力學(xué),主講老師：李志攀zpli.phyMailbox:109#,第七章剛體力學(xué)（二）,.,對(duì)有限角位移,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)外力所做的功，等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩對(duì)角坐標(biāo)的積分,力矩的功率：,一、力矩的功,剛體中P點(diǎn)在力的作用下位移則力元功,7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,.,二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和.,任意質(zhì)元的動(dòng)能為：,1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,剛體的動(dòng)能,.,2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,剛體：,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,.,三、剛體的重力勢(shì)能,剛體的重力勢(shì)能與質(zhì)量集中在重心上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能相同.,剛體的重力勢(shì)能,.,P233例題1裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為R，重錘質(zhì)量為m2，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動(dòng)柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落h高度時(shí)的速率v，不計(jì)阻力，不計(jì)繩的質(zhì)量及伸長(zhǎng).,解方法1.利用質(zhì)點(diǎn)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理求解.,由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理,由剛體動(dòng)能定理,.,約束關(guān)系：,聯(lián)立得,方法2.利用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解,將轉(zhuǎn)動(dòng)柱體、下落物體視作質(zhì)點(diǎn)系,由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理,約束關(guān)系,聯(lián)立得到相同結(jié)果,.,P234例題2均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l,一端為光滑的支點(diǎn).最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動(dòng)，如圖所示.（1）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，其下端點(diǎn)的線速度v；（2）求桿在圖示的豎直位置時(shí)，桿對(duì)支點(diǎn)的作用力.,.,解(1)由機(jī)械能守恒得,聯(lián)立得,(2)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,分量式,.,桿處于鉛直位置時(shí)不受力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可知，角加速度為零，所以,方向向上.,又,.,7.5剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué),一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程,平面運(yùn)動(dòng)=基點(diǎn)平動(dòng)+繞基點(diǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),1.質(zhì)心的平動(dòng),根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：,剛體作平面運(yùn)動(dòng)，合外力必是平面力,平面直角坐標(biāo)系中的分量式,.,2.剛體繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),選質(zhì)心坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)z為過質(zhì)心而垂直于固定平面的軸.在質(zhì)心系中,又M慣=0,即剛體相對(duì)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)同樣服從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律.,.,3、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程,質(zhì)心的平動(dòng)：,剛體平面運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心平動(dòng)+繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),兩式合稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程.,繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,.,P238例題1如圖，固定斜面傾角為，質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無滑滾動(dòng)，求圓柱體質(zhì)心的加速度ac及斜面作用于柱體的摩擦力F.,解,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,y軸上投影,對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理,無滑滾動(dòng),.,二、作用于剛體上的力,1.作用于剛體上力的兩種效果滑移矢量,(1)施于剛體的力的特點(diǎn)（力的三要素）,力的作用線通過質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心軸上的力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動(dòng).,施于剛體的某個(gè)點(diǎn)的力,決不可以隨便移到另一點(diǎn)去?,力對(duì)質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度.,.,(2)施于剛體的力是滑移矢量,如圖,施于A點(diǎn)的力F可用施于B點(diǎn)的力F代替,即作用于剛體的力可沿作用線滑移而不改變其效果.,.,2.力偶和力偶矩,力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力.,大小:,力偶矩的大小與參考點(diǎn)的選擇無關(guān).,一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對(duì)質(zhì)心軸的力矩.,方向:與二力旋轉(zhuǎn)方向呈右手螺旋關(guān)系,.,3.剛體的二維平動(dòng),二維平動(dòng)：剛體做平面運(yùn)動(dòng)又只作平動(dòng),剛體并未轉(zhuǎn)動(dòng)，但存在力矩平衡問題,.,P239例題2質(zhì)量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉(zhuǎn)動(dòng).前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為.汽車質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為l.求前后車輪對(duì)地面的壓力.,.,解汽車受力如圖.,y軸投影,對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,.,由上面方程可解出,根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對(duì)地面的壓力大小分別為FN1、FN2，但方向向下.,.,三、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,由克尼希定理可知，剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)能,剛體的動(dòng)能定理,如果剛體不太大，且在運(yùn)動(dòng)中只有保守力作功，則剛體的機(jī)械能也守恒.,.,P240例題3在例題1中，設(shè)圓柱體自靜止開始無滑滾下，求質(zhì)心下落高度h時(shí)，圓柱體質(zhì)心的速率.,解因?yàn)槭菬o滑滾動(dòng)，靜摩擦力F不做功，只有重力W做功，機(jī)械能守恒.,無滑滾動(dòng)條件,.,*四、滾動(dòng)摩擦力偶矩,滾動(dòng)摩擦發(fā)生的原因：是物體與接觸面處的非彈性形變引起.,設(shè)滾輪在接觸區(qū)無形變，地面有非彈性形變.,如圖對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生反向力矩滾動(dòng)摩擦力矩M滾,滾動(dòng)摩擦因數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定.,.,M滾使物體角速度減小，則接觸面各點(diǎn)有向前滑動(dòng)趨勢(shì)，從而產(chǎn)生反向摩擦力（滾動(dòng)摩擦）使物體減速.,滾動(dòng)阻力因數(shù)：,r是輪半徑.,表7.2是常見汽車輪在幾種典型路面上的值,.,如何理解滾動(dòng)摩擦滑動(dòng)摩擦？,設(shè)滾子勻速滾動(dòng)，則阻力和阻力矩分別為,聯(lián)立得,若滾子勻速平動(dòng),表7.2與表3.2相比，有,.,7.6剛體的平衡,一、剛體的平衡方程,無平動(dòng),剛體平衡的充要條件,對(duì)共面力系,在直角坐標(biāo)系O-xyz中平衡條件化為,共面力系所有力的作用線位于同一平面內(nèi).,其中，Z軸是垂直于Oxy面的任意軸.,.,剛體平衡方程的其它形式,(1)在力的作用平面內(nèi)選O和O兩個(gè)參考點(diǎn)，OO連線不與Ox軸正交,(2)在力的作用平面內(nèi)選O、O和O三個(gè)參考點(diǎn)，O、O和O三點(diǎn)不共線,剛體平衡時(shí)，諸力對(duì)任意軸的力矩和為零.,.,二、桿的受力特點(diǎn),在下面三個(gè)條件下，可認(rèn)為桿僅受兩力而平衡.,1.桿件兩瑞與其它物體的聯(lián)結(jié)是光滑鉸鏈聯(lián)結(jié).對(duì)光滑鉸鏈聯(lián)結(jié),只有通過節(jié)點(diǎn)（鉸銷中心）的壓力.,2.負(fù)荷對(duì)桿的作用力過節(jié)點(diǎn).,3.桿的自重與負(fù)荷相比可忽略不計(jì).,.,P245例題1如圖表示小型火箭發(fā)射架.火箭重量為W=1.5kN，重心在C處.導(dǎo)軌重量為W=4kN，重心為C處.支桿AB重量可以不計(jì).A、B和E處均系光滑鉸鏈連接.BE=2.0m,BAE=30,支架其它部分尺寸和夾角如圖所示；重心C和C與節(jié)點(diǎn)B在一條直線上且此直線與導(dǎo)軌垂直.求導(dǎo)軌在E處和支桿在B處所受的力.,.,解受力分析如圖.建立直角坐標(biāo)系Exyz，得,選擇過E點(diǎn)的z軸為定軸,解以上三方程得,.,補(bǔ)充例題2將長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m1的均勻梯子斜靠在墻角下,已知梯子與墻面間以及梯子與地