球的接切問(wèn)題1.正方體的外接球、內(nèi)切球和棱切球【例3】 有三個(gè)球和一個(gè)正方體,第一個(gè)球與正方體各個(gè)面內(nèi)切,第二個(gè)球與正方體各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)正方體各頂點(diǎn),則三個(gè)球面積之比為 【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則有內(nèi)切球半徑;棱切球其直徑為正方體各面上的對(duì)角線長(zhǎng),則有;外接球直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng),有,所以面積之比為.【評(píng)注】 正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，如圖所示設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則內(nèi)切球半徑|OJ|r；正方體的棱切球：|GO|Ra；正方體的外接球：則|A1O|Ra.用構(gòu)造法易知：棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球半徑為.【變式1】構(gòu)建正方體求解三棱錐有關(guān)問(wèn)題 若正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為 .1.【解析】設(shè)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，納入正方體中易知外接球半徑為體積，內(nèi)切球球心將正三棱錐分成四個(gè)高為內(nèi)切球半徑的三棱錐，則.【變式2】構(gòu)建正方體利用等積法求點(diǎn)到面的距離 已知正三棱錐PABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的球面上若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為_2.【解析】由已知條件可知，以PA，PB，PC為棱可以補(bǔ)充成球的內(nèi)接正方體，故而PA2PB2PC22，由已知PAPBPC, 得到PAPBPC2, VPABCVAPBChSABCPASPBC, 得到h，故而球心到截面ABC的距離為Rh.【變式3】構(gòu)建正方體求解正四面體的外接球的體積 已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，則該三棱錐外接球的體積是_.3. 【解析】如圖構(gòu)造正方體，則三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，該正方體的棱長(zhǎng)為，三棱錐的外接球半徑：R=.故所求.【變式4】通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化求解正方體的內(nèi)切球的截面圓面積 如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為() A. B.C. D.4.A【解析】：根據(jù)正方體的幾何特征知，平面ACD1是邊長(zhǎng)為的正三角形，且球與以點(diǎn)D為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形ACD1三邊的中點(diǎn)，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，由圖得ACD1內(nèi)切圓的半徑是tan30，故所求的截面圓的面積是. 2.長(zhǎng)方體的外接球【例4】 (2013遼寧) 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為 【解析】ABAC，且AA1底面ABC，將直三棱柱補(bǔ)成內(nèi)接于球的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線l 2R，R.【評(píng)注】利用底面為直角三角形的直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體求外接球半徑,長(zhǎng)方體的模型可以使抽象問(wèn)題具體化. 【變式1】利用三棱兩兩垂直的四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體求解在四面體中，AB，AC，AD兩兩垂直，AB=,AD=2,AC=，則該四面體外接球的表面積為 1. 【解析】由球的對(duì)稱性及兩兩垂直可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,長(zhǎng)方體的對(duì)稱中心即為球心, ， . 【變式2】如圖，在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且，分別經(jīng)過(guò)三條棱作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，則的大小關(guān)系為_2.【解析】 由題意兩兩垂直，可將其放置在以為一頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體中，設(shè)三邊分別為，從而易得，又，即同理，用平方后作差法可得【變式3】利用特殊的四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體求解 已知點(diǎn)是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2正方形.若,則OAB的面積為 3.【解析】點(diǎn)是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD， 點(diǎn)為球O內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，球心O為長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn).OAB的面積是該長(zhǎng)方體對(duì)角面面積的. ，,.【變式4】利用半球的內(nèi)接正方體補(bǔ)成球的長(zhǎng)方體求解半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為()A.6 B2 C2 D5124.B【解析】 將半球補(bǔ)成整個(gè)球，同時(shí)把原半球的內(nèi)接正方體再補(bǔ)接一個(gè)同樣的正方體，構(gòu)成的長(zhǎng)方體恰好是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是它的外接球的直徑設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則(2R)2a2a2(2a)2，即Ra.V半球R3a3，V正方體a3.V半球V正方體a3a32. 【變式5】利用半球的內(nèi)接三棱柱運(yùn)用截面圓性質(zhì)求解(2015唐山統(tǒng)考)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，ABAC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為()A2 B1 C. D.5.C.【解析】由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，BAC90，ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn)，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中心設(shè)正方形BCC1B1的邊長(zhǎng)為x，RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R為球的半徑)，221，即x，則ABAC1，1.3.正四面體的外接球和內(nèi)切球【例5】 正四面體的內(nèi)切球、與棱相切的球、外接球的三類球的半徑比為 【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，外接球和內(nèi)切球半徑依次為， 由正四面體三個(gè)球心重合及其特征， 則正四面體的高,其體積為,另一面,則內(nèi)切球和外接球的半徑比1：3，其和為正四面體的高， 而與棱相切的球直徑為對(duì)棱的距離，則內(nèi)切球、與各棱都相切的球、外接球的半徑之比為 .【變式1】利用正四面補(bǔ)成正方體求解體積 正四面體ABCD的外接球的體積為，則正四面體ABCD的體積是_. 1. .【解析】由于外接球的體積為，故其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為2，故正方體體積為8，正四面體的體積為.【變式2】利用正四面體的高與外接球半徑的關(guān)系求球的表面積 正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且正四面體的高為4，則這個(gè)球的表面積是_ 2.36【解析】正四面體的外接球半徑R為其高的，且正四面體的高為4，則R3 ，S4R236.【變式2】利用正四面體補(bǔ)成正方體求解的球心角 半徑為1的球面上的四點(diǎn)是正四面體的頂點(diǎn)，則與兩點(diǎn)與球心連線的夾角余弦值為 2.【解析】設(shè)正四面體棱長(zhǎng)，將其納入正方體中,其正方體棱長(zhǎng)a，所求角為對(duì)角面內(nèi)兩條對(duì)角線的夾角為，AP=BP=，由余弦定理.【變式3】利用正四面體補(bǔ)成正方體求異面直線所成的角 如圖，正四面體A-BCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，則EF與CD所成的角等于 （ ）A45 B90 C60 D30 3.A 【解析】如圖，將正四面體補(bǔ)形為正方體，答案就脫口而出，應(yīng)該選A.【變式4】利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)確定折疊四面體的外接球球心 (2015山西四校聯(lián)考)將長(zhǎng)、寬分別為4和3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到四面體ABCD，則四面體ABCD的外接球的體積為_4. 【解析】 設(shè)AC與BD相交于O，折起來(lái)后仍然有OAOBOCOD，外接球的半徑r，從而體積V3.【變式5】(2015云南一模)一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_5 【解析】 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，則V圓錐a2aa3；又R2a2(aR)2，所以Ra，故 V球3a3，則其體積比為.【變式6】利用正六棱柱的對(duì)稱性求外接球的體積 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為 6. 【解析】因?yàn)樵摿庵捻旤c(diǎn)都在同一個(gè)球面六棱柱的體積，底面周長(zhǎng)為3，由，可得到正六棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，注意球心的特殊位置，則半徑 則球體積為；【變式7】利用球的截面性質(zhì)求球的內(nèi)接四棱錐的體積 (2015屆河北月考)已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 7.【解析】如圖所示，垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為，連接，則在中，