1,主講教師:王升瑞,高等數(shù)學(xué),第二十九講,2,二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,三、絕對(duì)收斂與條件收斂,第二節(jié),一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,第十二章,3,一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,若,定理1.正項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,部分和序列,有界.,若,收斂,部分和數(shù)列,有界,故,從而,又已知,故有界.,則稱,為正項(xiàng)級(jí)數(shù).,單調(diào)遞增,收斂,也收斂.,4,定理2(比較審斂法),且存在,對(duì)一切,有,1、若級(jí)數(shù)（2),則級(jí)數(shù)(1),2、若級(jí)數(shù)（1）,則級(jí)數(shù)（2）,證略,則有,收斂,也收斂;,發(fā)散,也發(fā)散.,兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k0),5,解1：,發(fā)散,例1：判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,而,收斂,由比較判別法可知原級(jí)數(shù)收斂,解2：,而,由比較判別發(fā)可知原級(jí)數(shù)發(fā)散。,6,證明級(jí)數(shù),發(fā)散.,證:因?yàn)?而級(jí)數(shù),發(fā)散,根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.,例2.,7,例3.討論p級(jí)數(shù),(常數(shù)p0),的斂散性.,解:1)若,因?yàn)閷?duì)一切,而調(diào)和級(jí)數(shù),由比較審斂法可知p級(jí)數(shù),發(fā)散.,發(fā)散,2）若,順序地把一項(xiàng)、兩項(xiàng)、四項(xiàng)、八項(xiàng)括在一起,此式,由比較判別法可知p1時(shí)，p級(jí)數(shù)收斂。,8,重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).,調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).,若存在,對(duì)一切,9,例4,10,例5,11,例6,12,證,例6,13,定理3.(比較審斂法的極限形式),則有,兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;,(2)當(dāng)l=0,(3)當(dāng)l=+,證明略！,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù),滿足,(1)當(dāng)00),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨,55,1、若級(jí)數(shù),則有,因此對(duì)一切,有,由定理1可知,則有,2、若級(jí)數(shù),因此,這說(shuō)明級(jí)數(shù),也發(fā)散.,也收斂.,發(fā)散,收斂,級(jí)數(shù),則有,56,由圖可知,57,因?yàn)楫?dāng),故,考慮強(qiáng)級(jí)數(shù),的部分和,故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知p級(jí)數(shù)收斂.,時(shí),2)若,58,其和分別為,絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).,*定理8.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.,*定理9.(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法),則對(duì)所有乘積,按任意順序排列得到的級(jí)數(shù),也絕