第 1 頁（共 20 頁） 2016 年天津市武清區(qū)高考數(shù)學三模試卷（文科） 一選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1若 i 為虛數(shù)單位，則復數(shù) 等于（ ） A + i B + i C + i D + i 2下列函數(shù)中值域為實數(shù)集的偶函數(shù)是（ ） A f（ x） =| x 0） B f（ x） =ln|x|（ x 0） C f（ x） =x （ x 0） D f（ x）=x+ （ x 0） 3閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出 a 的值為（ ） A 101 B 102 C 103 D 104 4 “a=1”是 “函數(shù) f（ x） =|x a|在區(qū)間 1， +）上為增函數(shù) ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5已知 a=b=（ 2， c=（ ） （ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點分別為 心為 和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為 P若 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2 D 7如圖， 圓 O 的切線， M 為切點， 圓的割線， D 在圓上， B 交于點 C若 ， ， ，則 于（ ） 第 2 頁（共 20 頁） A B C D 8已知函數(shù) f（ x） = e（ x+2）恰有兩個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A a B a 0 C a 0 D a 0 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分，把答案填在題中橫線上） 9已知集合 A=x|x 2| 1，集合 B=x|2 0，則 AB=_ 10某校的象棋興趣班有高一年級 10 人，高二年級 15 人，高三年級 5 人，用分層抽樣的方法從這個興趣班中抽取 6 人進行集中訓練，然后從這 6 人中隨機抽取 2 人代表學校參加本區(qū)內校際高中生象棋大賽，則這 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率為 _ 11如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為 _ 12若函數(shù) y=f（ x）的圖象上每一個點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的 2 倍，然后再將整個圖象沿 x 軸向左平移 個單位長度，最后將得到的函數(shù)圖象沿 y 軸向下平移 1個單位長度，最后得到函數(shù) y= 圖象，則函數(shù) f（ x）的解析式為 _ 13在 ， 0， ， ， = ， = ， 延長線交延長線于點 F，則 的值為 _ 14若對 x， y 1， 2， ，總有不等式 成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 _ 三 大題共 6 小題，共 80 分，解答題應 寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 15在 ，內角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c， a= ， （ 1）若 ，求 b 的大?。?（ 2）若 b=4a，求 c 的大小及 面積 第 3 頁（共 20 頁） 16某工藝廠有銅絲 5 萬米，鐵絲 9 萬米，準備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售已知編制一只花籃需要銅絲 200 米，鐵絲 300 米；編制一只花盆需要銅絲 100 米，鐵絲 300 米設該廠用所有原料編制 x 個花籃， y 個花盆 （ 1）列出 x、 y 滿足的關系式，并畫出相應的平面區(qū)域； （ 2）若出售一個花籃可獲利 300 元，出售一個花盆可獲利 200 元，那么怎樣安排花籃和花盆的編制個數(shù)，可使所得利潤最大，最大利潤是多少？ 17如圖，四邊形 矩形，四邊形 直角梯形， F=2， ， （ 1）求證： （ 2）求證： 平面 （ 3）若二面角 E A 的大小為 120，求直線 平面 成的角 18已知橢圓 + =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 第一象限橢圓上的一點 M 滿足 |3| （ 1）求橢圓的離心率； （ 2）設 y 軸的交點為 N，過點 N 與直線 直的直線交橢圓于 A， B 兩點，若 + = ，求橢圓的方程 19已知數(shù)列 前 n 項和為 ，對任意的 n N*都有 =3n+1 2n，記（ n N*） （ 1）求證：數(shù)列 等差數(shù)列； （ 2）求 （ 3）證明：存在 k N*，使得 20已知函數(shù) r（ x） = ， （ 1）若 f（ x） =r（ x） 函數(shù) f（ x）的單調區(qū)間和最大值； （ 2）若 f（ x） = ，且對任意 x （ 0， 1），恒有 f（ x） 2，求實數(shù) a 的取值范圍 第 4 頁（共 20 頁） 2016 年天津市武清區(qū)高考數(shù)學三模試卷（文科） 參考答案與試題解 析 一選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1若 i 為虛數(shù)單位，則復數(shù) 等于（ ） A + i B + i C + i D + i 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則即可求得答案 【解答】 解： = = = ， 故選 D 2下列函數(shù)中值域為實數(shù)集的偶函數(shù)是（ ） A f（ x） =| x 0） B f（ x） =ln|x|（ x 0） C f（ x） =x （ x 0） D f（ x）=x+ （ x 0） 【考點】 函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 對 4 個選項，分別確定函數(shù)的奇偶性與值域，即可得出結論 【解答】 解：對于 A， f（ x） =| x 0）的值域為 0， +），非奇非偶，故不正確； 對于 B， f（ x） =ln|x|（ x 0）值域為實數(shù)集， f（ x） = x|=ln|x|=f（ x），所以函數(shù)是偶函數(shù)，故正確； 對于 C， f（ x） = x+ = f（ x）（ x 0）為奇函數(shù)，故不正確； 對于 D， f（ x） =x+ （ x 0）為奇函數(shù)，故不正確 故選： B 3閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出 a 的值為（ ） 第 5 頁（共 20 頁） A 101 B 102 C 103 D 104 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序，可得 a 的取值構成首項為 1，公差為 4 的等差數(shù)列，由題意當 4n 5 100 時，退出循環(huán)，可得整數(shù) n 的值，進而可得 a 的值 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 a 的取值構成首項為 1，公差為 4 的等差數(shù)列，可求其通項公式為 1+4（ n 1） =4n 5， n Z， 由題意，當 a=4n 5 100 時，即， n ，退出循環(huán)，輸出 a 的值， 由于 n 為整數(shù)，所以，當 n=27 時，退出循環(huán)，輸出 a=4 27 5=103 故選： C 4 “a=1”是 “函數(shù) f（ x） =|x a|在區(qū)間 1， +）上為增函數(shù) ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 函數(shù) f（ x） =|x a|的圖象是關于 x=a 對稱的折線，在 a， +）上為增函數(shù)，由題意 1， +） a， +），可求 a 的范圍 【解答】 解：若 “a=1”，則函數(shù) f（ x） =|x a|=|x 1|在區(qū)間 1， +）上為增函數(shù)； 而若 f（ x） =|x a|在區(qū)間 1， +）上為增函數(shù)，則 a 1， 所以 “a=1”是 “函數(shù) f（ x） =|x a|在區(qū)間 1， +）上為增函數(shù) ”的充分不必要條件， 故選 A 5已知 a=b=（ 2， c=（ ） （ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【分析】 利用指數(shù)式和對數(shù)式的運算性質可得 b a，再比較 b， c 與 4 的大小關系得答案 【解答】 解： a=1， b=（ 2 ， 且 b=（ 2 ， c=（ ） 4， 第 6 頁（共 20 頁） c b a 故選： D 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點分別為 心為 和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為 P若 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2 D 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 根據圓與漸近線相切得到圓的半徑，結合直角三角形的邊長關系以及雙曲線的定義建立方程進行求解即可 【解答】 解：設雙曲線的一個焦點為 c， 0），雙曲線的一條漸近線為 y= ，取 ， 則焦點到漸近線的距離 d= ， 圓心為 和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為 P 圓的半徑為 b， ， 則 a，即 a=2a+b， （ 2a+b） 2+ 即 4ab+b2+ 即 44 即 4 b=2a， 則 c= = a， 則離心率 e= ， 故選： D 7如圖， 圓 O 的切線， M 為切點， 圓的割線， D 在圓上， B 交于點 C若 ， ， ，則 于（ ） A B C D 第 7 頁（共 20 頁） 【考點】 與圓有關的比例線段 【分析】 證明 出 ，再利用相交弦定理，求出 【解答】 解：由題意，連接 圓 O 的切線， M 為切點， = ， ， ， 4+ 由相交弦定理可得 3， 故選： A 8已知函數(shù) f（ x） = e（ x+2）恰有兩個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A a B a 0 C a 0 D a 0 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 構造函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù) f（ x）恰有兩個零點，求出實數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解： f（ x） = e（ x+2）恰有兩個零點， 則 e（ x+2） =0 有兩個解， 即 1=（ x+2） e（ x+2） 有兩個解 令 g（ x） =1，且過定點（ 0， 1） h（ x） =（ x+2） e（ x+2） ， 第 8 頁（共 20 頁） 則 h（ x） =（ x 1） e（ x+2）， x 1 時， h（ x） 0， x 1 時， h（ x） 0， 圖象如圖所示， 當 a 0 時圖象有兩個交點， 實數(shù) a 的取值范圍是 a 0， 故選： B 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分，把答案填在題中橫線上） 9已知集合 A=x|x 2| 