院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-安徽大學20082009學年第一學期高等數(shù)學A（三）考試試卷（A卷）（閉卷 時間120分鐘）題 號一二三四五總分得 分閱卷人 得分一、單項選擇題（每小題2分，共10分）1、下列陳述正確的是（ ）。(A) 若方程組有唯一解，則方程組有唯一解 (B) 若方程組有唯一解，則方程組有唯一解(C) 若方程組有無窮多解，則方程組有無窮多解 (D) 若方程組無解，則方程組無解2、已知維向量組線性相關，則下列選項中必正確的是( )。(A) 對于任何一組不全為零的數(shù)，使得(B) 中任何兩個向量線性相關(C) 存在一組不全為零的數(shù)，使得(D) 對于每一個都可以由其余向量線性表出3、設，且，則 ( )。(A) 事件與事件互不相容 (B) 事件與事件對立(C) 事件與事件不獨立 (D) 事件與事件獨立4、設（指數(shù)分布），是總體的樣本，則參數(shù)的矩估計是( )。(A) (B) (C) (D) 5、設是來自正態(tài)總體的樣本，則下列結論正確的是( )。(A) (B) (C) (D) 得分二、填空題（每小題2分，共10分）6、若齊次線性方程組 有非零解，則 。7、矩陣的逆矩陣為 。8、若3階方陣的特征值分別為、0、1，則行列式= 。9、已知（泊松分布），且，則 。 10、從一批零件中，抽取9個零件，測得其直徑（單位：毫米）為：19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3設零件直徑服從正態(tài)分布，其中未知，（毫米），則這批零件平均直徑的對應于置信度為0.95的置信區(qū)間為 。得分三、計算題（本大題共4小題，共46分）11、(本小題10分) 計算下列行列式 高等數(shù)學A(三) （A卷） 第 2 頁 共 37 頁12、(本小題14分) 已知三階矩陣求: (1) 矩陣的特征值及特征向量（6分）；(2) 正交矩陣，使得為對角矩陣，并寫出相應的對角陣（4分）；(3) (為正整數(shù))(4分)。 13、（本小題10分）已知二次型正定，求的取值范圍。14、(本小題12分) 設二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：(1) 常數(shù)(6分)；(2) (6分)。四、證明題（本大題共2小題，共24分）15、(本小題12分) 設為實矩陣，且滿足。（1）若，證明不可逆（5分）；（2）證明可逆，并求其逆（7分）。 高等數(shù)學A(三) （A卷） 第 4 頁 共 37 頁得分16、(本小題12分) 設二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 證明：(1) 與不相關(6分)；(2) 與不獨立(6分)。得分五、綜合分析題（本大題共10分）17、 設總體，其中和為未知參數(shù)，是總體的一個子樣。(1) 求參數(shù)和的極大似然估計和(6分)；(2) 判斷是否為的無偏估計量(4分)。院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-安徽大學20082009學年第一學期高等數(shù)學A（三）考試試卷（B卷）（閉卷 時間120分鐘）題 號一二三四五總分得 分閱卷人 得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1、設為階方陣，其中為維列向量，且，則( )。(A) 必有無窮多解 (B) 必有唯一解(C) 僅有零解 (D) 必有非零解2、設，則在下的坐標為( )。(A) (B) (C) (D) 3、設隨機變量泊松分布,則方差( )。(A) (B) (C) (D) 4、設，是總體的樣本，則參數(shù)的矩估計是( )。(A) (B) (C) (D) 5、設是總體的樣本，且，則( )是 的無偏估計。(A) (B) (C) (D)得分二、填空題（每小題2分，共10分）6、若齊次線性方程組有非零解，則。7、矩陣的逆矩陣為 。8、 設階方陣可逆，且為其特征值，則矩陣的特征值為。9、設隨機變量的分布函數(shù)為則 。10、已知, 則 。三、計算題（本大題共4小題，共46分）得分11、(本小題10分) 計算行列式12、(本小題12分) 求一個正交線性替換，化二次型為標準形。13、(本小題12分) 設連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為試求：(1) 常數(shù)(4分)；(2) (4分)；(3) 分布函數(shù)(4分)。