C 2 D 2 3將正方形 點 A 按逆時針方向旋轉 30，得正方形 點 E， ，則四邊形 內切圓半徑為（ ） A B C D 二、填空題（共 4 小題） 4邊長為 1 的正三角形的內切圓半徑為 5如圖， 內 心在 x 軸上，點 B 的坐標是（ 2， 0），點 C 的坐標是（ 0， 2），點 A 的坐標是（3， b），反比例函數 y= （ x 0）的圖象經過點 A， 則 k= 第 2 頁（共 30 頁） 6一般地，如果在一次實驗中，結果落在區(qū)域 D 中每一個點都是等可能的，用 A 表示 “實驗結果落在 中 ”這個事件，那么事件 A 發(fā)生的概率 如圖，現在等邊 射入一個點，則該 點落在 切圓中的概率是 7如圖，在邊長為 2 的正三角形中，將其內切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓）的內部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為 三、解答題（共 10 小題） 8如圖， O 是 內心， 延長線和 外接圓相交于點 D，連接 邊形 平行四邊形 （ 1）求證： （ 2）若 ，求陰影部分的面積 第 3 頁（共 30 頁） 9如圖， O 的切線，切點為 A， O 的弦過點 B 作 O 于點 C，連接 點 C 作 點 D連接 延長交 點 M，交過點 C 的直線于點 P，且 （ 1）判斷直線 O 的位置關系，并說明理由； （ 2）若 ， 求 長 10如圖， O 的直徑， O 的兩條切線， E 是 O 上一點， D 是 一點，連接延長交 點 C，且 （ 1）求證： O 相切； （ 2）求證： 11如圖， O 直徑， D 為 O 上一點， 分 O 于點 T，過 T 作 垂線交 延長線于點 C （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 O 半徑為 2， ，求 長 12如圖，在平面直角坐標系中，以點 O 為圓心，半徑為 2 的圓與 y 軸交于點 A，點 P（ 4， 2）是 O 外一點，連接 線 O 相切于點 B，交 x 軸于點 C （ 1）證明 O 的切線； 第 4 頁（共 30 頁） （ 2）求點 B 的坐標 13如圖， 接于 O， 直徑， O 的切線 延長線于點 P， 點E，交 點 F，連接 （ 1）判斷 O 的位置關系并說明理由； （ 2）若 O 的半徑為 4， ，求 長 14如圖， O 的直徑， O 的切線， D 為 O 上的一點， B，延長 延長線于點 E （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 弦心距 ， 0，求圖中陰影部分的面積（結果保留 ） 15如圖， O 的直徑， O 切線， 垂直于 弦，垂足為 E，過點 C 作 平行線與 交于點 F， ， 求證： （ 1）四邊形 菱形； （ 2） O 的切線 第 5 頁（共 30 頁） 16如圖 1， ， B，點 O 在高 ， 點 D， 點 E，以 O 為圓心，半徑作 O （ 1）求證： O 與 切于點 E； （ 2）如圖 2，若 O 過點 H，且 ， ，連接 面積和 值 17如圖， O 的直徑 ， O 的兩條切線， ， （ 1）求 長； （ 2）求證： （ 3）求證： O 切線 第 6 頁（共 30 頁） 2016 年蘇科新版九年級數學上冊同步訓練： 線與圓的位置關系 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 3 小題） 1如圖， 矩形 對角線， O 是 內切圓，現將矩形 如圖所示的方式折疊，使點 D 與點 O 重合，折痕為 點 F， G 分別在邊 ，連結 O 的半徑長為 1，則下列結論不成立的是（ ） A F=4 B 3 C B=2 +4 D 【考點】三角形的內切圓與內心；翻折變換（折疊問題） 【專題】壓軸題 【分析】設 O 與 切點為 M，連接 延長 點 N，證明 到C=1， M=C 2設 AB=a， BC=b， AC=c， O 的半徑為 r， O 是 r= （ a+b c），所以 c=a+b 2在 ，利用勾股定理求得（舍去），從而求出 a， b 的值，所以 B=2 +4再設 DF=x，在 ， ，OF=x， ，由勾股定理可得 ，解得 x=4 ，從而得到， F= 即可解答 【解答】解：如圖， 設 O 與 切點為 M，連 接 延長 點 N， 將矩形 如圖所示的方式折疊，使點 D 與點 O 重合，折痕為 G， 第 7 頁（共 30 頁） 0， 0， 在 ， C=1， M=C 2 D， 設 AB=a， BC=b， AC=c， O 的半徑為 r， O 是 