.,水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實(shí)例：,8.1曲面的方程,下一頁(yè),返回,.,根據(jù)題意有,化簡(jiǎn)得所求方程,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,解,根據(jù)題意有,所求方程為,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,以下給出幾例常見的曲面.,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,得上、下半球面的方程分別是：,當(dāng)A2+B2+C2-4D0時(shí),是球面方程.,由,由上述方程可得球面的一般式方程為：,反之，由一般式方程（*），經(jīng)過(guò)配方又可得到：,x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0（*）,(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,例4方程的圖形是怎樣的？,根據(jù)題意有,圖形上不封頂，下封底,解,以上方法稱為截痕法.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：,（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程,上一頁(yè),返回,.,二、曲面的參數(shù)方程,.,二、曲面的參數(shù)方程,例3(P41)求以z軸為對(duì)稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程.,注意空間曲面的參數(shù)方程的表達(dá)式不是惟一的.,.,空間曲線的一般方程,曲線上的點(diǎn)都滿足方程，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點(diǎn)：,下一頁(yè),返回,空間曲線的方程,.,例1方程組表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,例2方程組,解,上半球面,圓柱面,交線如圖.,表示怎樣的曲線？,上一頁(yè),返回,.,空間曲線的參數(shù)方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,下一頁(yè),返回,.,動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn),螺旋線的參數(shù)方程,取時(shí)間t為參數(shù)，,解,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為,螺旋線的重要性質(zhì)：,上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比即,上升的高度,螺距,上一頁(yè),返回,.,觀察柱面的形成過(guò)程:,定義4.1.1平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.,母線,準(zhǔn)線,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,8.2.1柱面,.,柱面舉例：,拋物柱面,平面,拋物柱面方程：,平面方程：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實(shí)例,橢圓柱面，,雙曲柱面，,拋物柱面，,母線/軸,母線/軸,母線/軸,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,1.橢圓柱面,2.雙曲柱面,上一頁(yè),返回,.,a,b,橢圓柱面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,y,o,雙曲柱面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,拋物柱面,上一頁(yè),返回,.,定義4.2.1通過(guò)一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.,這些直線都叫做錐面的母線.,那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn).,錐面的方程是一個(gè)三元方程.,特別當(dāng)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)：,8.2.2錐面,下一頁(yè),返回,.,n次齊次方程,F(x,y,z)=0,的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；,方程F(x,y,z)=0是n次齊次方程：,準(zhǔn)線,頂點(diǎn),F(x,y,z)=0.,反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是n次齊次方程,錐面是直紋面,錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的母線.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,設(shè)錐面S的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，準(zhǔn)線為曲線,設(shè)錐面S的方程為,.,橢圓錐面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,x=0,y=0,z=0,二次錐面,z=h,當(dāng)h0時(shí)，該交線是橢圓；,當(dāng)h=0時(shí)，該交線是原點(diǎn)。,所以，二次錐面也叫橢圓錐面。,.,L,C,設(shè)L為已知空間曲線,P為已知平面,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,則以L為準(zhǔn)線，垂直于P的直線為母線的柱面稱為L(zhǎng)關(guān)于P的投影柱面,投影柱面與平面P的交線C稱為曲線L在平面P上的投影曲線.,特別是以L為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面稱為L(zhǎng)關(guān)于xoy面的投影柱面,曲線C稱為L(zhǎng)在xoy上的投影曲線.,曲線L在xoy面上的投影柱面H(x,y)=0,曲線,.,類似地：空間曲線在,面上的投影曲線,面上的投影曲線,問(wèn)題:各個(gè)投影柱面方程是什么?理由是什么?,曲線必在柱面上;柱面必包含曲線,.,例,求二球面的交線,在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線方程.,解,這就是消去z后所得在xoy坐標(biāo)面的投影柱面方程，,因而曲線C在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線是橢圓.,把x2+y2+z2=1代入x2+(y-1)2+(z-1)2=1,得y+z=1,把y+z=1代入x2+(y-1)2+(z-1)2=1,得x2+2y2-2y=0,.,例,解,半球面和錐面的交線為,圓,.,例,求曲線,在xoy,y0z坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.,解,關(guān)于xoy坐標(biāo)面的投影柱面方程,因而曲線在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線是圓.,消x得到曲線關(guān)于yoz坐標(biāo)面的投影柱面的方程,在yoz坐標(biāo)面的投影曲線是一段拋物線,.,得x2+y23x5y=0，,在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.,例,求曲線,解,從曲線的方程中消去z，,即,它是曲線關(guān)于xoy坐標(biāo)面的投影柱面圓柱面的方程，,在xoy坐標(biāo)面上投影曲線是圓.,.,投影曲線的研究過(guò)程.,空間曲線,投影曲線,投影柱面,.,4空