第2講 合情推理與演繹推理隨堂演練鞏固1.下列四個圖形中,著色三角形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前4項,則這個數(shù)列的一個通項公式為( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 . 歸納推理:. 2.“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù),某奇數(shù)是9的倍數(shù),故此奇數(shù)是3的倍數(shù)”,上述推理是( ) A.小前提錯B.結論錯 C.正確的D.大前提錯 【答案】 C 【解析】 這是演繹推理的一般模式“三段論”.前提和推理形式都正確,因此結論也正確. 3.有一段演繹推理是這樣的:“若直線平行于平面,則該直線平行于平面內(nèi)所有直線;已知直線b平面直線平面則直線b直線a”,結論顯然是錯誤的,這是因為 ( ) A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤 【答案】 A 【解析】 由演繹推理的三段論可知答案應為A. 4.觀察下列各式:2 401,則的末兩位數(shù)字為( ) A.01B.43C.07D.49 【答案】 B 【解析】 (方法一)由題意得由于 401末位為1,倒數(shù)第二位為0,因此2 的末兩位定為01.又343,的末兩位定為43. (方法二)用歸納法:16 117 543,由上知末兩位有周期性且T=4. 又的末兩位與的末兩位一樣,為43. 5.在等差數(shù)列中,若則有等式且N成立.類比上述性質(zhì),相應地,在等比數(shù)列中,若則有等式 成立. 【答案】 【解析】 對于等差數(shù)列,若有根據(jù)等差中項的知識,有0,所以必有N. 此時有即k=10. . 類似地:對于等比數(shù)列,若由等比中項的知識,有=. . k=9. . 課后作業(yè)夯基基礎鞏固1.下列表述正確的是( ) 歸納推理是由部分到整體的推理; 歸納推理是由一般到一般的推理; 演繹推理是由一般到特殊的推理; 類比推理是由特殊到一般的推理; 類比推理是由特殊到特殊的推理. A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】 歸納推理是由部分到整體的推理,演繹推理是由一般到特殊的推理,類比推理是由特殊到特殊的推理. 2.由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則: “mn=nm”類比得到“ab=ba”; “(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b) c=ac+bc”; “”類比得到“（ab）c=a（bc）”; “”類比得到“p0, a p=xpa=x”; “|=|m|n|”類比得到“| ab |=|a|b|”; “”類比得到“”. 以上式子中,類比得到的結論正確的個數(shù)是( ) A.1B.2 C.3D.4 【答案】 B 【解析】 正確;錯誤. 3.已知ABC中,求證:ab. 證明: a|AB|,則P點的軌跡為橢圓 B.由求出猜想出數(shù)列的前n項和的表達式 C.由圓的面積猜想出橢圓的面積S=ab D.以上均不正確 【答案】 B 【解析】 從猜想出數(shù)列的前n項和是從特殊到一般的推理,所以B是歸納推理. 6.如圖,橢圓中心在坐標原點,F為左焦點,當時,其離心率為此類橢圓被稱為“黃金橢圓”,類比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黃金雙曲線”中, . .而 .在等號兩邊同除以得. 7.觀察下列等式:,根據(jù)上述規(guī)律,第四個等式為 . 【答案】 或 【解析】 , 所以. 8.在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有一層,就一個球;第2、3、4、堆最底層(第一層)分別按如下圖所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù),則f(3)= ;f(n)= (答案用n表示). 【答案】 10 【解析】 f(1)=1,由題圖可得 f(2)=3+1=4 f(3)=6+3+1=10. f(4)=10+6+3+1=20. 可知,下一堆的球的個數(shù)是上一堆球的個數(shù)加上其第一層的球的個數(shù),而第一層的球的個數(shù)滿足1,3,6,10,其通項公式是. f(5)=f(4)+15, f(n)=f. . . 9.觀察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律,第五個等式應為 . 【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】 觀察等式左側(cè):第一行有1個數(shù)是1,第二行是3個連續(xù)自然數(shù)的和,第一個數(shù)是2,第三行是5個連續(xù)自然數(shù)的和,第一個數(shù)是3,第四行是7個連續(xù)自然數(shù)的和,第一個數(shù)是4,第5行應該是連續(xù)9個自然數(shù)的和,第一個數(shù)為5,第5行左側(cè):5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右側(cè):第一行1=1第二行9=3第三行25=5第四行49=7則第5行應為81=9 第五個等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 10.設等差數(shù)列的前n項和為則成等差數(shù)列.類比以上結論有:設等比數(shù)列的前n項積為則 , 成等比數(shù)列. 【答案】 【解析】 對于等比數(shù)列,通過類比,可得成等比數(shù)列. 11.已知等式:sin+; ; ;. 由此可歸納出對任意角度都成立的一個等式,并予以證明. 【證明】 歸納已知可得: )+sincos. 證明如下: sincos)+sincos) =sincossinsincossin =sincossincossin =sin. 等式成立. 12.已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P的位置無關的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明. 【解】 類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線上關于原點對稱的兩個點,點P是雙曲線上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在,并記為、時,那么與之積是與點P的位置無關的定值. 證明:設點M、P的坐標分別為(m,n)、(x,y), 則N(-m,-n). 因為點M(m,n)在已知雙曲線上, 所以.同理. 則定值). 13.已知等差數(shù)列的公差d=2,首項. (1)求數(shù)列的前n項和; (2)設求;并歸納出與的大小規(guī)律. 【解】 . 2n+3)-5, . . . 由此可知當時. 歸納猜想:當N時. 拓展延伸14.設N計算f(1),f(2),f(3),