14、(本小題12分) 設一個人有把鑰匙，其中只有一把鑰匙能把門打開，現(xiàn)每次開門時隨機地任取一把，直到把門打開，用表示直到把門打開時的次數(shù)，求在每次打不開門鑰匙放回的情形下的分布律及其數(shù)學期望。得分四、綜合分析題（本大題共14分）15、對于線性方程組，問取何值時，方程組有解？并在有解時求出其通解。得分五、證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）16、設為實矩陣，求證：為正定矩陣。17、設隨機變量的概率密度函數(shù)為證明：隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布。院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-安徽大學20092010學年第一學期高等數(shù)學A（三）考試試卷（A卷）（閉卷 時間120分鐘）院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 題 號一二三四五總分得 分得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1.設均為階方陣，且滿足等式，則必有（ ）.(A) 或 (B) (C) 或 (D) 2.設向量組：； ：則下列說法必正確的是（ ）.(A)線性無關，則線性無關； (B) 線性無關，則線性相關；(C) 線性相關，則線性相關； (D) 線性無關，則線性無關.3.某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第次射擊恰好第次命中目標的概率為（ ）.(A) (B) (C) (D) 4.設隨機變量與相互獨立，且，則與隨機變量同分布的隨機變量是（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 在假設檢驗中，記為原假設，則稱 為犯第一類錯誤 （ ）(A)為真時接受 (B) 不真時接受(C)為真時拒絕 (D) 不真時拒絕得分二、填空題（每小題2分，共10分）6.方程的根為 .7.設3階矩陣有3個特征值1，2，3，且矩陣與相似，則 .8. 設隨機變量的分布函數(shù)為則概率 .9.設隨機變量和的數(shù)學期望分別為和,方差分別為和,而相關系數(shù)為,則根據(jù)切比雪夫不等式有 .10.設某農作物的平均畝產(chǎn)量（單位：kg）服從，現(xiàn)隨機抽取100畝進行試驗，觀察畝產(chǎn)量，得到kg，則總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為 ()得分三、計算題（本大題共10分）11.（本小題10分）計算下列行列式院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-得分四、分析題（本大題共5小題，共62分）12.（本小題13分）已知線性方程組問：取何值時，方程組有無窮多解？并在此時求其通解.13.（本小題14分）設二次型（1）求正交變換，使為標準形；（2）判定二次型的正定性.院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-14.（本小題10分）設某人按如下原則決定某日的活動：如該天下雨則以0.2的概率外出購物，以0.8的概率去探訪朋友；如該天不下雨，則以0.9的概率外出購物，以0.1的概率去探訪朋友.已知該日下雨的概率為0.3.（1）試求那天他外出購物的概率；（2）若已知他那天外出購物，試求那天天下雨的概率.15.（本小題13分）已知二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布表如下： (1)求關于的邊緣分布律；(2)判斷的獨立性；(3)判斷的相關性。16.（本小題12分）設總體的概率密度為其中是常數(shù)，是未知參數(shù).從總體中抽取樣本.（1）求常數(shù)的值；（2）求參數(shù)的最大似然估計量；（3）判斷是否為的無偏估計量.得分院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-五、證明題（本大題共8分）17.（本小題8分）設均為階方陣，且滿足.證明：（1）可逆；（2）.