第25講 圖形的相似考點(diǎn)1 相似圖形的有關(guān)概念相似圖形 相同的圖形稱為相似圖形.相似多邊形兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別 ，邊 ，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似比相似多邊形對(duì)應(yīng) 的比叫做相似比.相似三角形兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別 ，三條邊 ，則這兩個(gè)三角形相似.當(dāng)相似比等于1時(shí)，這兩個(gè)三角形 .考點(diǎn)2 比例線段比例線段定義在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段.基本性質(zhì)若=，則ad=bc.當(dāng)b=c時(shí)，b2=ad，那么b是a、d的比例中項(xiàng).黃金分割點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC(ACBC)，如果AC是線段AB和BC的比例中項(xiàng)，且= 0.618，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).【易錯(cuò)提示】求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要統(tǒng)一長度單位.考點(diǎn)3 平行線分線段成比例基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段 .推論 .考點(diǎn)4 相似三角形的判定判定1 于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.判定2三邊 的兩個(gè)三角形相似.判定3兩邊 且夾角 的兩個(gè)三角形相似.判定4兩角分別 的兩個(gè)三角形相似.判定5滿足斜邊和一條直角邊 的兩個(gè)直角三角形相似.考點(diǎn)5 相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角 ，對(duì)應(yīng)邊 .性質(zhì)2相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和周長的比都等于 .性質(zhì)3相似三角形面積的比等于相似比的 .考點(diǎn)6 位似定義如果兩個(gè)圖形不僅是 圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于 ，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.這個(gè)點(diǎn)叫做位似 ，這時(shí)的相似比又稱為 比.性質(zhì)1.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比(位似比).2.在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 .【易錯(cuò)提示】兩個(gè)位似圖形的位似中心可能在圖形內(nèi)部、外部、邊上或頂點(diǎn)上. 判定三角形相似的幾條思路： (1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的預(yù)備定理. (2)條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角(用判定4)或再找夾邊成比例(用判定3). (3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等. (4)條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例. (5)條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對(duì)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.命題點(diǎn)1 相似三角形的判定例1 (2013益陽)如圖，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E.求證：ABDCBE.【思路點(diǎn)撥】在ABD和CBE中，有一個(gè)公共角，再根據(jù)等腰三角形三線合一得出ADBC即可證明兩三角形相似.【解答】方法歸納：證明兩三角形相似時(shí)，要善于結(jié)合已知條件來選擇最恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?1.如圖，每個(gè)小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與左圖中ABC相似的是( )2.(2015本溪模擬)如圖，點(diǎn)D在ABC的邊AC上，要判斷ADB與ABC相似，添加一個(gè)條件，不正確的是( ) A.ABD=C B.ADB=ABC C.= D.= 3.(2013貴陽)如圖，M是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一定點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，這樣的直線共有( )A.1條 B.2條 C.3條 D.4條命題點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)例2 (1)如圖，點(diǎn)D，E分別在AB、AC上，且ABC=AED.若DE=4，AE=5，BC=8，則AB的長為 .(2)(2013聊城)如圖，點(diǎn)D是ABC的邊BC上任一點(diǎn)，已知AB=4，AD=2，DAC=B.若ABD的面積為a，則ACD的面積為( )A.a B.a C.a D.a【思路點(diǎn)撥】(1)從條件看可以證明AEDABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出AB的長;(2)由DAC=B，可知ABCDAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求ACD的面積.方法歸納：求線段的長，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等來計(jì)算；求面積，利用相似三角形面積比等于相似比的平方來計(jì)算.1.(2014重慶B卷)如圖，ABCDEF，相似比為12，若BC1，則EF的長是( )A.1 B.2 C.3 D.42.(2014涼山)如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為15，那么它們的相似比為( )A.125 B.15 C.12.5 D.13.(2013長春)如圖，ABD=BDC=90，A=CBD，AB=3，BD=2，則CD的長為( )A. B. C.2 D.34.(2013長沙)如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，則ADE和ABC的周長之比等于 .命題點(diǎn)3 相似三角形的應(yīng)用例3 (2013濱州)某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示.其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm，8 cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì))【思路點(diǎn)撥】利用梯形常用的輔助線，把EF的長放到三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例，可求解.【解答】方法歸納：利用三角形相似解決實(shí)際問題關(guān)鍵扣住兩點(diǎn)：一是構(gòu)造三角形相似；二是靈活地利用相似三角形的性質(zhì).1.(2014臺(tái)州)如圖，蹺蹺板AB的支柱OD經(jīng)過它的中點(diǎn)O，且垂直于地面BC，垂足為D，OD50 cm，當(dāng)它的一端B著地時(shí)，另一端A離地面的高度AC為( )A.25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm2.(2013濟(jì)寧)如圖，放映幻燈時(shí)，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，若光源到幻燈片的距離為20 cm，到屏幕的距離為60 cm，且幻燈片中的圖形的高度為6 cm，則屏幕上圖形的高度為 cm.命題點(diǎn)4 位似變換例4 如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是( ) A.(-2，3) B.(2，-3) C.(3，-2)或(-2，3) D.(-2，3)或(2，-3)【思路點(diǎn)撥】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OABC，根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得位似比，再利用比例式分別計(jì)算出兩種情況下B的坐標(biāo).