內切圓可得 r= （ a+b c）， c=a+b 2 在 ，由勾股定理可得 a2+ a+b 2） 2， 整理得 24a 4b+4=0， 又 即 b=2+a，代入可得 2a（ 2+a） 4a 4（ 2+a） +4=0， 解得 （舍去）， ， B=2 +4 再設 DF=x，在 ， ， OF=x， ， 由勾股定理可得 ， 解得 x=4 ， ， F= 綜上只有選項 A 錯誤， 故選 A 【點評】本題考查了三角形的內切圓和內心， 切線的性質，勾股定理，矩形的性質等知識點的綜合應用，解決本題的關鍵是三角形內切圓的性質 第 8 頁（共 30 頁） 2若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為 2，則其內切圓半徑的長為（ ） A B 2 2 C 2 D 2 【考點】三角形的內切圓與內心；等腰三角形的性質；三角形的外接圓與外心 【分析】由于 直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進而可求得兩條直角邊的長；然后根據直角三角形內切圓半徑公式求出內切圓半徑的長 【解答】解： 等腰直角三角形外接圓半徑為 2， 此直角三角形的斜邊長為 4，兩條直角邊分別為 2 ， 它的內切圓半徑為： R= （ 2 +2 4） =2 2 故選 B 【點評】本題考查了三角形的外接圓和三角形的內切圓，等腰直角三角形的性質，要注意直角三角形內切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內切圓半徑： r= （ a+b c）；（ a、 b 為直角邊， c 為斜邊）直角三角形的外接圓半徑： R= c 3將正方形 點 A 按逆時針方向旋轉 30，得正方形 點 E， ，則四邊形 內切圓半徑為（ ） A B C D 【考點】三角形的內切圓與內心；正方形的性質；旋轉的性質 【專題】壓軸題 【分析】作 角平分線交于點 O，則 O 即為該圓的圓心，過 O 作 ，再根據直角三角形的性質便可求出 長，即該四邊形內切圓的圓心 【解答】解：作 角平分線交于點 O，過 O 作 則 0， 5， 故 F= 設 x，則 x， 第 9 頁（共 30 頁） 故（ x） 2+ 2x） 2， 解得 x= 或 x= （舍去）， 四邊形 內切圓半徑為： 故選： B 【點評】本題考查了旋轉的性質三角形的內切圓，正方形的性質，要熟練掌握正方形的性質及直角三角形的性質，是解答此題的關鍵 二、填空題（共 4 小題） 4邊 長為 1 的正三角形的內切圓半徑為 【考點】三角形的內切圓與內心 【分析】根據等邊三角形的三線合一，可以構造一個由其內切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成的 30的直角三角形，利用銳角三角函數關系求出內切圓半徑即可 【解答】解： 內切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成一個 30的直角三角形， 則 0， ， = ， 內切圓半徑 = 故答案為： 【點評】此題主要考查了三角形的內切圓，注意：根據等邊三角形的三線合一，可以發(fā)現其內切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊正好組成了一個 30的直角三角形 第 10 頁（共 30 頁） 5如圖， 內心在 x 軸上， 點 B 的坐標是（ 2， 0），點 C 的坐標是（ 0， 2），點 A 的坐標是（3， b），反比例函數 y= （ x 0）的圖象經過點 A， 則 k= 15 【考點】三角形的內切圓與內心；反比例函數圖象上點的坐標特征 【專題】計算題 【分析】根據內心的性質得 分 由點 B 的坐標是（ 2， 0），點 C 的坐標是（ 0， 2）得到 等腰直角三角形，則 5，所以 0，利用勾股定理有 據兩點間的距離公式得到（ 3 2） 2+2+22=（ 3） 2+（ b+2） 2，解得 b=5，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征求 k 的值 【解答】解： 內心在 x 軸上， 分 點 B 的坐標是（ 2， 0），點 C 的坐標是（ 0， 2）， C， 等腰直角三角形， 5， 0， （ 3 2） 2+2+22=（ 3） 2+（ b+2） 2，解得 b=5， A 點坐標為（ 3， 5）， k= 3 5= 15 故答案為 15 第 11 頁（共 30 頁） 【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點也考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和兩點間的距離公式 