院/系 年級 專業(yè) 姓名 學號 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-安徽大學20092010學年第一學期高等數(shù)學A（三）考試試卷（B卷）（閉卷 時間120分鐘）題 號一二三四五總分得 分閱卷人得分一、選擇題（每小題2分，共10分）1. 設線性方程組其中為矩陣，且則方程組( ).(A) 有唯一解 (B) 有無窮多解 (C) 無解 (D) 可能無解2. 設向量組的秩都是則( ).(A) 向量組 等價 (B) (C) 如果 則 等價 (D) 如果則等價3. 設隨機事件互不相容，并且則( ).(A) (B) (C) (D) 4. 設總體，是來自于的樣本，則下列結論正確的是( )（A） （B） （C） （D） 5. 在假設檢驗中，記為備擇假設，則稱 為犯第一類錯誤. （ ）（A）為真時接受 （B）不真時接受（C）為真時拒絕 （D）不真時拒絕二、填空題（每小題2分，共10分） 6. 方程的解為 .7. 設同為5階方陣，則 .8. 設為正交矩陣,且則伴隨矩陣 .9. 一部四卷的文集，按任意次序放到書架上，則自左向右或自右向左恰好為1，2，3，4的概率為 .10.在貝努利每次試驗成功的概率為，,進行重復試驗，直到第10次試驗才取得4次成功的概率為 .得分三、計算題（共10分）11.（本小題10分）計算下列行列式得分四、分析題（共62分）12.（本小題13分）求下列線性方程組的通解. 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-13.（本小題14分）已知實二次型，試利用正交線性替換將二次型化為標準形，并寫出正交線性替換.14.（本小題10分）發(fā)報臺分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號“*”和“”由于通信系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信號“*”時，接收臺不一定收到信號“*”，而是以概率0.8和0.2收到信號“*”和“”同樣地，當發(fā)報臺發(fā)出信號“”時，接收臺以0.9和0.1的概率收到信號“”和“*”試求：（1）接收臺收到信號“*”的概率；（2）當接收臺收到信號“*”時，發(fā)報臺確是發(fā)出信號“*”的概率15.（本小題13分）設隨機變量,且滿足,（1）求；（2）判斷和是否獨立. 答 題 勿 超 裝 訂 線-裝-訂-線-16.（本小題12分）設總體的概率密度為其中是未知參數(shù)（），為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù)，求（1）的矩估計；（2）的最大似然估計得分五、證明題（本大題共8分） 17.（本小題8分）設階方陣滿足.證明：（1）可逆；（2）若，則不可逆.安徽大學20082009學年第一學期高等數(shù)學A（三）（A卷）考試試題參考答案及評分標準一、選擇題（每小題2分，共10分）1、B 2、C 3、 D 4、D 5、A 二、填空題（每小題2分，共10分）6、-1，-2 7、 8、30 9、9 10、（19.77，20.05）三、計算題（本大題共4小題，其中第11題和第13題各10分，第12題14分，第14題12分，共46分）11、解：將第一行的-1倍加到其余各行，得 (4分)再將第列的倍加到第一列，得 (8分) (10分)12、 解：(1) 令，得. (3分)當時，解下列方程組得特征向量；當時，解下列方程組得特征向量；當時，解下列方程組得特征向量。 (6分)(2) 由于實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量正交，所以只需將(1)中得到的特征向量單位化即可得到正交矩陣。將特征向量單位化得，令，從而為正交矩陣，并且，即所求的對角矩陣為 。 (10分)(3) 由(2)知 所以 (14分)13、解：二次型的矩陣為 各階順序主子式為 ，7分)由于二次型正定，所以各階順序主子式均大于0，即解得。 (10分)14、解：(1) 由于為的聯(lián)合密度函數(shù)，所以即所以 .(6分)(2) (12分)四、證明題（本大題共2小題，每題12分，共24分）15、證明: （1）由于，所以，下用反正法：若可逆，則，此與假設矛盾，所以不可逆。(5分)（2）由于，所以，從而所以可逆，并且。 (12分)16、證明：(1) 由于，所以 ，即與不相關。 (6分)(2) 先求與的邊緣密度函數(shù)：當或時，。當時，所以同理可得易見和在區(qū)域內并不是幾乎處處相等的，所以與不獨立。 (12分)五、綜合分析題（本大題共10分）17、解：（1）設為樣本的觀測值，因為總體的概率密度函數(shù)為所以似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為 (3分) 似然方程為 解得和的極大似然估計分別為對應的估計量分別為 (6分)(2) 由于，所以故不是的無偏估計量。 (10分)安徽大學20082009學年第一學期高等數(shù)學A（三）（B卷）考試試題參考答案及評分標準一、 選擇（每小題2分，共10分）1、（D） 2、（A） 3、（B ） 4、(B) 5、(D) 二、填空（每小題2分，共10分）6、 7、 8、 9、 10、三、解答題 （本大題共4小題，其中第11題10分、第12題、第13題和第14題各12分，共46分）11、解：先將第2行至第行都加到第1行，再提取公因數(shù)，最后將第一行的倍加到其余各行：(4分)(8分)。 (10分)12、解：寫出二次型矩陣為求特征值：特征多項式為故特征值為。 (5分)求特征向量：3個相異特征值所對應的3個特征向量為正交向量組，故求得后只需單位化。 (8分)只需單位化：作正交矩陣和對角陣：寫出正交線性替換和標準形：經(jīng)正交線性替換，即化原二次型為標準形： (12分)13、解：(1) 因為為概率密度函數(shù)，所以從而.(4分) (2) ；(8分) (3) (12分)14、解：設表示事件“第次打開門”，則， ，即X分布律為：1234 (8分)于是，。 (12分)注意：幾何分布的數(shù)學期望。四、綜合分析題（本大題14分）15、解：對增廣矩陣作初等行變換化為行階梯形： (4分)顯然，當時，方程組無解；當時，方程組有解。(7分)為此繼續(xù)作初等行變換化為行最簡形： (10分)通解為：，即 .其中自由未知量。 (14分)四、 證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）16、證明:由于，所以為實對稱陣； ，由于 ，所以 (6分)又因為 ， 所以 ，即為正定矩陣。 (10分)17、證：由的值域可確定的值域為，所以當時，；當時，； (4分)當時，所以的密度函數(shù)為故服從區(qū)間上的均勻分布。 (10分)安徽大學20092010學年第一學期高等數(shù)學A（三）（A卷）考試試題參考答案及評分標準一、選擇題（每小題2分，共10分）1. C 2. D 3. D 4.B 5. C二、填空題（每小題2分，共10分）6.或 7. 8. 9. 10. 三、計算題（本大題共10分）11.（本小題10分）解：為使中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，將第行依次與上一行交換直至第1行；第行依次與上一行交換直至第2行；第2行交換到第行，于是共經(jīng)過次行的交換，得到階范德蒙行列式 （5分）再對上面右端行列式的列進行與上述行的相同調換，得到令注意到，故有 （10分）得分四、分析題（本大題共6小題，共62分）12.（本小題13分）解：增廣矩陣為 （2分） （5分）當時，方程組有無窮多解。 （7分）此時有 （8分）對應的線性方程組為即 （9分）令，得到原非齊次線性方程組的一個特解： （10分）原非齊次線性方程組對應的導出組為令，得到；令，得到；令，得到， （11分）故原非齊次線性方程組的結構解為，為任意常數(shù)。 （13分）13.（本小題14分）解：二次型的矩陣為 （2分） 特征多項式為 （3分） （5分）由得到的特征值為。 （7分）當時，解方程組，可得到基礎解系當時，解方程組，得到基礎解系 （9分）容易驗證兩兩正交，故只需將單位化即可，得到令 則當時，有 （12分）因為二次型的正慣性指數(shù)為3，故二次型為正定二次型。 （14分）14.（本小題10分）解：設=那天下雨，=那天不下雨，=那天外出購物，則有，。（1）由全概率公式有 (5分)（2）由逆概公式有 （10分）15.（本小題13分）解：（1）關于的邊緣分布律為關于的邊緣分布律為 （4分）（2）因為 所以不獨立。 （8分）（3）因而有。故不相關。 （13分）16.（本小題12分）解：（1）由于，即得到。 （4分）（2）設總體的樣本值為，似然函數(shù)為取對數(shù)有令得到的最大似然估計值為的最大似然估計量為 （8分）（3）由于因此由此可知是的無偏估計量。 （12分） 五、證明題（本大題8分）17. （本小題8分）證明：（1）由得到故有可逆。 （4分）（2）由（1）知可逆，且逆矩陣為，因而有故有即有. （8分）安徽大學20092010學年第一學期高等數(shù)學A（三）（B卷）考試試題參考答案及評分標準一選擇題（每小題2分，共10分）1. D 2.