第 1頁（共 21頁） 第 11 章 三角形 一、填空題 1在 A=40 ， B= C，則 C= 2小華要從長度分別為 561116么他選的三根木棒的長度分別是： ， ， （單位： 3如果等腰三角形的一個底角是 40 ，它的頂角是 4三角形的一邊為 5邊為 7第三邊的取值范圍是 5 A=35 ， B=65 ，則 C= ；若 A=120 ， B=2 C，則 C= 6三角形三個內角中 ，最多有 個直角，最多有 個鈍角，最多有 個銳角，至少有 個銳角 7三角形按角的不同分類，可分為 三角形， 三角形和 三角形 8一個三角形三個內角度數(shù)的比是 2： 3： 4，那么這個三角形是 三角形 9在 A B=36 ， C=2 B，則 A= ， B= ， C= 10若 A+ B= C，則此三角形是 三角形 11已知等腰三角形的兩個內角的度數(shù)之比為 1： 2，則這個等腰三角形的頂角為 12已知 當它的兩個邊長分別為 8的周長為 ； 如果它的一邊長為 4邊的長為 6周長為 二、判斷題 13有一個角是鈍角的三角形就是鈍角三角形 （判斷對錯） 14一個等腰三角形的頂角是 80 ，它的兩個底角都是 60 （判斷對錯） 15兩個內角和是 90 的三角形是直角三角形 （判斷對錯） 16一個三角形最多只能有一個鈍角或一個直角 （判斷對錯） 17在銳角三角形中，任意的兩個銳角之和一定要大于 90 （判斷對錯） 18一個三角形，已知兩個內角分別是 85 和 25 ，這個 三角形一定是鈍角三角形 （判斷對錯） 三、選擇題 第 2頁（共 21頁） 19如果三角形的三個內角的度數(shù)比是 2： 3： 4，則它是（ ） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D鈍角或直角三角形 20下列說法正確的是（ ） A三角形的內角中最多有一個銳角 B三角形的內角中最多有兩個銳角 C三角形的內角中最多有一個直角 D三角形的內角都大于 60 21已知 A=2（ B+ C），則 ） A 100 B 120 C 140 D 160 22已知三角形兩個內角的差等 于第三個內角，則它是（ ） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D等邊三角形 23等腰三角形的底邊 |2腰長 ） A 10 10 6 84在下列長度的四根木棒中，能與 49 ） A 4 5 9 135已知 A， B， B+ C=3 A，則此三角形（ ） A一定有一個內角為 45 B一定有一個內角為 60 C一定是直角三角形 D一定是鈍角三角形 26在下列條件中： A+ B= C， A： B： C=1： 2： 3， A=90 B， A= B= 確定 ） A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 27已知三角形的三邊分別為 2， a， 4，那么 ） A 1 a 5 B 2 a 6 C 3 a 7 D 4 a 6 28在 A= B= C，則此三角形是（ ） A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形 四、解答題 29如圖， E，要使 需添加一個條件 第 3頁（共 21頁） （ 1）給出下列四個條件： ED 你從中選出一個能使 給出證明； 你選出的條件是 證明： 30如圖，在 足分別是 E、 F， F （ 1）圖中有幾對全等的三角形請一一列出； （ 2）選擇一對你認為全等的三角形進行證明 31如圖所示， D， E， 1= 2，求證： 32如圖， F， ，求證： 分 33如圖，已知 A= B， 點 E求證： B 第 4頁（共 21頁） 34如圖， D求證： C 第 5頁（共 21頁） 第 11 章 三角形 參考答案與試題解析 一、填空題 1在 A=40 ， B= C，則 C= 70 【考點】三角形內角和定理 【分析】由三角形的內角和定理直接列式計算 ，即可解決問題 【解答】解： A+ B+ C=180 ，且 A=40 ， B= C， C=（ 180 40 ） 2=70 ， 故答案為 70 【點評】該題主要考查了三角形的內角和定理及其應用問題；靈活運用是解題的關鍵 2小華要從長度分別為 561116么他選的三根木棒的長度分別是： 6 ， 11 ， 16 （單位： 【考點】三角形三邊關系 【分析】首先得到每三根組合的情況，再根據(jù)三角形的三邊關系進行判斷 