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影,空間立體,曲面,.,思考題,.,解答,交線方程為,在面上的投影為,.,.,定義4.3.1以一條曲線繞其一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面或稱回旋曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸,這條曲線叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線,8.3旋轉(zhuǎn)曲面,下一頁(yè),返回,.,曲線C,C,繞z軸,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,曲線C,C,繞z軸,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,曲線C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,繞z軸,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),.,S,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,曲線C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面S,C,S,M,N,z,P,.,繞z軸,.,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),f(y1,z1)=0,f(y1,z1)=0,.,S,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：,如圖,將代入,得方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,例1將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,旋轉(zhuǎn)橢球面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,幾種特殊旋轉(zhuǎn)曲面,1雙葉旋轉(zhuǎn)曲面2單葉旋轉(zhuǎn)曲面3旋轉(zhuǎn)錐面4旋轉(zhuǎn)拋物面5環(huán)面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,x,0,1雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,繞x軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,x,0,.,繞x軸一周,1雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,x,0,.,1雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,.,繞x軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,a,2單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞y軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,a,.,上題雙曲線,繞y軸一周,2單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,a,.,.,.,2單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞y軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,3旋轉(zhuǎn)錐面,兩條相交直線,繞x軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,.,兩條相交直線,繞x軸一周,3旋轉(zhuǎn)錐面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,.,兩條相交直線,繞x軸一周,得旋轉(zhuǎn)錐面,.,3旋轉(zhuǎn)錐面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,o,4旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞z軸一周,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,o,.,拋物線,繞z軸一周,4旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,y,.,o,x,z,.,4旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞z軸一周,得旋轉(zhuǎn)拋物面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,5環(huán)面,r,R,繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,5環(huán)面,繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,5環(huán)面,繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面,環(huán)面方程,.,生活中見過(guò)這個(gè)曲面嗎？,.,.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面形狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,二次曲面,下一頁(yè),返回,.,截痕法,用z=h截曲面,用y=m截曲面,用x=n截曲面,a,b,c,橢球面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,橢球面的方程,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,橢球面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面的交線為橢圓,同理與平面和的交線也是橢圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫為,與平面的交線為圓.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,球面,截面上圓的方程,方程可寫為,上一頁(yè),返回,.,單葉雙曲面,一、單葉雙曲面,雙曲面,下一頁(yè),返回,.,與平面的交線為橢圓.,當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.,（2）用坐標(biāo)面與曲面相截,截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.,實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,單葉雙曲面圖形,（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截,均可得雙曲線.,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,二、雙葉雙曲面,雙葉雙曲面,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,單葉：,雙葉：,.,.,.,在平面上，雙曲線有漸進(jìn)線。相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面有漸進(jìn)錐面。用z=h去截它們，當(dāng)|h|無(wú)限增大時(shí)，雙曲面的截口橢圓與它的漸進(jìn)錐面的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。,漸進(jìn)錐面：,雙曲面及其漸進(jìn)錐面,上一頁(yè),返回,.,2.