平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo) 1。理解平面向量基本定理的內(nèi)容，理解基于向量的集合的意義。2.在平面內(nèi)選取一組基準(zhǔn)面后，將使用這組基準(zhǔn)面表示其他向量。3.應(yīng)用平面向量基本定理解決平面向量的綜合問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)平面向量基本定理(1)定理：如果E1，E2是不在同一平面內(nèi)共線(xiàn)的兩個(gè)矢量，則此平面內(nèi)的任意矢量a只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，而a=1 E12。(2)基底：非共線(xiàn)向量E1，E2稱(chēng)為基底集合，表示此平面內(nèi)的所有向量。如圖所示，E1，E2是兩個(gè)非共線(xiàn)矢量，E1，E2表示矢量，a答案可以通過(guò)觀察得到：=2e1 3e2，=-E1 4e2，=4e1-4e2，=-2e1 5e2，=2e1-5e2，a=-2e1。知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)向量的角度和垂直(1)夾角：如果您知道兩個(gè)非零向量a和b，例如圖=a，=b，則AOB=(0180)稱(chēng)為向量a和b之間的角度。范圍：矢量a和b之間的角度范圍為0，180。 =0時(shí)，a與b方向相同。 =180時(shí)，a和b相反。(2)垂直：如果a和b之間的角度為90，則a與b垂直，記錄為ab。請(qǐng)?jiān)诘冗吶切蜛BC中寫(xiě)出以下矢量的夾角。、回答和的角度是60。 120之間的角度；夾角為60。與的角度為180?；玖私鈫?wèn)題類(lèi)型的矢量對(duì)范例1 E1，E2是平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)向量時(shí)，以下描述不正確_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。 E1 E2 (，/r)可表示平面內(nèi)的所有矢量；平面內(nèi)所有矢量a的a= E1 E2的實(shí)數(shù)對(duì)(，)是無(wú)限的。如果矢量 1 E1 1e 2和 2e 1 2e 2共線(xiàn)， 1 E1 1e 2= ( 2e 1 2e 2)只有一個(gè)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)，為 E1 E2=0時(shí)=0。答案 分析可以通過(guò)平面矢量的基本定理知道。那是正確的。從平面向量的基本定理可以看出，一個(gè)平面的基準(zhǔn)確定后，其基底上任意向量的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的。情況下，當(dāng)兩個(gè)矢量的系數(shù)都為0時(shí)，即 1= 2= 1= 2=0時(shí)，這樣的有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。追蹤訓(xùn)練1是E1，E2不是共線(xiàn)的兩個(gè)向量，給出了以下四組向量：e1和E1 E2 E1-2e 2和E2-2e 1； E1-2e2和4e2-2e 1； E1 E2和E1-E2。其中基底組的序號(hào)可以是平面內(nèi)的所有向量_ _ _ _ _ _ _ _。(記錄滿(mǎn)足條件的所有序號(hào))答案 4e2-2e1=-2e1 4e2的分析=-2 (E1-2e2)，E1-2e2與4e2-2e1共線(xiàn)，不能用作基準(zhǔn)。問(wèn)題2以基座表示向量示例2如圖所示，在“-ABCD”中，e，f分別是BC，DC邊的中點(diǎn)，=a，=b表示a，b是缺省值，解決方案/四邊形ABCD是平行四邊形，e，f分別是BC，DC邊的中點(diǎn)。875=2，=2，=b，=-=-a=-=-b a b=a-b，=b-a途徑培訓(xùn)2圖，已知ABC中，d是BC的中點(diǎn)，e，f是BC的三等分點(diǎn)，例如=a，=b，a，b，解決方案=a(B- a)=a b；=a(B- a)=a b；=a (b-a)=a b問(wèn)題類(lèi)型3向量角度問(wèn)題示例3已知的| a |=| b |=2，a和b之間的角度為60，a b和a的角度為，a和a的角度為， 。圖=a、=b和/AOB=60，以O(shè)A，OB為鄰居，創(chuàng)建了“Rick OACB”，=a b，=-=a-b，=a| a |=| b |=2，因此OAB是正三角形。