6一般地，如果在一次實驗中，結果落在區(qū)域 D 中每一個點都是等可能的，用 A 表示 “實驗結果落在 中 ”這個事件，那么事件 A 發(fā)生的概率 如圖，現在等 邊 射入一個點，則該點落在 切圓中的概率是 【考點】三角形的內切圓與內心；等邊三角形的性質；幾何概率 【專題】幾何圖形問題 【分析】利用等邊三角形以及其內切圓的性質以及銳角三角函數關系得出 長，進而得出 利用圓以及三角形面積公式求出即可 【解答】解：連接 由題意可得： 0，設 x， 則 CD=x，故 = ， S 圓 O=（ ） 2= ， 高為： 2x x， S 2x x= 則該點落在 切圓中的概率是： = 故答案為： 第 12 頁（共 30 頁） 【點評】此題主要考查了幾何概率以及三角形內切圓的性質以及等邊三角形的性質等知識，得出等邊三角形與內切圓的關系是解題關鍵 7如圖，在邊長為 2 的正三角形中，將其內切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內切圓都相切的圓）的內部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為 【考點】三角形的內切圓與內心 【專題】壓軸題 【分析】連接 及 O 與 切點，在構造的直角三角形中，通過解直角三角形易求得 O 的半徑，然后作 O 與小圓的公切線 知 是等邊三角形，那 么小圓的圓心也是等邊 重心；由此可求得小圓的半徑，即可得到四個圓的面積，從而由等邊三角形的面積減去四個圓的面積和所得的差即為陰影部分的面積 【解答】解：如圖，連接 設小圓的圓心為 P， P 與 O 的切點為 G；過 G 作兩圓的公切線 E，交 F， 則 0 30=60，所以 等邊三角形 在 ， 0， 則 D1 = ， ， B ； 由于 P 是等邊 內切圓，所以點 P 是 內心，也是重心， 故 ； S o= （ ） 2= ， S P= （ ） 2= ； S 陰影 =S S O 3S P= = 第 13 頁（共 30 頁） 故答案為： 【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質、相切兩圓的性質以及圖形面積的計算方法，難度適中 三、解答題（共 10 小題） 8如圖， O 是 內心， 延長線和 外接圓相交于點 D，連接 邊形 平行四邊形 （ 1）求證： （ 2）若 ，求陰影部分的面積 【考點】三角形的內切圓與內心；全等三角形的判定與性質；扇形面積的計算 【專題】計算題 【分析】（ 1）根據內心性質得 1= 2， 3= 4，則 D，于是可判斷四邊形 菱形，則 C， 4= 5= 6，易得 C， 2= 3，所以 C，可判斷點 O 為 外心，則可判斷 等邊三角形，所以 20， C，再根據平行四邊形的性質得 20， C， A=根據 “明 （ 2）作 H，如圖，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到 0，根據垂徑定理得到 H= ，再利用含 30 度的直角三角形三邊的關系得到 H= ， H= ， ，然后根據三角形面積公式和扇形面積公式，利用 S 陰影部分 =S 扇形 S 行計算即可 【解答】（ 1）證明： O 是 內心， 1= 2， 3= 4， D， 第 14 頁（共 30 頁） 四邊形 平行四邊形， 四邊形 菱形， 直平分 4= 5= 6， 而 1= 5， C， 2= 3， C， 點 O 為 外心， 等邊三角形， 20， C， 四邊形 平行四邊形， 20， C， A， B， 在 ， （ 2）作 H，如圖， 20， B， （ 180 120） =30， H= ， ， ， S 陰影部分 =S 扇形 S 2 = 第 15 頁（共 30 頁） 【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點也考查了等邊三角形的判定與性質和扇形面積的計算 9如圖， O 的切線，切點為 A， O 的弦過點 B 作 O 于點 C，連接 點 C 作 點 D連接 延長交 點 M，交過點 C 的直線于點 P，且 （ 1）判斷直線 O 的位置關系，并說明理由； （ 2）若 ， 求 長 【考點】切線的判定與性質 【分析】（ 1）過 C 點作直徑 接 直徑得 E+ 0，由 E， 以 E= 是 0，然后根據切線的判斷得到結論； （ 2）根據切線的性質得到 據垂徑定理有 M= ，根據等腰三角形性質有 B=9，在 根據勾股定理計算出 ； 設 O 的半徑為 r，則 OC=r， M r=6 r，在 ，根據勾股定理計算出 