.,第四章積分變換法,.,4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.2傅立葉變換的應(yīng)用4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,定義：假設(shè)I是數(shù)集(實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里a,b為任意區(qū)間。如果f(x)在區(qū)間a,b有定義,且K(s,x)f(x)為a,b上可積函數(shù),則含參變量積分,定義了一個(gè)從f(x)到F(s)的變換,稱為積分變換,K(s,x)為變換的核。,常見的積分變換有傅立葉變換和拉普拉斯變換。,4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,傅立葉變換,記作：,假設(shè)f(x)在上有定義，在上絕對(duì)可積，在任一有限區(qū)間上有有限個(gè)極大值、極小值，且至多有有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)，則函數(shù),稱為f(t)的傅立葉變換。,4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,傅立葉逆變換定義為：,記作：,當(dāng)f(x)滿足上述條件時(shí)，有,傅立葉積分定理：,t是連續(xù)點(diǎn)t是第一類間斷點(diǎn),特別的，當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí),4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,傅立葉變換具有如下性質(zhì):,1)線性性質(zhì)：設(shè)f,g是絕對(duì)可積的函數(shù)，為數(shù),2)微分運(yùn)算性質(zhì),4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,3)對(duì)傅立葉變換后的函數(shù)求導(dǎo)數(shù),4)卷積性質(zhì),設(shè)f(x)，g(x)在上絕對(duì)可積,定義卷積：,4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,5)乘積運(yùn)算,傅立葉變換在乘積運(yùn)算和卷積運(yùn)算之間建立了一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。,6)平移性質(zhì),4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,思考：對(duì)于u(x,y),若以y為參數(shù),對(duì)x作傅立葉變換,由傅立葉變換的線性性質(zhì),同理,4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),.,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,例用積分變換法解方程：,解：由自變量的取值范圍，對(duì)x進(jìn)行傅立葉變換，設(shè),那么方程轉(zhuǎn)變?yōu)?4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,解得,為了求出原方程的解,下面對(duì)關(guān)于進(jìn)行傅立葉逆變換.,t是參數(shù),！,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,例用積分變換法解方程：,解：作關(guān)于的傅立葉變換。設(shè),方程變?yōu)?4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,可解得,而,則,上式兩邊關(guān)于x作逆傅立葉變換，得,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,例用積分變換法求解初值問題：,解：作關(guān)于x的傅立葉變換。設(shè),t是參數(shù),4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,于是原方程變?yōu)?滿足初始條件,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,的通解為,由初始條件,是參數(shù),解常微分方程：,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,取傅立葉逆變換，得,其中：,注意到,而,4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,所以取傅立葉逆變換，得,t是參數(shù),4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,所以取傅立葉逆變換，得,t是參數(shù),4.2傅立葉變換的應(yīng)用,.,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,拉普拉斯變換,傅立葉變換要求函數(shù)f在有定義并且絕對(duì)可積。很多常見函數(shù)，如常函數(shù)，多項(xiàng)式，三角函數(shù)等都不滿足條件。以時(shí)間t為自變量的函數(shù)在區(qū)間也無意義。這些都限制了傅立葉變換的應(yīng)用。為此引入拉普拉斯(Laplace)變換。,拉普拉斯變換的積分核為,（單邊）拉普拉斯變換：,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,基本性質(zhì)：,1)基本變換:,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,2)線性性質(zhì),3)微分性質(zhì),若則,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,4)積分性質(zhì),6)位移性質(zhì),7)延遲性質(zhì),5)對(duì)拉普拉斯變換求導(dǎo),4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,8)卷積性質(zhì),應(yīng)用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程(如P38),也適用于偏微分方程。,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,例解常微分方程的初值問題:,解：對(duì)t進(jìn)行拉普拉斯變換,設(shè),則原方程變?yōu)?4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,對(duì)p進(jìn)行拉普拉斯逆變換,考慮到,有,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,例設(shè)，求解常微分方程的初值問題:,解對(duì)進(jìn)行拉普拉斯變換,設(shè),則,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,于是原方程變?yōu)?由上式得:,對(duì)進(jìn)行拉普拉斯逆變換,得,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,拉普拉斯變換的反演公式：,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,利用留數(shù)基本定理，可得,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì),.,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,例：設(shè)x0,y0,求解定解問題,解：對(duì)y進(jìn)行拉普拉斯變換。設(shè),則方程變?yōu)椋?4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,而變?yōu)?解ODE:,對(duì)p取拉普拉斯逆變換，得,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,解問題歸結(jié)為求解下列定解問題:,例一條半無限長的桿，端點(diǎn)溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規(guī)律。,對(duì)t進(jìn)行拉普拉斯變換,怎么變換？,為什么？,知道的值了,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,分析由于，故不能用傅立葉變換，而要用拉普拉斯變換。如果對(duì)進(jìn)行拉普拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了,在變換中需要知道以及的值；如果對(duì)進(jìn)行拉普拉普拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了，在變換中需要知道。因此，我們對(duì)進(jìn)行拉普拉斯變換。,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,對(duì)t進(jìn)行拉普拉斯變換，設(shè),于是方程變?yōu)?這是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為,二階方程，但是僅有一個(gè)邊界條件！需要引入自然邊界條件.,4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì),4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,考慮到具體問題的物理意義：u(x,t)表示溫度，,從而D=0.,再由邊值條件可知，C=F(p).,為求出u(x,t),在上式中對(duì)p進(jìn)行拉普拉斯逆變換,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,由拉普拉斯變換表知，,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用,.,積分變換法求解定解問題的原則和步驟：,1)選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換。主要考慮自變量取值范圍，傅立葉變換要求取值范圍是，拉普拉斯變換要求取值范圍是,3)注意定解條件的形式。假如對(duì)x進(jìn)行拉普拉斯變換，而原方程是關(guān)于為x的k階方程，則定解條件中必須出現(xiàn),2）傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對(duì)可積,許多函數(shù)不能作傅立葉變換,.,數(shù)學(xué)物理方程+定解條件,解,常微分方程+定解條件,