所以O(shè)AB=60=ABC，A-b和a之間的角度=60。平行四邊形OACB是鉆石，因?yàn)閨 a |=| b |。所以oc ab，也就是coa=90-60=30，A b和a之間的角度=30，所以 =90。追蹤訓(xùn)練3尋找與a0、b0和| a |=| b | | a-b |、a b的角度。A b由向量運(yùn)算的幾何意義知道，a-b是以a，b為鄰居的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)。圖，| a |=| b |=| a-b |，寶兒=60。菱形=從a+b到/a b，對(duì)角OC平分BOA，與a b的角度為30。問(wèn)題4平面向量基本定理的應(yīng)用在OAB中，=a，=b，=b，點(diǎn)m是AB中接近b的三等分點(diǎn)，點(diǎn)n是OA中接近a的四等分點(diǎn)之一，如圖4所示。OM和BN與點(diǎn)p相交。解決方案=(-)=a b，因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以可以設(shè)定=t=a b。您可以設(shè)定共線(xiàn)且=s、=s=s (-)=(1-s) a sb，所以解開(kāi)了所以=a b軌跡訓(xùn)練4如圖所示，在ABC中，點(diǎn)m是AB的中點(diǎn)，=，BN在e與CM相交。設(shè)定=a，=b，測(cè)試基準(zhǔn)a，b表示向量。輕松解決方案=b，=a，n，e，b在三點(diǎn)共線(xiàn)且具有實(shí)數(shù)m的情況下滿(mǎn)足=m (1-m)=m b (1-m) a .符合實(shí)數(shù)n:=n(1-n)=na(1-n)b因此，m b (1-m) a=na (1-n) b，因?yàn)閍，b是基數(shù)所以=a b矢量角度的概念不明確。范例5已知為=2a，=2b，=-a 3b，以取得向量的夾角。無(wú)效解釋為：=-=2a-2b，=-=(-a 3b)-2b=-a b，顯然=-2，由于與可見(jiàn)共線(xiàn)，因此兩者之間的角度為零。當(dāng)兩個(gè)向量共線(xiàn)且相互共線(xiàn)時(shí)，如果兩個(gè)向量之間的角度為0，兩個(gè)向量反轉(zhuǎn)并共線(xiàn)，則兩個(gè)向量之間角度為180的向量共線(xiàn)時(shí)，上述回答無(wú)法識(shí)別此問(wèn)題，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。正解決方案為，=-=2a-2b，=-=(-a 3b)-2b=-a B。顯然，=-2，與可見(jiàn)共線(xiàn)，翻轉(zhuǎn)線(xiàn)，因此之間的角度為180。1.如果將E1，E2設(shè)定為平面中所有向量的預(yù)設(shè)集，則無(wú)法將E1，E2用作以下四組向量的預(yù)設(shè)集()A.E1 E2和E1-e2b.3e1-4e2和6e1-8e2C.E1 2e2和2e1 e2d.e1和E1 E22.如圖所示，如果顯示為=a、=b、=3、a、b，則等于()A.a b.a bC.a b D. a b3.在直角三角形ABC中，BAC=30時(shí)，與的角度等于()A.30b.60C.120d.1504.向量m=2a-3b，n=4a-2b，p=3a 2b，評(píng)估版m，n為p，p=_ _ _ _ _ _ _ _。5.如圖所示，在已知梯形ABCD中，ABCD、ab=2cd、e和f分別是DC、AB的中間點(diǎn)，=a，=b，評(píng)估版a、b是基本表示法，一、選擇題1.以下關(guān)于基板的聲明是正確的()平面上不共線(xiàn)的兩個(gè)矢量可以用作一組基準(zhǔn)。基板的矢量可以是0矢量。平面內(nèi)的基礎(chǔ)確定后，該平面內(nèi)的向量對(duì)于基礎(chǔ)的線(xiàn)性分解形式是唯一確定的。A. B. C. D. 2.如圖所示，在矩形ABCD中，=5 E1，=3e2等于()A.(5 E1 3e 2) B. (5 E1-3e 2)C.(3e 2-5 E1) D. (5e 2-3e 1)3.在圖中，e，f分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF和AC在點(diǎn)g處劃分，如果=a，=b，則表示a，b等于()A.a b.a bC.a-b D. a b4.如果集矢量E1和E2是3xe1 (10-y) E2=(4y-7) E1 2xe2，則實(shí)數(shù)y的值為()A.3 b.4 C.-D.-5.如果d點(diǎn)位于三角形ABC的邊BC上，=4=r s，則3r s的值為()A.b.c.d二、填空6.