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第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性,一、問題的提出,1.計(jì)算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正形的面積,二、級(jí)數(shù)的概念,1.級(jí)數(shù)的定義:,(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù),一般項(xiàng),部分和數(shù)列,級(jí)數(shù)的部分和,2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:,余項(xiàng),無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/3的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長(zhǎng)無限的圖形“Koch雪花”,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,播放,周長(zhǎng)為,面積為,第次分叉：,于是有,結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無界的，而面積有界,雪花的面積存在極限（收斂）,解,收斂,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,綜上,解,三、基本性質(zhì),結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.,結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,證明,類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.,證明,注意,收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,四、收斂的必要條件,證明,級(jí)數(shù)收斂的必要條件:,注意,1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,8項(xiàng),4項(xiàng),2項(xiàng),2項(xiàng),項(xiàng),由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.,五、小結(jié),常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念,基本審斂法,思考題,思考題解答,能由柯西審斂原理即知,練習(xí)題,練習(xí)題答案,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,觀察雪花分形過
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