【解答】解：每三 根組合，有 5， 6， 11； 5， 6， 16； 11， 16， 5； 11， 6， 16四種情況 根據(jù)三角形的三邊關系，得其中只有 11， 6， 16能組成三角形 【點評】此題要特別注意看是否符合三角形的三邊關系 3如果等腰三角形的一個底角是 40 ，它的頂角是 100 【考點】等腰三角形的性質 【分析】等腰三角形的兩個底角相等，根據(jù)三角形的內角和即可解決問題 【解答】解： 180 40 2=100 ， 答：頂角是 100 故答案為： 100 【點評】此題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和的應用，解答此題的 關鍵：根據(jù)三角形的內角和、等腰三角形的兩底角和頂角三個量之間的關系進行解答即可 第 6頁（共 21頁） 4三角形的一邊為 5邊為 7第三邊的取值范圍是 212 【考點】三角形三邊關系 【分析】設第三邊長為 由三角形三邊關系即可得出結論 【解答】解：設第三邊長為 三角形的一邊為 5邊為 7 7 5 x 7+5，即 2 x 12 故答案為： 212 【點評】本題考查的是三角形的三邊關系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊 是解答此題的關鍵 5 A=35 ， B=65 ，則 C= 80 ；若 A=120 ， B=2 C，則 C= 20 【考點】三角形內角和定理 【分析】根據(jù)三角形內角和定理，求得 B+ C=60 ，進而得出 【解答】解： A=35 ， B=65 ， C=180 35 65=80 ； A=120 ， B+ C=60 ， 又 B=2 C， C=20 故答案為： 80 ， 20 【點評】本題主要考查了三角形內角和定理的運 用，解題時注意：三角形內角和是 180 6三角形三個內角中，最多有 1 個直角，最多有 1 個鈍角，最多有 3 個銳角，至少有 2 個銳角 【考點】三角形內角和定理 【分析】依據(jù)三角形的內角和是 180度，假設一個三角形中可以有多于 1個的鈍角或直角，則會得出違背三角形內角和是 180 度的結論，假設不成立，從而可以得出一個三角形中最多有 1個鈍角或直角，如果一個三角形中只有 1個銳角，也就是出現(xiàn) 2個或 3個直角，再加上第三個角，那么三角形的內角和就大于 180 ，也不符合三角形內角和是 180 第 7頁（共 21頁） 【解答】解： 因為三角形的內角和等于 180 ， 所以在三角形內角中，最多有 1個直角；最多有 1個鈍角，最多有 3個銳角，至少有 2個銳角 故答案為： 1， 1， 3， 2 【點評】本題主要考查了三角形內角和定理，屬于基礎題，關鍵是掌握三角形內角和為 180度 7三角形按角的不同分類，可分為 銳角 三角形， 直角 三角形和 鈍角 三角形 【考點】三角形 【分析】根據(jù)三角形的分類方法進行填空即可 【解答】解：三角形按角的不同分類，可分為銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形 故答案為：銳角；直角；鈍角 【點評】此題主要考查了 三角形，關鍵是掌握三角形分類一種是按邊分類，一種是按角分類 8一個三角形三個內角度數(shù)的比是 2： 3： 4，那么這個三角形是 銳角 三角形 【考點】三角形內角和定理 【專題】計算題 【分析】已知三角形三個內角的度數(shù)之比，可以設一份為 k ，根據(jù)三角形的內角和等于 180 列方程求三個內角的度數(shù)，從而確定三角形的形狀 【解答】解：設一份為 k ，則三個內角的度數(shù)分別為 2k ， 3k ， 4k 則 2k +3k +4k=180 ， 解得 k=20 ， 2k=40 ， 3k=60 ， 4k=80 ， 所以 這個三角形是銳角三角形 故答案是：銳角 【點評】本題主要考查了內角和定理解答此類題利用三角形內角和定理列方程求解可簡化計算 9在 A B=36 ， C=2 B，則 A= 72 ， B= 36 ， C= 72 【考點】三角形內角和定理 【分析】根據(jù)三角形的內角和定理可得出 A+ B+ C=180 ，再與 A B=36 ， C=2 B，聯(lián)立列出方程組，即可求得答案 第 8頁（共 21頁） 【解答】解：由題意得 ， 解得 ， 故答案為 72 ， 36 ， 72 【點評】本題考查了三角形的內角和定理，解題的關鍵是利用三角形內角和定理和已知條件列方程組求解計算 10若 A+ B= C，則此三角形是 直角 三角形 【考點】三角形內角和定理 【分析】由三角形內角和定理和直角三角形的判定可知 【解答】解： A+ B+ C=2 C=180 ， C=90 ， 此三角形是直角三角形 【點評】本題考查了三角形內角和定理三角形的內角和是 180 11已知等腰三角形的兩 個內角的度數(shù)之比為 1： 2，則這個等腰三角形的頂角為 36 或 90 【考點】等腰三角形的性質；三角形內角和定理 【分析】先可求出兩角，然后分兩種情況：頂角與底角的度數(shù)比是 1： 2或底角與頂角的度數(shù)比是 1：2根據(jù)三角形的內角和定理就可求解 【解答】解：當頂角與底角的度數(shù)比是 1： 2時，則等腰三角形的頂角是 180 =36 ； 當?shù)捉桥c頂角的度數(shù)比是 1： 2時，則等腰三角形的頂角是 180 =90 即該等腰三角形的頂角為 36 或 90 故填 36 或 90 【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵 第 9頁（共 21頁） 12已知 當它的兩個邊長分別為 8的周長為 19 如果它的一邊長為 4邊的長為 6周長為 146 【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系 【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長，而沒有明確腰、底分別是多少，所 以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形 【解答】解： 當腰長為 8邊是 883合三角形的三邊關系，此時周長是 19 當腰長為 3角形的三邊是 833為 3+3 8，應舍去 當腰長為 4角形的三邊是 446合三角形的三邊關系，此時周長是 14 當腰長為 6角形的三邊是 664合三角形的三邊關系，此時周長是 16 故答案為： 19146 【點評】本題考查了等 腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵 二、判斷題 13有一個角是鈍角的三角形就是鈍角三角形 （判斷對錯） 【考點】三角形 【分析】根據(jù)三角形的分類：有一個角是鈍角的三角形，叫鈍角三角形；進行解答即可 【解答】解：根據(jù)鈍角三角形的定義可知：有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形； 所以 “ 有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形 ” 的說法是正確的 故答案為： 【點評】此題 考查了根據(jù)角對三角形分類的方法：三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形 14一個等腰三角形的頂角是 80 ，它的兩個底角都是 60 （判斷對錯） 【考點】等腰三角形的性質 【分析】三角形的內角和是 180 ，等腰三角形的兩個底角相等，先用 “180 80” 求出兩個底角的度數(shù)和，然后除以 2進行解答即可 【解答】解：（ 180 80 ） 2， =100 2， 第 10頁（共 21頁） =50 ； 它的一個底角度數(shù)是 50 ； 故錯， 故答案為： 【 點評】此題考查等腰三角形的性質，解答此題的關鍵：根據(jù)三角形的內角和、等腰三角形的兩底角和頂角三個量之間的關系進行解答即可 15兩個內角和是 90 的三角形是直角三角形 對 （判斷對錯） 【考點】三角形 【分析】根據(jù)三角形內角和為 180 可得兩個內角和是 90 的三角形，第三個角是 90 ，是直角三角形 【解答】解：兩個內角和是 90 的三角形是直角三角形，說法正確； 故答案為：對 【點評】此題主要考查了三角形，關鍵是掌握三角形內角和為 180 16一個三角形最多只能有一個鈍角或一個直角 正確 （判斷對錯） 【考點】三角形 【分析】這個結論正確，可以利用反證法證明 【解答】解：一個三角形最多只能有一個鈍角或一個直角 理由：假如一個三角形有兩個鈍角或兩個直角，那么這個三角形的內角和大于 180 ， 這與三角形內角和為 180 矛盾， 所以假設不成立， 所以一個三角形最多只能有一個鈍角或一個直角 故答案為正確 【點評】本題考查三角形，三角形的內角和、反證法等知識，解題的關鍵是靈活運用三角形內角和定理，屬于中考?？