r= ，則r= ， = ，利用中位線性質得 ，然后判斷 t 據相似比可計算出 【解答】解：（ 1） 圓 O 相切，理由為： 過 C 點作直徑 接 圖， 直徑， 第 16 頁（共 30 頁） 0，即 E+ 0， E， E= 0，即 0， 圓 O 相切； （ 2） O 的切線，切點為 A， M= ， B=9， 在 ， =6 ， 設 O 的半徑為 r，則 OC=r， M r=6 r， 在 ， 32+（ 6 r） 2=得 r= ， r= ， = ， ， E= = ， 即 = ， 第 17 頁（共 30 頁） 【點評】本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直 于過切點的半徑也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質 10如圖， O 的直徑， O 的兩條切線， E 是 O 上一點， D 是 一點，連接延長交 點 C，且 （ 1）求證： O 相切； （ 2）求證： 【考點】切線的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線 【分析】（ 1）連接 圓 O 相切，利用切線的性質得到 直，即 0，根據 行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，一對同位角相等，再由 E，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由 E， 公共邊，利用 出三角形 等，利用全等三角形的對應角相等得到 0，即 直于 可得證； （ 2）連接 圓的切線，利用切線的性質得到一對直角相等，由 E， 公共邊，利用 出兩直角三角形全等，進而得到 用等量代換及平角定義得到 0，即三角形 直角三角形，由 行， 行，得到三線平行，由 O 為 中的，利用平行線等分線段定理得到 F 為 中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證 【解答】證明：（ 1）連接 圓 O 相切， 0， 第 18 頁（共 30 頁） E， 在 ， ， 0， 則 圓 O 的切線； （ 2）如圖，連接 在 ， ， 180=90， 圓 O 的切線， 又 O 為 中點， F 為 中點， 則 第 19 頁（共 30 頁） 【點評】此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵 11如圖， O 直徑， D 為 O 上一點， 分 O 于點 T，過 T 作 垂線交 延長線于點 C （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 O 半徑為 2， ，求 長 【考點】切線的判定與性質；勾股定理；圓周角定理 【專題】壓軸題 【分析】（ 1）連接 據角平分線的性質，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得 O 的切線； （ 2）證明四邊形 矩形，求得 長，在直角 ，利用勾股定理即可求解 【解答】（ 1）證明：連接 T， 又 分 又 第 20 頁（共 30 頁） O 的切線； （ 2）解：過 O 作 E，則 E 為 點， 又 四邊形 矩形， ， ， 又 ， 在 ， ， 【點評】本題主要考查了切線 的判定以及性質，證明切線時可以利用切線的判定定理把問題轉化為證明垂直的問題 12如圖，在平面直角坐標系中，以點 O 為圓心，半徑為 2 的圓與 y 軸交于點 A，點 P（ 4， 2）是 O 外一點，連接 線 O 相切于點 B，交 x 軸于點 C （ 1）證明 O 的切線； （ 2）求點 B 的坐標 【考點】切線的判定與性質；坐標與圖形性質 【專題】計算題 第 21 頁（共 30 頁） 【分析】（ 1）由 ， P 的縱坐標為 2，得到 x 軸平行，即 直，即可得到 圓 （ 2）連接 B 作 直于 切線長定理得到 B=4， 角平分線，進而得到一對角相等，根據 行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換并利用等角對等邊得到 P，設 OC=x， P x， ，利用勾股定理列出關于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，確定出 長，在直角三角形 ，利用面積法求出 長，再利用勾股定理求出 長，根據 B 在第四象限，即可求出 B 的坐標 【解答】（ 1）證明： 圓 O 的半徑為 2， P（ 4， 2）， 則 圓 O 的切線； （ 2）解：連接 B 作 圓 O 