1，集合 B=x|2 0，則 AB= （ ， 3） 【考點】 交集及其運算 【分析】 分別求出 A 與 B 中不等式的解集確定出 A 與 B，找出兩集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式變形得： 1 x 2 1， 解得： 1 x 3，即 A=（ 1， 3）， 由 B 中不等式變形得：（ x+ ）（ x ） 0， 解得： x 或 x ，即（ ， ） （ ， +）， 則 AB=（ ， 3）， 故答案為：（ ， 3） 10某校的象棋興趣班有高一年級 10 人，高二年級 15 人，高三年級 5 人，用分層抽樣的方法從這個興趣班中抽取 6 人進行集中訓練，然后從這 6 人中隨機抽取 2 人代表學校參加本區(qū)內校際高中生象棋大賽，則這 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率為 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 由已知得高一年級抽取 2 人，高二年級抽取 3 人，高三年級抽取 1 人，從這 6 人中隨機抽取 2 人代表學校參加本區(qū)內校際高中生象棋大賽，先求出基本事件總數(shù)，再求 出這 2人中恰好有高二、高三各一人包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率 第 9 頁（共 20 頁） 【解答】 解： 象棋興趣班有高一年級 10 人，高二年級 15 人，高三年級 5 人， 用分層抽樣的方法從這個興趣班中抽取 6 人進行集中訓練， 高一年級抽取 =2 人， 高二年級抽取 6=3 人， 高三年級抽取 6=1 人， 從這 6 人中隨機抽取 2 人代表學校參加本區(qū) 內校際高中生象棋大賽， 基本事件總數(shù) n= =15， 這 2 人中恰好有高二、高三各一人包含的基本事件個數(shù) m= =3， 這 2 人中恰好有高二、高三各一人的概率 p= 故答案為： 11如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為 3 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個組合體：上面是一個直三棱柱、下面是一個長方體，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體的體積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：根據三視圖可知幾何體是一個組合體：上面是一個直三棱柱、下面是一個長方體， 三棱柱的底面是一個等腰直角三角形：兩條直角邊分別是 1，高為 2， 長方體的底面是邊長為 1 的正方形，高為 2， 幾何體的體積 V= =3， 故答案為： 3 12若函數(shù) y=f（ x）的圖象上每一個 點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的 2 倍，然后再將整個圖象沿 x 軸向左平移 個單位長度，最后將得到的函數(shù)圖象沿 y 軸向下平移 1個單位長度，最后得到函數(shù) y= 圖象，則函數(shù) f（ x）的解析式為 ） = 2x ）+1 第 10 頁（共 20 頁） 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，得出結論 【解答】 解：由題意可得，把函數(shù) y= 圖象沿 y 軸向上平移 1 個單位長度，可得 y= 的圖象； 然后再將整個圖象沿 x 軸向右平移 個單位長度，可得 y= x ） +1 的圖象； 最后，把圖象上每一個點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù) y=f（ x）= 2x ） +1 的圖象， 故答案為： 2x ） +1 13在 ， 0， ， ， = ， = ， 延長線交延長線于點 F，則 的值為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由題意建立如圖所示的平面直角坐標系，結合已知求出 D、 F 的坐標，進一步求得、 的坐標，則答案可求 【解答】 解：如圖， 分別以 在直線為 x、 y 軸建立平面直角坐標系， 則 A（ 0， 0）， C（ 2， 0）， B（ 0， 1）， = ， E（ 0， ）， 又 = ，得 D（ ）， 設 F（ m， 0），則 ， ， 由 ，得 ，即 m= ， 則 = 故答案為： 第 11 頁（共 20 頁） 14若對 x， y 1， 2， ，總有不等式 成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 a 0 【考點】 基本不等式在最值問題中的應用 【分析】 先根據均值不等式求得：（ 2 x）（ 4 y）的最大值，要使不等式 成立，需（ 2 x）（ 4 y） a 成立求出（ 2 x）（ 4 y）的最小值即可 【解答】 解： ，即 a （ 2 x）（ 4 y）恒成立，只需 a （ 2 x）（ 4 y）的最小值 而（ 2 x）（ 4 y） =8 4x 2y+8（ 4x+2y） +2 =10（ 4x+2y） =10（ 4x+ ） 令 f（ x） =10（ 4x+ ） x 1， 2 則導數(shù) f（ x） =（ 4 ） = 0 故 f（ x）在 x 1， 2是減函數(shù) 所以當 x=2 時取最小值 0 即（ 2 x）（ 4 y）的最小值為 0 所以 a 0 三 大題共 6 小題，共 80 分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 15在 ，內角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c， a= ， （ 1）若 ，求 b 的大??