碱}型 17在銳角三角形中，任意的兩個銳角之和一定要大于 90 正確 （判斷對錯） 【考點】三角形 【分析】這個結論是正確的，可以用反證法證明 第 11頁（共 21頁） 【解答】解：這個結論是正確的 假如兩個銳角之和小于等于 90，那么第三個角是 90 或鈍角，這個三角形是鈍角三角形，與已知條件矛盾， 所以假設不成立，故在銳角三角形中，任意的兩個銳角之和一定要大于 90 【點評】本題考查三角形內角和定理，反證法等知識，解題的關鍵是學會利用反證法證明，屬于中考?？碱}型 18一個三角形，已知兩個內角分別是 85 和 25 ，這個三角形一定是鈍角三角形 錯 （判斷對錯） 【考點】三角形內角和定理 【分析】根據(jù)三角形內角和定理，求得第三個內角，進而判定三角形的形狀 【解答】解： 一個三角形的兩個內角分別是 85 和 25 ， 第三個內角為 70 ， 這個三角形一定是銳角三角形 故答案為：錯 【點評】本題主要考查了三角形內角和定理的運用，解決問題的關鍵是掌握：三角形內角和是 180 三、選擇題 19如果三角形的三個內角的度數(shù)比是 2： 3： 4，則它是（ ） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D鈍角或直角三角形 【考點】三角形內角和定理 【分析】利用 “ 設 求出最大角的度數(shù) ，然后作出判斷即可 【解答】解：設三個內角分別為 2k、 3k、 4k， 則 2k+3k+4k=180 ， 解得 k=20 ， 所以，最大的角為 4 20=80 ， 所以，三角形是銳角三角形 故選 A 【點評】本題考查了三角形的內角和定理，利用 “ 設 表示出三個內角求解更加簡便 第 12頁（共 21頁） 20下列說法正確的是（ ） A三角形的內角中最多有一個銳角 B三角形的內角中最多有兩個銳角 C三角形的內角中最多有一個直角 D三角形的內角都大于 60 【考點】三角形內角和定理 【專題】探究型 【分析】根據(jù)三角形內 角和定理對各選項進行逐一分析即可 【解答】解： A、直角三角形中有兩個銳角，故本選項錯誤； B、等邊三角形的三個角都是銳角，故本選項錯誤； C、三角形的內角中最多有一個直角，故本選項正確； D、若三角形的內角都大于 60 ，則三個內角的和大于 180 ，這樣的三角形不存在，故本選項錯誤 故選 C 【點評】本題考查的是三角形內角和定理，即三角形內角和是 180 21已知 A=2（ B+ C），則 ） A 100 B 120 C 140 D 160 【考點】三角形內角和 定理 【分析】根據(jù)三角形的內角和定理和已知條件即可得到 而求解 【解答】解： A=2（ B+ C）， A+ B+ C=180 ， A+ A=180 ， A=120 故選 B 【點評】此題考查了三角形的內角和定理 22已知三角形兩個內角的差等于第三個內角，則它是（ ） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D等邊三角形 【考點】三角形內角和定理 第 13頁（共 21頁） 【分析】設三角形三個內角分別為 A、 B、 C，且 A B= C，則 B+ C= A，根據(jù)三角形內角和定理得到 A+ B+ C=180 ，于是可計算出 A=90 ，由此可判斷三角形為直角三角形 【解答】解：設三角形三個內角分別為 A、 B、 C，且 A B= C，則 B+ C= A， A+ B+ C=180 ， A+ A=180 ， A=90 ， 這個三角形為直角三角形 故選 C 【點評】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是 180 利用三角形內角和可直接根據(jù)兩已知角求第三個角或依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角，也可在直角三角形 中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角 23等腰三角形的底邊 |2腰長 ） A 10 10 6 