的切線， B=4， P， 在 ，設 C=x，則 B x， ， 根據勾股定理得： +（ 4 x） 2， 解得： x= x= S C= Q，即 C=Q， = 在 ，根據勾股定理得： = 則 B 坐標為（ 第 22 頁（共 30 頁） 【點評】此題考查了切線的性質與判定，坐標與圖形性質，勾股定理，三角形的面積求法，平行線的性質，以及切線長定理，熟練掌握切線的性質與判定是解本題的關鍵 13如圖， 接于 O， 直徑， O 的切線 延長線于點 P， 點E，交 點 F，連接 （ 1）判斷 O 的位置關系并說明理由； （ 2）若 O 的半徑為 4， ，求 長 【考點】切線的判定與性質 【專題】壓軸題 【分析】（ 1） 為圓 O 的切線，理由為：連接 圓 O 的切線，利用切線的性質得到 C，由 行，利用兩直線平行內錯角相等，同位角相等，分別得到兩對角相等，根 據C，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由 A， 公共邊，利用 出三角形 三角形 等，由全等三角形的對應角相等及垂直定義得到 直于 可得證； （ 2）由 直于 直角三角形 ，由 長，利用勾股定理求出 長，而 C，角平分線，利用三線合一得到 E 為 點， 直于 用面積法求出 長，即可確定出 長 【解答】解：（ 1） 圓 O 的切線，理由為： 連接 圓 O 切線， 第 23 頁（共 30 頁） 0， B， B， B， 在 ， ， 0， 圓 O 的半徑， 則 圓 O 的切線； （ 2） C， E 為 點，即 E= 在 ， ， ， 根據勾股定理得： ， S F= E， ， 則 第 24 頁（共 30 頁） 【點評】此題考查了切線的判定與性質，涉及的知識有： 全等三角形的判定與性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形的面積求法，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵 14如圖， O 的直徑， O 的切線， D 為 O 上的一點， B，延長 延長線于點 E （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 弦心距 ， 0，求圖中陰影部分的面積（結果保留 ） 【考點】切線的判定與性質；扇形面積的計算 【專題】壓軸題 【分析】（ 1）首先連接 O 的切 線，可得 0，又由 B， D，易證得 0，即可證得 O 的切線； （ 2）在 ， 0， ，可求得 長， 度數，又由 S 陰影 =S 扇形 S 可求得答案 【解答】（ 1）證明：連接 O 的切線， 0， B， D， 0， 即 點 D 在 O 上， O 的切線； （ 2）解：在 ， 第 25 頁（共 30 頁） 0， ， 0， ， ， ， 20， S 陰影 =S 扇形 S 2 1= 【點評】此題考查了切線的判定與性質、垂徑定理以及扇形的面積此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用 15如圖， O 的直徑， O 切線， 垂直于 弦，垂足為 E，過點 C 作 平行線與 交于點 F， ， 求證： （ 1）四邊形 菱形； （ 2） O 的切線 【考點】切線的判定與性質；菱形的判定 【專題】壓軸題 【分析】（ 1）首先連接 垂徑定理，可求得 長，又由勾股定理，可求得半徑 長，然后由勾股定理求得 長，即可得 D，易證得四邊形 平行四邊形，繼而證得四邊形 （ 2）首先連接 證得 而可證得 O 的切線 【解答】證明：（ 1）連接 O 的直徑， 第 26 頁（共 30 頁） E= 4 =2 ， 設 OC=x， ， OE=x 2， 在 ， x 2） 2+（ 2 ） 2， 解得： x=4， C=4， ， ， 在 ， =4 ， D， O 切線， 四邊形 平行四邊形， D， 平行四邊形 菱形； （ 2）連接 四邊形 菱形， C， O， 即 0， 即 點 C 在 O 上， 第 27 頁（共 30 頁） O 的切線 【點評】此題考查了切線的判定與性質、菱形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用 16如圖 1， ， B，點 O 在高 ， 點 D， 點 E，以 O 為圓心，半徑作 O （ 1）求證： O 與 切于點 E； （ 2）如圖 2，若 O 過點 H，且 ， ，連接 面積和 值 【考點】切線的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質 【專題】計算題；壓軸題 【分析】（ 1）由 B，且 直于 用三線合一得到 角平分線，再由 直于 E