方法歸納：已知一個(gè)圖形和位似中心作位似圖形時(shí)，要注意運(yùn)用分類討論思想，考慮兩個(gè)圖形在位似中心同側(cè)或位似中心兩側(cè)兩種情況，避免出現(xiàn)遺漏.1.如圖中的兩個(gè)四邊形是位似圖形，它們的位似中心是( )A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)O D.點(diǎn)P2.如圖，以O(shè)為位似中心，把五邊形ABCDE的面積擴(kuò)大為原來的4倍，得五邊形A1B1C1D1E1，則ODOD1= .1.(2013溫州)如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，DEBC，已知AE=6，=，則EC的長是( )A.4.5 B.8 C.10.5 D.142.(2014泰安)在ABC和A1B1C1中，下列四個(gè)命題： (1)若AB=A1B1，AC=A1C1,A=A1，則ABCA1B1C1； (2)若AB=A1B1，AC=A1C1,B=B1，則ABCA1B1C1； (3)若A=A1，C=C1，則ABCA1B1C1； (4)若ACA1C1=CBC1B1,C=C1，則ABCA1B1C1.其中真命題的個(gè)數(shù)為( )A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)3.(2013宜昌)如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是( )A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)4.(2014寧波)如圖，四邊形ABCD中，ADBC，B=ACD=90，AB=2，DC=3，則ABC與DCA的面積比為( )A.23 B.25 C.49 D. 5.(2014東營)下列關(guān)于位似圖形的表述： 相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； 位似圖形一定有位似中心； 如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形是位似圖形； 位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比.其中正確命題的序號(hào)是( )A. B. C. D.6.(2013北京)如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得ABBC，CDBC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上.若測得BE20 m，EC10 m，CD20 m，則河的寬度AB等于( )A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m7.(2014濱州)如圖，平行于BC的直線DE把ABC分成的兩部分面積相等，則= .8.(2013六盤水)如圖，添加一個(gè)條件： ，使得ADEACB.(寫出一個(gè)即可)9.(2013天津)如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60，則AE的長為 .10.(2014福州)如圖，在RtABC中，ACB90，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)F，使CF BC，若AB10，則EF的長是 .11.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=40 cm，EF=20 cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，則樹高AB= m.12.(2014長沙)如圖，在ABC中，DEBC，=,ADE的面積是8，則ABC的面積為 .13.如圖，在ABCD中，ABC的平分線BF分別與AC,AD交于點(diǎn)E,F.(1)求證：AB=AF；(2)當(dāng)AB=3，BC=5時(shí)，求的值.14.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC和DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：(1)試證明三角形ABC為直角三角形；(2)判斷ABC和DEF是否相似，并說明理由；(3)畫一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1，P2，P3，P4，P5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與ABC相似.15.(2014資陽)如圖，AB是O的直徑，過點(diǎn)A作O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連接OC交O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于E，連接AD.(1)求證：CDECAD；(2)若AB=2，AC=，求AE的長.16.如圖，正方形ABCD的兩邊BC、AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上，正方形ABCD與正方形ABCD是以AC的中點(diǎn)O為中心的位似圖形，已知AC=3，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，則正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是( )A. B. C. D.17.(2013寧波)如圖，等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)A、C在x軸上，BCA=90，AC=BC=2，反比例函數(shù)y=(x0)的圖象分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E.連接DE.當(dāng)BDEBCA時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 .18.(2014濱州)如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q.(1)求證：APQCDQ；(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個(gè)單位長度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒，t為何值時(shí)，DPAC？參考答案考點(diǎn)解讀形狀 相等 成比例 邊 相等 成比例 全等 成比例平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例平行 成比例 成比例 相等 相等 成比例 相等 成比例 相似比 平方 相似 一點(diǎn) 中心 位似 k或-k各個(gè)擊破例1 在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC.CEAB，ADB=CEB=90.又B=B，ABDCBE.題組訓(xùn)練 1.B 2.C 3.C例2 (1)10 (2)C題組訓(xùn)練 1.B 2.D 3.B 4.12例3 過點(diǎn)C作CMAB，交EF,AD于N,M，作CPAD，交EF,AD于Q,P.由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形，EN=AM=BC=20 cm.MD=AD-AM=50-20=30(cm).由題意知CP=40 cm，PQ=8 cm，CQ=32 cm.EFAD，CNFCMD.=，即=.解得NF=24.EF=EN+NF=20+24=44(cm).答：橫梁EF應(yīng)為44 cm.題組訓(xùn)練 1.D 2.18例4 D題組訓(xùn)練 1.D 2.12整合集訓(xùn)1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.B 7.8.9.7 10.5 11.5.5 12.1813.(1)證明：在ABCD中，ADBC，AFB=FBC.BF是ABC的平分線，ABF=FBC.AFB=ABF.AB=AF.(2)AEF=CEB，AFB=FBC，AEFCEB.=.=.14.(1)根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，顯然有AB2+AC2=BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得ABC為直角三角形；(2)ABC和DEF相似.根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2.=，ABCDEF.(3)如圖，P2P4P5.15.(1)AB是O的直徑，ADB=90，ABD+BAD=90.又AC是O的切線，ABAC，即BAC=90，CAD+BAD=90，ABD=CAD.ABD=BDO=CDE，CAD=CDE.又C=C，CDECAD.(2)在RtOAC中，OAC=90，OA2+AC2=OC2，即12+(2)2=OC2，OC=3，CD=2.又由CDECAD，得=，即=，CE