二次曲線方程的化簡(jiǎn)和分類,定理5.6.1適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以化成下列三個(gè)簡(jiǎn)化方程中的一個(gè)：,定理5.6.2通過(guò)適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲線的方程總可以寫成下面九種標(biāo)準(zhǔn)方程的一種形式：,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,.,上一頁(yè),返回,.,曲面和曲線的一般方程,F(x,y,z)=0,曲面的一般方程:,曲線的一般方程:,曲線的參數(shù)方程:,G(x,y,z),C,S2,.,(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2,球面及其方程,柱面及其方程,旋轉(zhuǎn)曲面方程,投影曲線方程,在xOy面的投影曲線,橢球面,截痕法,.,x=0,y=0,z=0,二次錐面,z=h,當(dāng)h0時(shí)，該交線是橢圓；,當(dāng)h=0時(shí)，該交線是原點(diǎn)。,所以，二次錐面也叫橢圓錐面。,.,x=0,y=0,z=0,單葉雙曲面,橢圓,z=h,.,x=0,y=0,z=|c|,雙葉雙曲面,z=h,橢圓,|h|c時(shí),|h|越大,橢圓越大,|h|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).,.,x=0,y=0,z=0,橢圓拋物面,z=h,h越大,橢圓曲線也越大,h=0時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).,橢圓,.,(a0,b0),x=0,x=h,雙曲拋物面,表示過(guò)原點(diǎn)，開口朝z軸負(fù)方向的拋物線。,開口朝z軸負(fù)方向的拋物線。,.,(a0,b0),y=0,y=h,雙曲拋物面,表示過(guò)原點(diǎn)，開口朝z軸正方向的拋物線。,開口朝z軸正方向的拋物線。,.,(a0,b0),(馬鞍面),z=h,雙曲拋物面,當(dāng)h0時(shí)，是實(shí)軸是x軸的雙曲線,當(dāng)h0,b0,c0),二次錐面,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,截痕法,橢圓拋物面,(馬鞍面),雙曲拋物面,.,若已知二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，則容易畫出它的圖形。橢球面二次錐面單葉雙曲面和雙葉雙曲面橢圓拋物面和雙曲拋物面若二次曲面的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，要通過(guò)正交變換和平移變換把一般二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而知道其圖形。,二次曲面的判別方法,.,一般三元二次方程的化簡(jiǎn),xyz,(x,y,z),+(b1,b2,b3),xyz,+c=0,XTAX,+c=0,BTX,.,一般三元二次方程的化簡(jiǎn),A是實(shí)對(duì)稱矩陣正交矩陣P，,正交替換X=PY,Y=(x1,y1,z1),XTAX,=YT(PTAP)Y,=YTdiag(1,2,3)Y,二次型,標(biāo)準(zhǔn)形,則方程(1)變成,再令BTX=(d1,d2,d3),1x12+2y12+3z12+d1x1+d2y1+d3z1+c=0,將此方程配平方，再做平移變換，得二次方程標(biāo)準(zhǔn)形。,.,.,.,.,f(x,y,z)=2x2+y2+z2+2xy+kyz=1,例.求k的值使下面的方程表示一個(gè)橢球面.,上述方程表示一個(gè)橢球面A正定,而P1=20,P3=|A|=1k2/2.,個(gè)橢球面.,.,二次曲面方程的化簡(jiǎn)和分類,定理適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲面的方程總可以化成下列五個(gè)簡(jiǎn)化方程中的一個(gè)：,.,定理通過(guò)適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲面的方程總可以寫成下面十七種標(biāo)準(zhǔn)方程的一種形式：,.,.,二次曲面方程的化簡(jiǎn)和分類,橢球面（單頁(yè)，雙葉）雙曲面（橢圓，雙曲）拋物面（橢圓，雙曲，拋物）柱面橢圓錐面（兩相交，兩平行，重合）平面一條直線一點(diǎn),（雙曲，拋物）錐面,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,a11x2+a22y2+a33z2,+2a12xy+2a13xz+2a23yz,+b1x+b2y+b3z+c=0,一般方程,二次型,xTAx,+c=0,BTx,6.3二次曲面,.,標(biāo)準(zhǔn)方程,xTAx+BTx+c=0,平移或旋轉(zhuǎn)變換,.,例15.x2+y2+z22xz+2y=0.,則原方程化為y2+2z2+2y=0.,即(y+1)2+2z2=1.,.,例15.x2+y2+z22xz+2y=0.,則原方程化為y2+2z2+2y=0.,即(y+1)2+2z2=1.,再作平移變換,則上式化為y2+2z2=1.,可見原方程表示一個(gè)橢圓柱面.,.,則原方程化為x2+2(y1)=0.,例16.x2+y+z2=0.,再作平移變換,可見原方程表示一個(gè)拋物柱面.,該變換是對(duì)坐標(biāo)軸作了一個(gè)旋轉(zhuǎn).,.,注1：在例16中將兩個(gè)一次項(xiàng)之和化為一個(gè)一次項(xiàng)時(shí)，用了一個(gè)正交變換，如何看出它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換呢？,事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)正交變換x=Qy,如果|Q|=1，則稱該變換是第一類正交變換，其對(duì)應(yīng)的是將坐標(biāo)軸作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)。如果|Q|=-1，稱該變換是第二類正交變換，其對(duì)應(yīng)的是將坐標(biāo)軸作了一個(gè)“鏡像變換”(可以先做一個(gè)旋轉(zhuǎn))。(了解即可),.,注2：如果一個(gè)方程的形式為,x2+ay+bz+c=0,其中a,b不同時(shí)為零，那么它一定表示一個(gè)拋物柱面.,進(jìn)一步,如果一個(gè)方程的形式為,x2+dx+ay+bz+c=0,其中a,b不同時(shí)為零，那么它一定表示一個(gè)拋物柱面.,.,6.3二次曲面,第六章二次型與二次曲面,例17.z=xy.,A,.,可見原方程表示一個(gè)雙曲拋物面.,則原方程化為x2y2=2z,xyz,令,=,0,0,001,xyz,.,特別地，假設(shè)二次曲面方程為如下形式，,a11x2+a22y2+a33z2,+2a12xy+2a13xz+2a23yz=1,xTAx=1.,記,，,，,方程即為,.,不難求出實(shí)對(duì)稱陣A的特征值1,2,3(從而知道A的正負(fù)慣性指數(shù)),然后對(duì)曲面分類.,1.當(dāng)三個(gè)特征值均大于零時(shí)，曲面為橢球面.,2.當(dāng)三個(gè)特征值均小于零時(shí)，曲面為虛橢球面.,3.當(dāng)有兩個(gè)特征值大于零，一個(gè)特征值小于零時(shí)，曲面為單葉雙曲面.,4.當(dāng)有兩個(gè)特征值小于零，一個(gè)特征值大于零時(shí)，曲面為雙葉雙曲面.,5.當(dāng)有兩個(gè)特征值大于零，一個(gè)特征值等于零時(shí)，曲面為橢圓柱面.,.,6.當(dāng)有兩個(gè)特征值小于零，一個(gè)特征值等于零時(shí)，曲面為虛橢圓柱面.,7.當(dāng)有兩個(gè)特征值等于零，一個(gè)特征值大于零時(shí)，曲面為一對(duì)平行的平面.,8.當(dāng)有兩個(gè)特征值等于零，一個(gè)特征值小于零時(shí)，曲面為一對(duì)平行的虛平面.,7.當(dāng)有一個(gè)特