已知E1，E2不共線(xiàn)，a=E1 2e2，b=2e 1 E2，若要啟用平面中的a，b做為基準(zhǔn)集，實(shí)數(shù)的值范圍為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _。7.例如，在四邊形ABCD中，如果AC和BD在點(diǎn)o相交，=a、=b和=2，則=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(顯示為a和b)。8.| a |=| b |=| a-b |=r (r0)時(shí)，a和b之間的角度為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _。9.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，e和f分別是邊四邊形CD和BC的中點(diǎn)，= ，其中/r表示 =_ _ _ _ _ _ _ _。10.設(shè)定d，e分別設(shè)定ABC的邊AB、BC的點(diǎn)、ad=ab、be=BC，并且= 1 2 ( 1，2為實(shí)數(shù)時(shí)， 1 2的值為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _)第三，解決問(wèn)題11.判斷以下命題的錯(cuò)誤并說(shuō)明原因。(1)如果ae1 be2=ce1 de2 (a，b，c，d/r)，則a=c，b=d；(2)如果E1和E2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基礎(chǔ)，則平面內(nèi)的所有向量都可以表示為E1 E2，E1-E2。12.在圖解中，平面包含3個(gè)向量：到120的角度，到30的角度，以及| |=|=1，| |=2。 (，/r)，尋找值。13.已知單位圓o的兩點(diǎn)a、b和具有單位圓的平面中的點(diǎn)p不共線(xiàn)。(1)在OAB中，點(diǎn)p位于AB中，=2，對(duì)于r s，我們得到r s的值。(2)P滿(mǎn)足=m (m是常數(shù))當(dāng)四邊形OABP是平行四邊形時(shí)，取得m的值。黨會(huì)檢測(cè)答案1.回應(yīng)b在分析b中，-6 E1-8e 2=2(3e 1-4e 2)，6 E1-8e2-(3e1-4e2)、3e1-4e2和6e1-8e2不能用作基準(zhǔn)。2.回應(yīng)b語(yǔ)法分析=(-)=a b3.回答d分析由矢量角度定義，角度為150。4.回答-m n語(yǔ)法分析p=XM yn，3a 2b=x(2a-3b)y(4a-2b)=(2x 4y)a(-3x-2y)b，是的5.連接FD、DC 8直流在線(xiàn)FB。四邊形DCBF是平行四邊形。標(biāo)題，=b，=-=-=a-b，=-=-=-=-(a-b)-b=b-a .上課時(shí)間批改答案一、選擇題1.回答c錯(cuò)，正確，因?yàn)榱闶噶颗c任意矢量共線(xiàn)，所以零矢量不能成為基板的矢量。2.回答a分析=(-)=(5 E1 3e2)。3.回答d易于理解的分析=，=。設(shè)定=，可以通過(guò)平行四邊形法則得到。= ()=2 2 ，如果e，g，f 3點(diǎn)共線(xiàn)，則2 2 =1，=，因此=，因此=(a b)。4.回答b3xe1 (10-y) E2=(4y-7) E1 2xe2，因此，(3x-4y 7) E1 (10-y-2x) E2=0，您可以選取b，因?yàn)镋1和E2是平面中所有向量的預(yù)設(shè)集。5.回答c分析=4=r s，=(-)=r s，r=，s=-。3r s=-=。二、填空6.答案(-，4) (4，)如果分析可以作為平面內(nèi)的一組基準(zhǔn)進(jìn)行操作，則a和b不共線(xiàn)。A=E1 2e2，b=2e 1 E2，在Akb中得到4。7.回答a b解析設(shè)定=，()=()=。 =1，因此=，所以=a B8.回答60解釋為：=a，=b表示=a-b，| AOB是a和b之間的角度，| a |=| b |=| a-b |已知如果AOB是等邊三角形，| AOB=60。9.答案分析設(shè)置=a，=b，A b，=a b，另外，/a b，=()，即=，=。10.答案語(yǔ)法分析知道=(-)=-。所以 1 2=。第三，解決問(wèn)題11.解(1)在E1和E2共線(xiàn)時(shí)，結(jié)論不一定成立。(2)假設(shè)正確且E1 E2與E1-E2共線(xiàn)，則存在E1 E2= (E1-E2)，即(1-) E1=-(1 ) E2。1-和1 不同時(shí)為0，因此E1與E2共線(xiàn)，E1和E2不共線(xiàn)。因此，E1 E2與E1-E2不共線(xiàn)，因此平面中的所有矢量都