8考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系 【分析】根據(jù)絕對值的性質求出 【解答】解： |2 C=2 2+8） 8 2） 10 故選 A 【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，熟 知 “ 等腰三角形的兩腰相等 ” 是解答此題的關鍵 24在下列長度的四根木棒中，能與 49 ） A 4 5 9 13考點】三角形三邊關系 【分析】易得第三邊的取值范圍，看選項中哪個在范圍內即可 【解答】解：設第三邊為 c，則 9+4 c 9 4，即 13 c 5只有 9符合要求 故選 C 【點評】已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和 第 14頁（共 21頁） 25已知 A， B， B+ C=3 A，則此三角形（ ） A一定有一個內角為 45 B一定有一個內角為 60 C一定是直角三角形 D一定是鈍角三角形 【考點】三角形內角和定理 【分析】由三角形內角和定理知 【解答】解： B+ C+ A=180 ， B+ C=3 A， B+ C+ A=4 A=180 ， A=45 故選 A 【點評】本題利用了三角形內角和為 180 求解 26在下列條件中： A+ B= C， A： B： C=1： 2： 3， A=90 B， A= B= 確定 ） A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 【考點】三角形內角和定理 【分析】根據(jù)三角形的內角和定理得出 A+ B+ C=180 ，再根據(jù)已知的條件逐個求出 可得出答案 【解答】解： A+ B= C， A+ B+ C=180 ， 2 C=180 ， C=90 ， 正確； A： B： C=1： 2： 3， A+ B+ C=180 ， C= 180=90 ， 正確； A=90 B， A+ B=90 ， A+ B+ C=180 ， C=90 ， 第 15頁（共 21頁） 正確； A= B= C， C=2 A=2 B， A+ B+ C=180 ， A+ A+2 A=180 ， A=45 ， C=90 ， 正確； 故選 D 【點評】本題考查了三角形內角和定理的應用，能求 出每種情況的 目比較好，難度適中 27已知三角形的三邊分別為 2， a， 4，那么 ） A 1 a 5 B 2 a 6 C 3 a 7 D 4 a 6 【考點】三角形三邊關系 【專題】應用題 【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解 【解答】解：由于在三角形中任意兩邊之和大于第三邊， a 2+4=6， 任意兩邊之差小于第三邊， a 4 2=2， 2 a 6， 故選 B 【點評】本題考查了構成三角形形成的條件：任意 兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，難度適中 28在 A= B= C，則此三角形是（ ） A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形 【考點】三角形內角和定理 第 16頁（共 21頁） 【分析】用 B、 C，然后利用三角形的內角和等于 180 列方程求解即可 【解答】解： A= B= C， B=2 A， C=3 A， A+ B+ C=180 ， A+2 A+3 A=180 ， 解得 A=30 ， 所以， B=2 30=60 ， C=3 30=90 ， 所以，此三角形是直角三角形 故選 B 【點評】本題考查了三角形的內角和定理，熟記定理并用 四、解答題 29如圖， E，要使 需添加一個條件 （ 1）給出下列四個條件： E 你從中選出一個能使 給出證明； 你選出的條件是 證明： 【考點】全等三角形的判定 【分析】要證明 三角形中已知的條件有 E，有一個公共角，那么根據(jù)三角形的判定公理和推論，我們可看出 不符合條件，沒有 此不正確 D ，可得出 C，這樣就構成了 此可得出全等的結論 構成了全等三角形判定中的 此可得 出三角形全等的結論 構成了全等三角形判定中的 此可得出三角形全等的結論 【解答】解：選擇 ， 證明： D， D， 第 17頁（共 21頁） B， 又 D 故答案為： 【點評】本題考查了全等三角形的判定公理及推論注意 30如圖，在 足分別是 E、 F，