； （ 2）若 b=4a，求 c 的大小及 面積 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求 用正弦定理即可得解 b 的大小 第 12 頁（共 20 頁） （ 2）利用大邊對大角可得 ，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求 值，結合余弦定理可求 c，根據三角形面積公式即可得解 【解答】 （本小題滿分 13 分） 解：（ 1） ， 0 B ， ， ， a= ， （ 2） b=4a= ， b a， ， ， ， a2=b2+2 ，即 30c+152=0 解得 c=15， 面積為 16某工藝廠有銅絲 5 萬米，鐵絲 9 萬米，準備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售已知編制一只花籃需要銅絲 200 米，鐵絲 300 米；編制一只花盆需要銅絲 100 米，鐵絲 300 米設該廠用所有原料編制 x 個花籃， y 個花盆 （ 1）列出 x、 y 滿足的關系式，并畫出相應的平面區(qū)域； （ 2）若出售 一個花籃可獲利 300 元，出售一個花盆可獲利 200 元，那么怎樣安排花籃和花盆的編制個數(shù)，可使所得利潤最大，最大利潤是多少？ 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 （ 1）列出 x、 y 滿足的關系式為 ，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域即可 （ 2）設該廠所得利潤為 z 元，寫出目標函數(shù)，利用目標函數(shù)的幾何意義，求解目標函數(shù)z=300x+200y，所獲得利潤 第 13 頁（共 20 頁） 【解答】 （本小題滿分 13 分） （ 1）解：由已知 x、 y 滿足的關系式為 ，等價于 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分 （ 2）解：設該廠所得利潤為 z 元，則目標函數(shù)為 z=300x+200y 將 z=300x+200y 變形為 ，這是斜率為 ，在 y 軸上截距為 、隨 z 變化的一族平行直線 又因為 x、 y 滿足約束條件，所以由圖可知，當直線 經過可行域上的點 M 時，截距 最大，即 z 最大 解方程組 得點 M 的坐標為且恰為整點，即 x=200， y=100 所以， 00 200+200 100=80000 答：該廠編制 200 個花籃， 100 花盆所獲得利潤最大，最大利潤為 8 萬元 17如圖，四邊形 矩形，四邊形 直 角梯形， F=2， ， （ 1）求證： （ 2）求證： 平面 （ 3）若二面角 E A 的大小為 120，求直線 平面 成的角 第 14 頁（共 20 頁） 【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）由 出 平面 （ 2）由 平面 平面 是 平面 （ 3）過 F 作 延長線垂直， N 是垂足，連結 可證明 平面 是 所求角，利用勾股定理求出 算 可得出 大小 【解答】 證明：（ 1） 四邊形 矩形， 又 面 F=B， 平面 面 （ 2） 面 面 平面 四邊形 矩形， 面 面 平面 又 面 F=B， 平面 平面 面 平面 （ 3）過 F 作 延長線垂直， N 是垂足，連結 是二面角 E A 的平面角， 20， 0 ， ， ， ， 0， =3 平面 面 平面 平面 平面 面 B， 平面 直線 平面 成的角， = ， 0 直線 平面 成的角為 30 第 15 頁（共 20 頁） 18已知橢圓 + =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 第一象限橢圓上的一點 M 滿足 |3| （ 1）求橢圓的離心率； （ 2）設 y 軸的交點為 N，過點 N 與直線 直的直線交橢圓于 A， B 兩點，若 + = ，求橢圓的方程 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）運用橢圓的定義和直角三角形的勾股定理，結合橢圓的離心率計算即可得到所求值； （ 2）由橢圓的離心率和 a， b， c 的關系，可得橢圓的方程 2，求得直線 方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程可得 c，進而得到 a， b 的值，即可得到所求橢圓方程 【解答】 解：（ 1）由橢圓定義可得 |2a， |3| 4|2a， ， 在直角 ， ，即 ， ，即 ， 橢圓的離心率為 ； （ 2） ， ， 橢圓方程為 ， 即 2， 易知點 M 的坐標為 ， 點 N 是線段 中點， 點 N 的坐標為 ， 第 16 頁（共 20 頁） 直線 斜率為 ， 直線 斜率為 ， 直線 方程為 ， 與橢圓方程聯(lián)立消去 y 得 ， 設點 A 的坐標為（ 點 B 的坐標為（ ， 直平分線段 ， ， ， ， 化簡得 ，即 ，即為 ， 可得 6， b2=， 則橢圓的方程為 19已知數(shù)列 前 n 項和為 ，對任意的 n N*都有 =3n+1 2n，記（ n N*） （ 1）求證：數(shù)列 等差數(shù)列； （ 2）求 （ 3）證明：存在 k N*，使得 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列與不等式的綜合 【分析】 （ 1）由已知數(shù)列遞推式采用作差法證明數(shù)列 等差數(shù)列； （ 2）求出數(shù)列 通項公式，得到數(shù)列 通項公式，分組后分別利用等比數(shù)列的前 n； （ 3）由數(shù)列 通項公式推測數(shù)列 的第一項最大求出 ，證明即可 第 17 頁（共 20 頁） 【解答】 （ 1）證明： ， ， = = ， 數(shù)列 公差為 1，首項為 的等差數(shù)列； （ 2）解：由（ 1）可知 bn=n 1， ，則 ， 令數(shù)列 2n的前 n 項和為 n） ，則 令數(shù)列 （ n 1） 3n的前 n 項和為 n） ， 則 n） =0 31+1 32+2 33+（ n 2） 3n 1+（ n 1） 3n ， ， n） = ， 則 ； （ 3）證明：推測數(shù)列 的第一項最大 下面證明 0， 只需 證 2 13 即 2（ 2n+1+n 3n+1） 132n+（ n