5.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.(2019寶雞模擬)已知abcd的頂點(diǎn)a(-1,-2),b(3,-1),c(5,6),則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為.【解析】設(shè)d(x,y),由=得(4,1)=(5-x,6-y),即4=5-x,1=6-y,解得x=1,y=5.答案:(1,5)2.已知o為坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(2,3),=(4,-1),且=3,則|=.【解析】設(shè)p(x,y),由已知a(2,3),b(4,-1),由=3得x-2=12-3x,y-3=-3y-3,解得x=72,y=0,所以|=72.答案:721.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過(guò)程中,常利用“向量相等,則其坐標(biāo)相同”這一原則,通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.2.向量坐標(biāo)運(yùn)算的注意事項(xiàng)(1)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)形式相似,實(shí)質(zhì)不同.(2)向量坐標(biāo)形式的線性運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算.(3)向量平行與垂直的坐標(biāo)表達(dá)形式易混淆,需清楚結(jié)論推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)果,加以區(qū)分.【秒殺絕招】中點(diǎn)法解t1,設(shè)d(x,y),ac中點(diǎn)與bd中點(diǎn)相同,所以-1+5=x+3,-2+6=y-1,解得x=1,y=5.平面向量基本定理解t2,將,作為基底,則=3,即+=3(+),即=14(+3),所以|=14|+3|=72.考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用【典例】1.(2020鄭州模擬)如圖,在直角梯形abcd中,ab=2ad=2dc,e為bc邊上一點(diǎn),=3,f為ae的中點(diǎn),則=()a.23-13b.13-23c.-23+13d.-13+232.在abc中,點(diǎn)d在線段bc的延長(zhǎng)線上,且=3,點(diǎn)o在線段cd上(與點(diǎn)c,d不重合),若=x+(1-x)(xr),則x的取值范圍是()a.0,12b.0,13c.-12,0d.-13,0【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由“則=”及選項(xiàng),想到運(yùn)用平面向量基本定理,向量的代數(shù)運(yùn)算2設(shè)=,其中143,找到與x的關(guān)系再求解【解析】1.選c.如圖,取ab中點(diǎn)g,連接dg,cg,易知四邊形dcbg為平行四邊形,所以=-=-12,所以=+=+23=+23=23+23,所以=-=12-=12-=-23+13.2.選d.設(shè)=,其中143,則=+=+=+(-)=(1-) +.又=x+(1-x),不共線,所以x=1-13,0,即x的取值范圍是-13,0.平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.1.在abc中,p,q分別是ab,bc的三等分點(diǎn),且ap=13ab,bq=13bc,若=a,=b,則=()a.13a+13bb.-13a+13bc.13a-13bd.-13a-13b【解析】選a.由已知=+=23+13=23+13(-)=13+13=13a+13b.2.已知在abc中,點(diǎn)o滿足+=0,點(diǎn)p是oc上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),且=m+n,則m+n的取值范圍是.【解析】設(shè)= (01),由+=0,知=-(+),所以=-,由平面向量基本定理知,m+n=-2,所以m+n(-2,0).答案:(-2,0)考點(diǎn)三共線向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用命題精解讀1.考什么:(1)向量共線求參數(shù),含參數(shù)的綜合問(wèn)題等;(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想.2.怎么考:與向量共線,三角函數(shù),不等式等結(jié)合考查求點(diǎn)或向量坐標(biāo),參數(shù),最值等.學(xué)霸好方法1.已知向量共線求參數(shù)的方法:利用向量共線的充要條件得出關(guān)于參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.2.與共線向量的綜合問(wèn)題,其關(guān)鍵點(diǎn)是如何利用共線的條件.向量共線求參數(shù)【典例】1.(2018全國(guó)卷)已知向量a=1,2,b=2,-2,c=1,.若c2a+b,則=.【解析】因?yàn)?a+b=(4,2),c=(1,),且c(2a+b),所以4=21,解得=12.答案:122.已知向量a=(1,1),點(diǎn)a(3,0),點(diǎn)b為直線y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若a,則點(diǎn)b的坐標(biāo)為.【解析】設(shè)b(x,2x),則=(x-3,2x),因?yàn)閍,所以x-3-2x=0,解得x=-3,所以b(-3,-6).答案:(-3,-6)兩平面向量共線問(wèn)題涉及哪些定理公式?提示:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2-x2y1=0;(2)若ab(b0),則a=b.含參數(shù)的綜合問(wèn)題【典例】設(shè)向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,nr,o為坐標(biāo)原點(diǎn),若a,b,c三點(diǎn)共線,則m+n的最大值為 ()a.-3b.-2c.2d.3【解析】選a.易知,其中=-=(2m-1,1),=-=(-2n-1,2),所以(2m-1)2=1(-2n-1),得2m+1+2n=1.又2m+1+2n22m+n+1,所以2m+n+12-2,即m+n-3.兩平面向量共線問(wèn)題如何求解?提示:(1)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù).運(yùn)用公式a=b或x1y2-x2y1=0求解.(2)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.1.(2020臨汾模擬)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知a(1,0),b(0,1),c為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點(diǎn),且aoc=4,|oc|=2,若=+,則+=()a.22b.2c.2d.42【解析】選a.因?yàn)閨oc|=2,aoc=4,所以c(2,2),又因?yàn)?+,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=2,+=22.2.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且ab,若x,y均為正數(shù),則3x+2y的最小值是()a.24b.8c.83d.53【解析】選b.因?yàn)閍b,所以-2x-3(y-1)=0,化簡(jiǎn)得2x+3y=3,又因?yàn)閤,y均為正數(shù),所以3x+2y=3x+2y13(2x+3y)=136+9yx+4xy+61312+29yx4xy=8,當(dāng)且僅當(dāng)9yx=4xy時(shí),等號(hào)成立.所以3x+2y的最小值是8.1.(2020唐山模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中,p1(3,1),p2(-1,3),p1,p2,p3三點(diǎn)共線且向量與向量a=(1,-1)共線,若=+(1-),則=()a.-3b.3c.1d.-1【解析】選d.設(shè)=(x,y),則由a知x+y=0,所以=(x,-x).若=+(1-),則(x,-x)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),即4-1=x,3-2=-x,所以4-1+3-2=0,解得=-1.2.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為90,如圖所示,點(diǎn)c在以o為圓心的圓弧ab上運(yùn)動(dòng),若=x+y,其中x,yr,則x+y的最大值是()a.1b.2c.3d.2【解析】選b.方法一:設(shè)aoc=,則0,2.過(guò)點(diǎn)c作cdoa于d,ceob于e,則四邊形odce是平行四邊形,所以=+,又=x+y.所以x=cos ,y=sin ,所以x+y=cos